外延性の公理のソースを表示

'''外延性の公理'''（がいえんせいのこうり、{{lang-en-short|axiom of extensionality}}）は、[[ZF公理系]]を構成する[[公理]]の一つで、「全く同じ要素からなる2つの集合は等しい」ことを主張するものである。

== 定義 ==
''A'', ''B'' を任意の[[集合]]とするとき、もし任意の集合 ''X'' について「''X'' が ''A'' の[[元 (数学)|要素]]であるならば、そのときに限り ''X'' は ''B'' の要素である」が成り立つならば、''A'' と ''B'' は等しい。すなわち、
:<math>\forall A \, \forall B \, ( \forall X \, (X \in A \iff X \in B) \Rightarrow A = B)</math>

== 性質 ==
この公理は、「集合はそれが含む要素によって一意に定まる」ことを主張する。
例えば、{''a'', ''b''｝と{''b'', ''a''｝が等しいことや、{''a'', ''a''｝が{''a''}と等しい（すなわち[[多重集合]]は存在しない）ことなどが導かれる。

この逆も[[等式|等号の代入原理]]により成り立つので、実際は
:<math>\forall A \, \forall B \, ( \forall X \, (X \in A \iff X \in B) \iff A = B)</math>
が成り立つことになる。

== 他の公理との関係 ==
[[空集合の公理]]、[[対の公理]]、[[和集合の公理]]、[[冪集合公理]]で存在が主張される集合はそれぞれ、外延性の公理により一意に定まる。

== 参考文献 ==
* [[ケネス・キューネン]]『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、[[日本評論社]]、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9

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