外接三角形のソースを表示


[[ファイル:Tangential_triangle.svg|thumb|250px|
{{Legend-line|solid #4169E1|元の三角形 {{math|△''ABC''}}}}{{Legend-line|solid #222222|{{math|△''ABC''}}の外接円}}{{Legend-line|solid #228B22|{{math|△''ABC''}}の垂足三角形{{math|△''GHI''}}}}{{Legend-line|solid red|{{math|△''ABC''}}の'''外接三角形'''{{math|△''DEF''}}}}
{{Legend-line|dashed grey 1px|{{math|△''DEF''}}と{{math|△''GHI''}}の相似変換とその中心 {{mvar|K}}}}
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[[幾何学]]において、'''外接三角形''' (がいせつさんかくけい<ref>{{Cite journal|last=山中|first=仁|date=2022|title=円周角をめぐる諸定理への接線と対称性による統一的アプローチ|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/mesj/63/1-2/63_45/_article/-char/ja|journal=数学教育学会誌|volume=63|issue=1-2|pages=45–54|doi=10.34323/mesj.63.1-2_45}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=最近幾何學詳解 |url=https://dl.ndl.go.jp/pid/828625/1/38 |publisher=高岡書店 |date=1903 |language=ja |first=吉次郎 |last=長谷川 |doi=10.11501/828625}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=実用幾何 |year=1892 |publisher=大塚秀松 |page=700 |url=https://dl.ndl.go.jp/pid/828669/1/58 |doi=10.11501/828669}}</ref>、[[英語|英]]:Tangential triangle）または'''接線三角形'''<ref>{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-07-13}}</ref><ref>{{Cite book |title=研究集錄: 自然科学. III |url=https://www.google.co.jp/books/edition/%E7%A0%94%E7%A9%B6%E9%9B%86%E9%8C%84/RWZ-er2I2-gC |publisher=岡山大学教育学部 |language=ja}}</ref>は、[[直角三角形]]でない三角形に対して定義される、三角形の[[外接円]]の頂点を通る[[接線]]の成す三角形である。直角三角形の場合、外接円の直角を持たない頂点の接線が[[平行]]になるため、外接三角形は定義できない。

外接三角形は[[頂垂線 (三角形)#垂足三角形|垂足三角形]]と相似の関係にある。その相似の中心''X''<sub>25</sub>は、元の三角形の[[オイラー線]]上にあり<ref name="SL2">Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, "Euler and triangle geometry", ''Mathematical Gazette'' 91, November 2007, 436–452.</ref>、三線座標は以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(25) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X25 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-24}}</ref>。

:<math>\sin A\tan A:\sin B \tan B:\sin C\tan C </math>

外接三角形の外心''X''<sub>26</sub>もオイラー線上にある<ref name="AC">Altshiller-Court, Nathan. ''College Geometry'', Dover Publications, 2007 (orig. 1952). </ref>。その三線座標は以下の式で与えられる<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(26) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X26 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-03-24}}</ref>。 

<math display="block">a(b^2\cos 2B + c^2\cos 2C - a^2\cos 2A ):b(c^2\cos 2C + a^2\cos 2A - b^2\cos 2B ):c(a^2\cos 2A + b^2\cos 2B - c^2\cos 2C )</math> 

== 特徴 ==
* 三角形とその外接三角形は[[配景]]である。また、配景の軸は[[中心線 (幾何学)#重心の中心線:ルモワーヌ軸|ルモワーヌ軸]]、配景の中心は[[類似重心]]である。つまり類似重心の[[チェビアン#反チェバ三角形|反チェバ三角形]]は外接三角形である。  
* 外接三角形の辺は「[[:en:Exsymmedian|exsymmedian]]<small>(英語版)</small>」とも呼ばれる。2つのexsymmedianの交点は、2つのexsymmedianに含まれない頂点を通る[[類似中線]]と交わる<ref name="Johnson2">Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publications, 2007 (orig. 1929).</ref>。
* [[三角形の内接円と傍接円|ジェルゴンヌ三角形]]と元の三角形の関係は外接三角形と元の三角形の関係と等しい。
* 外接三角形の外接円、元の三角形の外接円と[[九点円]]は[[円束 (射影幾何学)|円束]]を成す<ref name="AC" />。
* 外心の[[垂足三角形#反垂足三角形|反垂足三角形]]は外接三角形である。
== 関連 ==

* [[円外接多角形]]
* [[エクセター点]]

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Tangential Triangle|urlname=TangentialTriangle}} 

{{デフォルトソート:かいせつさんかくけい}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]