外接円のソースを表示

{{confuse|{{仮リンク|円の接触|label=（円に）外接する円|en|Tangent circles}}}}
[[File:Circumscribed Polygon.svg|thumb|right|内接多角形 {{mvar|P}} の外接円 {{mvar|C}} および外心 {{mvar|O}}]]
[[初等幾何学]]における[[多角形]]の'''外接円'''（がいせつえん、{{lang-en-short|''circumscribed circle'', ''circumcircle''}}）は、その多角形の全ての[[頂点]]を通る[[円 (数学)|円]]をいう。外接円の[[中心]]を'''外心''' (''circumcenter'') といい、その半径を'''外接半径''' (''circumradius'') という。

外接円を持つ多角形は、円'''内接多角形''' (''inscribed polygon''), ''cyclic polygon'' (輪状多角形) あるいは、そのすべての頂点が同一円周上にある（つまり、[[共円]]である）ことにより'''共円多角形''' (''concyclic polygon'')などと呼ばれる。任意の[[正多角形|正]][[単純多角形]]や任意の[[等脚台形]]、任意の[[三角形]]、任意の[[長方形]]は共円多角形の例となる。

よく似た概念の一つに'''{{仮リンク|最小円問題|label=最小包含円|en|Smallest circle problem}}''' (''minimum bounding circle'') があり、これはその多角形を完全に含む最小の円をいう。（多角形のすべての頂点が同一円周上にある必要はないことより）必ずしも任意の多角形に外接円が存在するとは限らないが、任意の多角形は最小包含円をただ一つ持つ（それを[[線形時間]]で構成するアルゴリズムがある{{sfn|Megiddo|1983}}）。多角形が外接円を持つ場合であっても、外接円と最小包含円が一致するとは限らない。例えば[[鈍角三角形]]の最小包含円は最長辺を直径とする円で、これは最長辺の対角の頂点を通らない。

== 三角形の外接円 ==
[[ファイル:circumcenter.png|right]]
[[File:Inscribed_And_Circumscribed_Circle_Tomoyuki_Mogi.gif|thumb|
三角形において、ある頂点と、その対辺の[[垂直二等分線]]の延長線上にある外接円(円周)との交点（対辺からみて三角形の外側の方）を結ぶ直線は、
その頂点の内角を二等分する直線となっている。（図中に緑の直線で示される。それらの交点は当該三角形の[[内接円]]の中心となっている。）]]

すべての三角形には外接円が存在する。三角形の外心は、3つの[[辺]]の[[垂直二等分線]]が交わる点である。

航海において、三角形の外接円は[[方位磁針]]が使用できない状況で[[六分儀]]を利用して位置を割り出すのに使用されることがある。

[[鋭角三角形]]の外心は三角形の内部にあり、[[鈍角三角形]]の外心は三角形の外部にある。[[直角三角形]]の外心は[[斜辺]]の[[中点]]である。

[[ファイル:Cercle circonscrit à un triangle.svg|600px]]

外接円の[[直径]]は、辺の長さとその辺に対する頂点の角度から求めることができる。これを[[正弦定理]]という。

三角形の外心はその三角形の[[重心]]・[[垂心]]と同じ直線上にある。この直線を[[オイラー線]]という。三角形の[[九点円]]の半径は、外接円の半径の半分である。

=== 外接円の式 ===

[[直交座標系]]における外接円の式は[[行列式]]を用いて以下のように表すことができる。
{{Indent|<math>\det\begin{vmatrix}
v^2 & v_x & v_y & 1 \\
A^2 & A_x & A_y & 1 \\
B^2 & B_x & B_y & 1 \\
C^2 & C_x & C_y & 1
\end{vmatrix}=0</math>}}
ここで、''A'', ''B'', ''C'' は各頂点を表す。この式を満たす '''v''' の集合が外接円となる（'''A'''<sup>2</sup> = ''A''<sub>''x''</sub><sup>2</sup> + ''A''<sub>''y''</sub><sup>2</sup> とする）。

=== 外心の位置 ===

外心を[[三線座標]]で表すと、<math>\left(\cos(\alpha), \cos(\beta), \cos(\gamma)\right)</math>となる<ref name=WW>Whitworth, William Allen. ''Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions'', Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866).  http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books</ref>{{rp|19}}。ここで、α,β,γ は3つの角の大きさとする。[[重心座標]]で表すと、<math>\left(\sin(2\alpha), \sin(2\beta), \sin(2\gamma)\right)</math> 又は <math>\left(a^2(-a^2+b^2+c^2),\;b^2(a^2-b^2+c^2),\;c^2(a^2+b^2-c^2)\right)</math>となる<ref>{{MathWorld|urlname=BarycentricCoordinates|title=barycentric coordinates}}</ref>。<math>a,b,c</math> は3つの辺の長さである。

各頂点の位置ベクトルを<math>A, B, C</math>、対辺の長さを <math>a,b,c</math> とすると、外心の位置ベクトル <math>U</math> は次式で表される。
: <math>U = \frac{a^2(b^2+c^2-a^2)A +b^2(c^2+a^2-b^2)B +c^2(a^2+b^2-c^2)C}{a^2(b^2+c^2-a^2)+b^2(c^2+a^2-b^2)+c^2(a^2+b^2-c^2)}.</math>
この式の分母は、三角形の面積を <math>S</math>　とすると、<math>16S^2</math>に等しい。

=== 外接円の半径 ===
外接円の半径は以下のような式で表される。
<math display="block">\begin{align}
R &= \frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\
  &= \frac{abc}{4rs} \\
  &= \frac{r}{\cos A + \cos B + \cos C - 1}
\end{align}</math>

ここで、a,b,c は3辺の長さ、A,B,C は3つの角の大きさ、r は[[内接円]]の半径、s は[[半周長]]を意味する。

== 円に内接する四角形 ==
[[ファイル:Sehnenviereck3.svg|thumb|円に内接する四角形]]
{{main|共円四辺形}}
[[File:Cyclic quadrilateral.svg|thumb|right|300px|外接円を持つ四辺形]]
四角形が特定の条件&mdash;例えば対角が[[補角]]（互いに加えて{{math|180°}}あるいは{{pi}}ラジアン）となること&mdash;を満たすとき、円を外接させることができる。

これを満たす代表的な四角形として、[[長方形]]・[[等脚台形]]があげられる。

外接円の半径は
{{Indent|<math>R = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}</math>}}
で表すことができる（[[ブラーマグプタの公式]]）。s は[[半周長]]である。

4つの辺の長さを {{mvar|a, b, c, d}}、対角線の長さを {{mvar|p, q}} とすると、{{mvar|ac + bd {{=}} pq}} が成り立つ（[[トレミーの定理]]）。

外接円と[[内接円]]の両方が存在する四角形を[[双心四角形]]という。

== 共円多角形 ==
共円奇数角形の全ての角の角度が等しくなるための必要十分条件は、それが正多角形となることである。共円偶数角形の全ての角の角度が等しくなるための必要十分条件は、辺の長さが交互に等しい（つまり、各辺に対しそれに隣接する二つの辺同士の長さが互いに等しい{{efn|どこかの辺を1番目として時計回りに順に番号を振るならば、1, 3, 5, … 番目が互いに等しい一組で、2, 4, 6, … 番目が互いに等しいもう一組}}）ことである<ref>De Villiers, Michael. "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons," ''[[Mathematical Gazette]]'' 95, March 2011, 102-107.</ref>。

辺の長さと面積がすべて[[有理数]]となるような共円[[五角形]]は{{仮リンク|ロビンスの五角形|en|Robbins pentagon}}と呼ばれ、知られているすべての場合で対角線もすべて長さが有理数である<ref>
{{citation
 | last1 = Buchholz | first1 = Ralph H.
 | last2 = MacDougall | first2 = James A.
 | doi = 10.1016/j.jnt.2007.05.005
 | issue = 1
 | journal = [[Journal of Number Theory]]
 | mr = 2382768
 | pages = 17–48
 | title = Cyclic polygons with rational sides and area
 | url = http://docserver.carma.newcastle.edu.au/785/
 | volume = 128
 | year = 2008
}}.</ref>。

偶数 {{mvar|n}} に対する任意の共円 {{mvar|n}}-角形について、その角を交互に二つの組に分けるとき、それぞれの組に属する角の和をとればそれらは互いに等しい（「奇数番目の角の和」＝「偶数番目の角の和」）。このことは {{math|1=''n'' = 4}} の場合から数学的帰納法で証明することができる。帰納のステップでは、一つの辺に新たな三つの辺に取り換えて、もとの辺と加えた三辺が同じ条件を満たす四辺形を成すようにできることに注意する（そのとき、得られた四辺形の交互の角は、もともとの {{mvar|n}}-角形の交互の角の和にそれぞれ加えられるが、それら和が互いに等しいことは変わらない）。

一つの {{mvar|n}}-角形 {{mvar|X}} が円 {{mvar|C}} に内接し、別の {{mvar|n}} 角形 {{mvar|Y}} が先の {{mvar|n}}-角形 {{mvar|X}} の各頂点で[[接する]]ように円 {{mvar|C}} に[[円外接多角形|外接]]しているものとする。このとき円 {{mvar|C}} 上の任意の点 {{mvar|P}} から多角形 {{mvar|X}} の各辺に引いた垂線の長さの総乗は {{mvar|P}} から多角形 {{mvar|Y}} の各辺に引いた垂線の長さの総乗に等しい<ref name=Johnson>Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover, 2007 (orig. 1929).</ref>{{rp|p. 72}}。

== 関連項目 ==
* [[内接円]]
* 特に[[共円四角形]]に関連する物
** [[トレミーの定理]]
** [[ブラーマグプタの公式]]
** [[ブラーマグプタの定理]]
* {{仮リンク|ユングの定理|en|Jung's theorem}}: 点集合の[[径]]と最小包含円の半径の関係を表す不等式
* [[レスターの定理]]
* [[外接球面]]
* [[Circumgon]](円外接多角形状領域)
* [[三角形の中心]]
* [[丸山良寛の定理]]
* [[幾何学ニ於ケル支那ノ一定理]]
* [[コスニタの定理]]

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite journal
|first=N. |last=Megiddo
|title=Linear-time algorithms for linear programming in '''R'''<sup>3</sup> and related problems
|journal=SIAM Journal on Computing
|volume=12
|issue=4
|pages=759–776
|year=1983
|doi=10.1137/0212052}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld | title=Circumcircle | urlname=Circumcircle}}
* {{MathWorld | title=Circumcenter | urlname=Circumcenter}}
* {{MathWorld | title=Cyclic Polygon | urlname=CyclicPolygon}}
* {{PlanetMath | title=circumcircle | urlname=Circumcircle}}
* {{PlanetMath | title=cyclic quadrilateral | urlname=CyclicQuadrilateral}}
* {{ProofWiki | title=Definition:Circumcircle | urlname=Definition:Circumcircle}}
* {{ProofWiki | title=Definition:Cyclic Quadrilateral | urlname=Definition:Cyclic_Quadrilateral}}

{{DEFAULTSORT:かいしん}}
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:多角形]]
[[Category:三角形]]
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角形の中心]]

[[ast:Circuncentru]]
[[gl:Circuncentro]]
[[pt:Circuncentro]]