多元体のソースを表示

[[数学]]の[[抽象代数学]]において、[[可換体|体]]上の'''斜体'''、'''多元体'''（たげんたい）または'''可除多元環'''（かじょたげんかん、{{lang-en-short|''division algebra''}}）は、大まかには、[[体上の多元環]]で[[除法]]が自由にできるものをいう。 

== 定義 ==
厳密には、まず[[体上の多元環]] ''D'' で、''D'' は零元のみからなるものではないものとする。''D'' が'''多元体'''または'''可除'''であるとは、''D'' の任意の元 ''a'' と ''D'' の零元ではない任意の元 ''b'' に対して、''a'' = ''bx'' なる ''D'' の元 ''x'' がただ一つ定まり、かつ ''a'' = ''yb'' なる ''D'' の元 ''y'' がただ一つ定まることをいう。

[[結合多元環]]に対しては、この定義は次のように簡単になる。体上の結合的な多元環が'''多元体'''であるための[[必要十分条件]]は、それが零元 0 と異なる[[単位元]] 1 を持ち、かつ各元 ''a'' が[[乗法逆元]]（すなわち ''ax'' = ''xa'' = 1 なる元）を持つことである。このとき多元体は体(field)になっている。

== 結合的多元体 ==
最もよく知られる結合的な多元体の例は有限次元実多元体（つまり、[[実数]]体 '''R''' 上の多元環で、'''R''' 上のベクトル空間として[[ハメル次元|次元]]が有限なもの）である。[[フロベニウスの定理 (代数学)|フロベニウスの定理]]によれば、そのような多元体は[[同型]]の[[違いを除いて]]三種類、実数体（一次元）・[[複素数]]体（二次元）、[[四元数]]体（四次元）しかない。

[[ウェダーバーンの小定理]]によれば ''D'' が位数有限なる多元体ならば、''D'' は実は[[有限体]]である。

（例えば複素数体 '''C''' のような）[[代数閉体]] ''K'' 上には、''K'' それ自身を除けば有限次元の結合多元体は存在しない。 

結合的多元体は[[零因子]]を持たない。逆に（任意の体上の）'''有限次元'''の[[単位的環|単位的]][[結合多元環]]が多元環となる必要'''十分'''条件は、それが零因子を持たないことである。

''A'' が体 ''F'' 上の単位的結合多元環で、''S'' が ''A'' 上の[[単純加群]]ならば、''S'' の[[自己準同型環]]は ''F'' 上の多元体であり、''F'' 上の任意の結合多元体はこの方法で得られる。

体 ''K'' 上の結合多元体 ''D'' の[[環の中心|中心]] ''C''(''D'')は、''K'' を含む体となる。''D'' をその中心 ''C''(''D'') 上の多元体と見たときの次元は、それが有限であるならば必ず[[平方数]] ''n''<sup>2</sup> であり、次数 {{lang|en|(degree)}} と呼ばれる ''n'' は ''D'' の極大可換部分体の中心 ''C''(''D'') 上の次元と一致する。体 ''F'' を一つ固定するとき、''F'' 上有限次元の、（自明でない両側イデアルを持たないという意味で）[[単純環|単純]]な、結合多元環で中心が ''F'' となるようなものの同値類は、体 ''F'' の[[ブラウアー群]]と呼ばれる群を成す。

任意の体上で有限次元の結合多元体を構成するひとつの方法として、[[四元数環|一般四元数環]]を用いる方法が挙げられる（[[四元数]]の項も参照）。

有限次元の結合多元体に対して、それらの作る空間が何らかの意味のある[[位相空間|位相]]を備えている場合が特に重要である。例えば[[ノルム付き多元体]]や[[バナッハ代数]]が挙げられる。

== 非結合的多元体 ==

多元体において[[結合法則|結合律]]の成立を課さずに、普通はより弱い結合性の条件（[[交代性|交代律]]や[[冪結合性|冪結合律]]など）を課したものを考えることもある。[[体上の多元環]]も参照。

実数体上で有限次元の[[可換]]単位的多元体は[[同型を除いて]]ちょうど二つだけ存在する（それは実数体と複素数体で、いずれも結合的である）。非結合的な例を作るために、複素数の通常の乗法の代わりに、その[[複素共軛]]を取ったものとして、乗法 &lowast; を
:<math>a*b=\overline{ab}</math>
で定義すると、これにより実数体上二次元の可換で非結合的な多元体が得られるが、これは単位元を持たない。このほかにも可換非結合的な有限次元実多元体は無数に存在するが、しかしそれらは全て実二次元である。

実は、任意の有限次元可換実多元体の次元は 1 か 2 のいずれかであることが1940年に証明されており、[[ハインツ・ホップ]]に因んで[[ホップの定理]]と呼ばれる。証明には[[位相幾何学]]的な方法が用いられた。後に[[代数幾何学]]を用いた別証明が発見されているけれども、直接的な代数的証明というものは知られていない。[[代数学の基本定理]]をホップの定理の系として得ることもできる。

可換性の仮定を落とすことで、ホップは自身の結果を拡張し「任意の有限次元実多元体の次元は2の冪でなければならない」ということを示した。

さらに後に示された事実として、任意の有限次元実多元体の次元は 1, 2, 4, 8 のいずれかでなければならないことが分かっている。この事実は、[[ミシェル・ケルヴェア]]と[[ジョン・ウィラード・ミルナー|ジョン・ミルナー]]によってそれぞれ独立に1958年に証明された。これは[[代数的位相幾何学]]、特に[[K理論| ''K''-理論]]を用いるものである。''q''<span style="text-decoration:overline">''q''</span> が平方数の和に等しいという等式が成立する次元が 1, 2, 4, 8 に限られることは、[[アドルフ・フルヴィッツ]]によって、1898年には既に示されていた<ref>{{cite book|title=The Road To Reality|authorlink=Roger Penrose|author=Roger Penrose|year=2005|publisher=Vintage|isbn=0-09-944068-7}}</ref>（ノルム多元環に関する[[フルヴィッツの定理]]も参照せよ）。

次元が 2, 4, 8 であるような実多元体で互いに同型でないようなものは無数に存在するが、以下のようにいうことができる。実数体上有限次元の多元体は
* それが「単位的かつ可換」（もしくは「結合的かつ可換」）ならば実数体 '''R''' または複素数体 '''C''' に同型、
* それが「非可換かつ結合的」ならば四元数体 '''H''' に同型、
* それが「非結合的だが[[交代代数|交代的]]」ならば[[八元数]]体 '''O''' に同型
のいずれかでなければならない。以下、体 ''K'' 上の有限次元多元体の次元について知られていることを挙げる。
* ''K'' が[[代数閉体]]ならば必ず dim ''A''= 1 である。
* ''K'' が[[実閉体]]ならば dim ''A''= 1, 2, 4, 8 のいずれかに限られる。
* ''K'' が代数閉体でも実閉体でもないならば、''K'' 上の多元体が存在する次元は無数に存在する。

== 関連項目 ==
* [[ノルム多元体]]
* [[除法]]
* [[斜体 (数学)]]

== 参考文献 ==
<references/>

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=DivisionAlgebra|title=Division Algebra}}
* {{PlanetMath|urlname=DivisionAlgebra|title=division algebra}}

{{DEFAULTSORT:たけんたい}}
[[Category:多元環]]
[[Category:環論]]
[[Category:代数的整数論]]
[[Category:数学に関する記事]]