多元数のソースを表示

{{redirect|超複素数|[[超実数]] (hyper&shy;real number) の複素化|超実数|[[超現実数]]の複素化（超現複素数）|超現実数}}
[[数学]]における'''多元数'''（たげんすう、{{lang-en-short|''hyper&shy;complex number''}}; '''超複素数'''）は、[[実数]][[可換体|体]]上の[[単位的多元環]]の元を表す歴史的な用語である。多元数の研究は19世紀後半に現代的な[[群の表現論]]の基盤となった。

== 歴史 ==
19世紀には、数学の文献において[[四元数]] {{lang|en|(quaternion)}}, [[双複素数]] {{lang|en|(tessarine)}}, {{仮リンク|分解型四元数|en|coquaternion|label=余四元数}} {{lang|en|(coquaternion)}}, {{仮リンク|双四元数|en|biquaternion}} {{lang|en|(biquaternion)}} および[[八元数]] {{lang|en|(octonion)}} と呼ばれる[[数]]体系が[[実数]]や[[複素数]]に加えて確立された概念となっていた。多元数 {{lang|en|(hypercomplex number)}} の概念はこれらすべてを包含するものであり、またこれらを説明し分類するための指針を示唆する呼称である。

カタログ化の試みは1872年に[[ベンジャミン・パース]]が著書 {{lang|en|''Linear Associative Algebra''}}（『結合線型環』）を初版した時に始まり、それは息子の[[チャールズ・サンダース・パース]]に引き継がれた<ref>{{cite book |title=Linear Associative Algebra |journal=[[American Journal of Mathematics]] |volume=4 |issue=1 |pages=221–6 |year=1881 |jstor=2369153|last1= Peirce|first1= Benjamin|doi=10.2307/2369153 |url=http://archive.org/details/linearassocalgeb00pierrich }}</ref>。最も著しい点は、かれらが分類に有効な多元数として[[冪零元]]および[[冪等元]]を同定したことである。[[ケーリー＝ディクソンの構成法|ケーリー＝ディクソン構成]]では、[[対合]]を用いて実数の体系から複素数、四元数、八元数が作り出される。フルヴィッツとフロベニウスはこのような超複素数性に限界があることを述べる定理を証明している（{{仮リンク|フルヴィッツの定理 (合成代数)|en|Hurwitz's theorem (composition algebras)}}および[[フロベニウスの定理 (代数学)]]の項を参照）。最終的に、1958年にＪ・フランク・アダムズが位相的な方法を用いて有限次元実[[多元体]]が四種類（実数体 {{mathbf|R}}, 複素数体 {{mathbf|C}}, 四元数体 {{mathbf|H}}, 八元数体 {{mathbf|O}}）に限り存在することを証明した<ref>{{cite journal | jstor=1970147 | title=On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One | author=Adams, J. F. | journal=Annals of Mathematics |date=1960-07 | volume=72 | issue=1 | pages=20–104 | doi=10.2307/1970147| url=http://www.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Adams-HI1.pdf | citeseerx=10.1.1.299.4490 }}</ref>。

多元数の体系（超複素数系）の手綱をとったのは[[線型代数学|行列論]]であった。まず行列を用いて、[[実二次正方行列]]のような新たな多元数が供給される。すぐに、行列のパラダイムは、行列とその演算を用いて表現することでほかの多元数を説明するようになる。1907年に{{仮リンク|ジョセフ・ウェダーバーン|en|Joseph Wedderburn}}は結合的な超複素数系は必ず[[行列環]]か行列環の[[環の直和|直和]]として表現されなければならないことを示した（[[アルティン・ウェダーバーンの定理]]）。これ以降、ウェダーバーンの[[エディンバラ大学]]での修士論文タイトルにも見られるように、このような超複素数系を言い表す用語として[[結合多元環]] {{lang|en|(associative algebra)}} が用いられるようになっていった<ref>{{harvp|Wedderburn|1908}}</ref>。それでもなお、八元数や{{仮リンク|双曲四元数|en|hyperbolic quaternion}}のような非結合的な体系の表す別種の超複素数系があることに注意すべきである。

ホーキンスの説明によれば、超複素数系は[[リー群]]およびその[[群の表現|表現論]]を学ぶための布石である<ref>{{cite journal |first=Thomas |last=Hawkins |title=Hypercomplex numbers, Lie groups, and the creation of group representation theory |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=8 |pages=243–287 |year=1972 |issue=4 |doi=10.1007/BF00328434 |s2cid=120562272 }}</ref>。例えば、1929年に[[エミー・ネーター]]は {{lang|de|„Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie“}}（『超複素数量および表現論』）を書き下ろした<ref>{{Cite journal |last=Noether |first=Emmy |year=1929 |title=Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie |journal=Mathematische Annalen |volume=30 |pages=641-692 |doi=10.1007/BF01187794 |s2cid=120464373 |language=de |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002371448&L=1 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160329230805/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002371448&L=1 |archive-date=2016-03-29 |url-status=dead}}</ref>。1973年に書かれた多元数に関する教科書 {{lang|ru|''Гиперкомплексные числа''}} {{lang|ru|{{harvp|Кантор|Солодовников|1973}}}} は各国語で翻訳が出ている<ref>独訳：{{Cite book |year=1978 |title=Hyperkomplexe Zahlen |publisher=BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft |location=Leipzig}};<br> 英訳：{{Cite book |title=Hypercomplex numbers |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin, New York |isbn=978-0-387-96980-0 |mr=996029 |year=1989 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant }};<br> 日本語訳：{{Cite book |和書 |translator=浅野洋、笠原久弘 |title=超複素数入門: 多元環へのアプローチ |publisher=森北出版 |year=1999}}</ref>。

{{仮リンク|カレン・パーシャル|en|Karen Parshall}}は<ref>{{cite journal |first=Karen |last=Parshall |title=Joseph H. M. Wedderburn and the structure theory of algebras |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=32 |pages=223–349 |year=1985 |issue=3–4 |doi=10.1007/BF00348450 |s2cid=119888377 }}</ref>、{{仮リンク|テオドール・モリーン|en|Theodor Molien}}<ref>{{cite journal |first=Theodor |last=Molien |title=Über Systeme höherer complexer Zahlen |journal=Mathematische Annalen |volume=41 |issue=1 |pages=83–156 |year=1893 |doi=10.1007/BF01443450 |s2cid=122333076 |url=https://zenodo.org/record/2029540}}</ref>や{{仮リンク|エデュアルト・シュテューディ|en|Eduard Study}}<ref>{{cite book |first=Eduard |last=Study |year=1898 |chapter=Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen |title=Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften |volume=I A |issue=4 |pages=147–183}}</ref>らの著名な役割を含む、多元数の黄金時代の詳細な説明を書いている。[[抽象代数学|現代代数学]]への移り変わりについて、[[B・L・ファン・デル・ヴェルデン]]は自身の著書 {{lang|en|''History of Algebra''}}（『代数学の歴史』）において多元数について30頁の紙幅を割いている<ref>{{citation |author-link=B・L・ファン・デル・ヴェルデン |first=B.L. |last=van der Waerden |year=1985 |title=A History of Algebra |chapter= Chapter 10: The discovery of algebras, Chapter 11: Structure of algebras |publisher=Springer |isbn=3-540-13610X}}</ref>。

== 定義 ==
{{lang|ru|{{harvp|Кантор|Солодовников|1973}}}}によれば、'''多元数'''あるいは'''超複素数'''は、[[実数]]体 {{mathbf|R}} 上有限次元の単位的[[分配多元環]]（[[結合多元環|結合的]]である必要はない）の元として定義されている。{{mvar|n}}-次元の各多元数（{{mvar|n}}-元数）{{mvar|x}} は、実数係数 {{math|''a''{{ind|0}}, …, ''a''{{ind|''n''&minus;1}}}} を用いて基底 {{math|{{mset|1, ''i''{{ind|1}}, …, ''i''{{ind|''n''&minus;1}}}}}} の一次結合
: <math> x = a_0 1 + a_1 i_1 + \dotsb + a_{n-1} i_{n-1}</math>
の形に書き表される。可能ならば、各基底 {{math|''i''{{ind|''k''}}}} について、その平方 {{math|''i''{{ind|''k''}}{{exp|2}}}} が {{math|&minus;1, 0, 1}} のいずれかになるようにするのが慣習である。

== 例 ==
{{main|二元数}}
; 定理<ref>{{citation |first=Isaak |last=Yaglom |year=1968 |title=Complex Numbers in Geometry |pages=10–14}}</ref><ref>{{citation |editor-first=John H. |editor-last=Ewing |year=1991 |title=Numbers |page=237 |publisher=Springer |isbn=3-540-97497-0}}</ref><ref>{{lang|ru|{{harvp|Кантор|Солодовников|1973|loc= 14,15}}}}</ref>
: [[同型を除いて]]、実数体上二次元の単位的多元環は通常の[[複素数]]、[[分解型複素数]]、[[二重数]]のちょうど三種類しかない。

== いくつかの系列について ==
=== クリフォード代数 ===
{{main|クリフォード代数}}
[[クリフォード代数]]は、[[二次形式]]を備える線型空間を台として、その上に構成される単位的結合多元環である。二次形式を持つということは、実数体上では[[対称双線型形式]]の意味でのスカラー積 {{math|1=''u''&sdot;''v'' {{=}} {{sfrac|1|2}}(''uv'' + ''vu'')}} を定義できることと同値で、これに関する[[直交化]]を施すことにより、基底 {{math|{{mset|''e''{{sub|1}}, …, ''e''{{sub|''k''}}}}}} で
: <math>\frac{1}{2} (e_i e_j + e_j e_i) = \begin{cases}
-1, 0, +1 &(i=j)\\
0 &(i \ne j)
\end{cases}</math>
を満たすものをとることができる。乗法が[[閉性|閉じる]]ように、{{math|2{{sup|''k''}}}} 個の元 {{math|{{mset|1, ''e''{{sub|1}}, ''e''{{sub|2}}, ''e''{{sub|3}}, …, ''e''{{sub|1}}''e''{{sub|2}}, …, ''e''{{sub|1}}''e''{{sub|2}}''e''{{sub|3}}, …}}}} によって[[線型包|張られる]]{{仮リンク|多重ベクトル|en|multivector}}の空間を作る。これらの多重ベクトルを超複素数系の基底として解釈することができる。この基底は、もとの基底 {{math|{{mset|''e''{{sub|1}}, …, ''e{{sub|k}}''}}}} と異なり、それらの交換に際していくつ単純因子を入れ替える必要があるかによって、反交換となることもならないこともある。つまり、例えば {{math|1=''e''{{sub|1}}''e''{{sub|2}} {{=}} −''e''{{sub|2}}''e''{{sub|1}}}} だが、 {{math|1=''e''{{sub|1}}(''e''{{sub|2}}''e''{{sub|3}}) {{=}} +(''e''{{sub|2}}''e''{{sub|3}})''e''{{sub|1}}}} である。

{{math|1=''e{{sub|i}}''{{sup|2}} {{=}} 0}} となる {{mvar|e{{sub|i}}}}を含む基底（つまり、もとの空間において二次形式が[[退化形式|退化]]している方向）を除けば、そうでない部分で作られるクリフォード線型環は {{math|''Cl''{{sub|''p'',''q''}}('''R''')}} とラベル付けることができる。この記法の添字については、この多元環の単純基底元のうち {{mvar|p}} 個が {{math|1=''e{{sub|i}}''{{sup|2}} {{=}} +1}} を満たし、かつ {{mvar|q}} 個が {{math|1=''e{{sub|j}}''{{sup|2}} {{=}} &minus;1}} を満たすということ、また {{mathbf|R}} はこれが実数体上の多元環（各元の係数が実数）であることを示唆するものである。

{{仮リンク|幾何代数|en|geometric algebra}}と呼ばれるこれら多元環は体系的な集合を成し、特に[[古典力学]]、[[量子力学]]、[[電磁気学]]、[[相対性理論]]における[[回転]]、[[位相]]、[[スピン角運動量|スピン]]などを含む物理学的問題に非常に有効なことが知られている。例えば:

* [[複素数]]体 {{math|''Cl''{{sub|0,1}}('''R''')}}, [[分解型複素数]]環 {{math|''Cl''{{sub|1,0}}('''R''')}}, [[四元数]]体 {{math|''Cl''{{sub|0,2}}('''R''')}}, {{仮リンク|分解型双四元数|en|split-biquaternion}}環 {{math|''Cl''{{sub|0,3}}('''R''')}},
* {{仮リンク|余四元数|en|coquaternion}}環 {{math|''Cl''{{sub|1,1}}('''R''') ≈ ''Cl''{{sub|2,0}}('''R''')}}：二次元空間の自然代数 {{lang|en|(natural algebra)}}
* {{math|''Cl''{{sub|3,0}}('''R''')}}: 三次元の自然代数、[[パウリ行列]]の代数
* {{仮リンク|時空代数|en|spacetime algebra}} {{math|''Cl''{{sub|1,3}}('''R''')}}

多元環 {{math|''Cl''{{sub|''p'',''q''}}('''R''')}} の元全体は、多元環 {{math|''Cl''{{sub|''q''+1,''p''}}('''R''')}} の偶部分環 {{math|{{subsup|''Cl''|''q''+1,''p''|0}}('''R''')}} を成す。このことはより大きな代数における回転をパラメータ付けするために利用することができる。これはつまり、複素数と二次元空間の回転の間の、あるいは四元数と四次元空間の回転の間の、また分解型複素数と {{math|1 + 1}}次元空間の双曲的回転（[[ローレンツ変換]]）の間の、ほかにも同様の、それぞれ近しい関係があるということである。

[[ケーリー＝ディクソンの構成法|ケーリー＝ディクソン構成]]やその変形である分解型の構成法では八次元以上になると乗法に関して結合的でなくなるが、クリフォード線型環は何次元であっても結合的なままである。

1995年に{{仮リンク|イアン・ポーテアス|en|Ian R. Porteous}}は自身のクリフォード線型環に関する著書で {{lang|en|“The recognition of subalgebras”}}（部分多元環の解釈）について書いている。その命題 11.4 に多元数の場合がまとめられている<ref>{{cite book |first=Ian R. |last=Porteous |title=Clifford Algebras and the Classical Groups |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1995 |isbn=0-521-55177-3 |pages=88–89 }}</ref>：単位元 {{math|1}} を持つ結合的実多元環 {{mvar|A}} について、
* {{math|1}} は[[実数]]体 {{mathbf|R}} を生成する。
* {{math|1=''e''{{sub|0}}{{sup|2}} {{=}} &minus;1}} を満たす任意の元 {{math|''e''{{sub|0}} &isin; ''A''}} の生成する二次元部分環は、[[複素数]]体 {{mathbf|C}} に同型である。
* {{math|1=''e''{{sub|0}}{{sup|2}} = +1}} を満たす任意の元 {{math|''e''{{sub|0}} ∈ ''A''}} の生成する二次元部分環は、[[分解型複素数]]環 {{math|{{msup|2}}'''R'''}} に同型である。
* 互いに反交換する {{mvar|A}} の二元 {{math|{{mset|''e''{{sub|0}}, ''e''{{sub|1}}}}}} の生成する四次元部分環は、{{math|1=''e''{{sub|0}}{{sup|2}} = ''e''{{sub|1}}{{sup|2}} = &minus;1}} ならば必ず[[四元数]]体 {{mathbf|H}} に同型である。
* 互いに反交換する {{mvar|A}} の二元 {{math|{{mset|''e''{{sub|0}}, ''e''{{sub|1}}}}}} の生成する四次元部分環は、{{math|1=''e''{{sub|0}}{{sup|2}} = ''e''{{sub|1}}{{sup|2}} = +1}} ならば必ず{{仮リンク|余四元数|en|coquaternion}}環 {{math|[[実二次正方行列|M{{sub|2}}('''R''')]]}} に同型である。
* 互いに反交換する {{mvar|A}} の三元 {{math|{{mset|''e''{{sub|0}}, ''e''{{sub|1}}, ''e''{{sub|2}}}}}} の生成する八次元部分環は、{{math|1=''e''{{sub|0}}{{sup|2}} = ''e''{{sub|1}}{{sup|2}} = ''e''{{sub|2}}{{sup|2}} = &minus;1}} ならば必ず{{仮リンク|分解型双四元数|en|split-biquaternion}} {{math|{{sup|2}}'''H'''}} に同型である。
* 互いに反交換する {{mvar|A}} の三元 {{math|{{mset|''e''{{sub|0}}, ''e''{{sub|1}}, ''e''{{sub|2}}}}}} の生成する八次元部分環は、{{math|1=''e''{{sub|0}}{{sup|2}} = ''e''{{sub|1}}{{sup|2}} = ''e''{{sub|2}}{{sup|2}} = +1}} ならば必ず{{仮リンク|双四元数|en|biquaternion}}環（あるいは[[パウリ行列|パウリ代数]]）{{math|M{{sub|2}}('''C''')}} に同型である。

古典多元環を超えた拡張については、{{仮リンク|クリフォード代数の分類|en|Classification of Clifford algebras}}の項を参照せよ。

=== ケーリー＝ディクソン代数 ===
{{main|ケーリー＝ディクソンの構成法}}
実数体、複素数体、四元数体を除くすべての[[クリフォード代数]] {{math|''Cl''{{sub|''p'',''q''}}('''R''')}} は、平方が {{math|+1}} となる非実元を持ち、従って多元体とならない。複素数を拡張する別のアプローチとして[[ケーリー＝ディクソンの構成法|ケーリー＝ディクソン構成]]をとることが挙げられる。これにより作り出される数体系は、{{math2|1=''n'' {{=}} 2, 3, 4, …}} に対して {{math|2{{sup|''n''}}}}次元で、その基底 {{math|{{mset|1, ''i''{{sub|1}}, …, ''i''{{sub|2{{sup|''n''}}&minus;1}}}}}} の非実基底元 {{mvar|i{{sub|m}}}} はすべて互いに反交換し、かつ {{math|1=''i''{{sub|''m''}}{{exp|2}} = &minus;1}} を満足する（[[虚数単位]]）。こうして得られる多元環は、八次元以上 ({{math|''n'' ≥ 3}}) で非結合的となり、十六次元以上 ({{math|''n'' ≥ 4}}) で[[零因子]]を含む。

この系列の初めの方は、四次元の[[四元数]]、八次元の[[八元数]]、十六次元の[[十六元数]]で、次元が上がるごとに代数的対称性がそれぞれ失われていく。実際、四元数の乗法は[[交換法則|可換]]でなくなり、八元数の乗法は[[結合法則|結合的]]でなくなり、十六元数の[[ノルム]]は乗法的でなくなる。

ケーリー＝ディクソン構成の適当な段階において余分な符号を挿入することにより、構成を変形することができる。そうして（多元体を考える代わりに）[[合成代数]]の系列に属する「分解型多元環」({{lang|en|“split algebra”}}) を作り出すことができる。
* [[分解型複素数]]：基底 {{math|{{mset|1, ''j''}}}} ({{math|1=''j''{{sup|2}} = +1}})
* {{仮リンク|分解型四元数|en|split-quaternion}}：基底 {{math|{{mset|1, ''i'', ''j'', ''k''}}}} ({{math|1=''i''{{sup|2}} = &minus;1, ''j''{{sup|2}} = ''k''{{sup|2}} = +1}})
* [[分解型八元数]]：基底 {{math2|{{mset|1, ''i''{{sub|1}}, ''i''{{sub|2}}, ''i''{{sub|3}}, ''i''{{sub|4}}, ''i''{{sub|5}}, ''i''{{ind|6}}, ''i''{{sub|7}}}}}} ({{math2|1=''i''{{sub|1}}{{sup|2}} = ''i''{{sub|2}}{{sup|2}} = ''i''{{sub|3}}{{sup|2}} = &minus;1, ''i''{{sub|4}}{{sup|2}} = ''i''{{sub|5}}{{sup|2}} = ''i''{{sub|6}}{{sup|2}} = ''i''{{sub|7}}{{sup|2}} = +1}})

複素数と異なり、分解型複素数の全体は[[代数的閉体]]でなく、さらに[[零因子]]や非自明な[[冪等元]]を含む。四元数同様に、分解型四元数の全体は非可換だが、さらに[[冪零元]]を含む点では異なる（分解型四元数環は [[実二次正方行列|{{math|M{{sub|2}}('''R''')}}]] に同型である）。分解型八元数の全体は非結合的で冪零元を含む。

=== テンソル積による構成 ===
{{seealso|多元環のテンソル積}}
任意の二つの多元環の[[テンソル積]]はふたたび多元環とすることができるから、これにより多くの様々な超複素数系の例を作り出すことができる。

特に複素数体 {{mathbf|C}}（を実数体 {{mathbf|R}} 上の多元環と見たもの）とのテンソル積をとれば、四次元の[[双複素数]]環 {{math|'''C''' &otimes;{{sub|'''R'''}} '''C'''}}, 八次元の{{仮リンク|双四元数|en|biquaternion}}環 {{math|'''C''' &otimes;{{sub|'''R'''}} '''H'''}}, 十六次元の複素[[八元数環]] {{math|'''C''' &otimes;{{sub|'''R'''}} '''O'''}} が得られる。

=== 更なる例 ===
* [[双複素数]] {{math|'''C''' &oplus; '''C'''}}：実四次元多元環であり、かつ複素二次元の多元環にもなる
* [[セグレの多重複素数|多重複素数]] {{math|1='''C'''{{sub|''n''+1}} = '''C'''{{sub|''n''}} + {{mvar|i{{sub|n}}}}'''C'''{{sub|''n''}}}} ({{math|1='''C'''{{sub|1}} = [[複素数|'''C''']], ''i''{{sub|1}} = ''i''}})：{{math|1=''n'' = 1, 2, …}} に対して定義される、複素 {{math|2{{sup|''n''&minus;1}}}}次元（実 {{math|2{{sub|''n''}}}}次元）ベクトル空間と[[虚数単位]]の[[列 (数学)|系列]]
* [[合成代数]]：代数の乗法の分解に伴って分解する[[二次形式]]を備えた多元環（[[四平方和定理]]などと関連がある）

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* [[トーマス・カークマン]]
* {{仮リンク|ゲオルク・ヴィルヘルム・シェファーズ|en|Georg Scheffers}}
* {{仮リンク|リカルト・ダゴベルト・ブラウアー|en|Richard Brauer}}
* [[超複素解析]]

== 注 ==
{{Reflist}}

== 関連文献 ==
* {{Cite book |first1=И.Л. |last1=Кантор |first2=А.С. |last2=Солодовников |title=Гиперкомплексные числа |publisher=Рипол Классик |year=1973 |isbn=9785458447003 |language=ru |ref=harv}}
* {{citation |first=Daniel |last=Alfsmann |chapter=On families of 2^N dimensional hypercomplex algebras suitable for digital signal processing |chapter-url=http://www.eurasip.org/proceedings/eusipco/eusipco2006/papers/1568981962.pdf |title=14th European Signal Processing Conference, Florence, Italy |year=2006 |pages=1–4 |url=https://ieeexplore.ieee.org/servlet/opac?punumber=7065145 }}
* {{cite book |author-link=Emil Artin |first=Emil |last=Artin |orig-year=1928 |chapter=Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen; Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen  |title=The Collected Papers of Emil Artin |publisher=Addison-Wesley |year=1965 |pages=301–345 |editor-link=Serge Lang |editor-first=Serge |editor-last=Lang |editor2-link=ジョン・テイト |editor2-first=John T. |editor2-last=Tate}}
* {{Cite journal | last1=Baez | first1=John | title=The Octonions | url=https://math.ucr.edu/home/baez/octonions/octonions.html | year=2002 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | issn=0002-9904 | volume=39 | issue=2 | pages=145–205 | doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X | arxiv=math/0105155 | s2cid=586512 }}
* {{cite book |author-link=Élie Cartan |first=Élie |last=Cartan |chapter=Les systèmes de nombres complex et les groupes de transformations |title=Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées |volume=I 1 |year=1908 }}. and ''Ouvres Completes'' T.2 pt. 1, pp 107–246.
* {{cite thesis |first=Max |last=Herzberger |year=1923 |url=https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/item/4V6F5ID5PHYD7UJ4F4ZDWHD2SBEXGCGQ |title=Ueber Systeme hyperkomplexer Grössen |type=Doctoral Dissertation |publisher=[[フンボルト大学ベルリン|Friedrich Wilhelm University]] |access-date=2015-09-20 |archive-date=2021-01-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210130183638/https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/item/4V6F5ID5PHYD7UJ4F4ZDWHD2SBEXGCGQ |url-status=dead }}
* {{cite book |first=Jeanne |last=La Duke |chapter=The study of linear associative algebras in the United States, 1870–1927 |pages=147–159 |editor-first=B. |editor-last=Srinivasan |editor2-first=J. |editor2-last=Sally |title=Emmy Noether in Bryn Mawr: Proceedings of a Symposium Sponsored by the Association for Women in Mathematics in Honor of Emmy Noether's 100th Birthday |url=https://books.google.com/books?id=b7NYvQEACAAJ |date=1983 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-90838-0 }}
* {{cite book |first=Silviu |last=Olariu |title=Complex Numbers in N Dimensions |publisher=[[Elsevier]] |year=2002 |isbn=0-444-51123-7 |series=North-Holland Mathematics Studies |volume=190}}
* {{cite book |editor-first=Irene |editor-last=Sabadini |editor2-first=Michael |editor2-last=Shapiro |editor3-first=Frank |editor3-last=Sommen |title=Hypercomplex Analysis and Applications |publisher=Birkhauser |year=2009 |isbn=978-3-7643-9892-7 }}
* {{cite journal |first=Henry |last=Taber |title=On Hypercomplex Number Systems |journal=Transactions of the American Mathematical Society |volume=5 |issue=4 |pages=509–548 |year=1904 |jstor=1986280|doi=10.2307/1986280}}
* {{cite journal |first=J.H. |last=Wedderburn |title=On Hypercomplex Numbers |journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=s2-6 |issue=1 |pages=77–118 |year=1908 |doi=10.1112/plms/s2-6.1.77 |url=https://zenodo.org/record/1447798 |ref=harv}}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Hypercomplex number|urlname=Hypercomplex_number}}
* [https://web.archive.org/web/20070130020723/http://history.hyperjeff.net/hypercomplex History of the Hypercomplexes on hyperjeff.com]
* [http://hypercomplex.xpsweb.com/index.php?&lang=en Hypercomplex.info]
* {{mathworld|urlname=HypercomplexNumber|title=Hypercomplex number}}
* [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/study_-_complex_numbers_and_transformation_groups.pdf E. Study, "On systems of complex numbers and their application to the theory of transformation groups"] (English translation)
* [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/frobenius_-_hypercomplex_i.pdf G. Frobenius, "Theory of hypercomplex quantities"]{{En icon}}
* [https://ogawakatsuhiko.web.fc2.com/index.html 小川のｎ元数]

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