多凸函数のソースを表示

[[数学]]における'''多凸性'''（たとつせい、{{Lang-en-short|polyconvexity}}）とは、[[行列]]の空間上で定義される[[凸関数|函数の凸性]]の概念の一般化である。主に[[固体力学]] に応用を持つ。特に、固体の歪みエネルギーに対する物理的な条件はふつう多凸（だが凸でない）函数になる。

任意の{{仮リンク|準凸函数|en|quasiconvex function|label=準凸}}な多凸函数は凸函数となるが、逆は成り立たない。必ずしも任意の凸または準凸函数は多凸でない。

== 定義 ==
{{harvtxt|Ball|1977}} は弾性あるいは弾性変形位置エネルギーに対して凸性を仮定することは物理的な状況に合わないこと、つまり弾性ポテンシャルは凸函数でないことがあり得ることを示した。Ball は凸性の概念が制約として強すぎるためより弱い概念で置き換えられるべきであると提唱、自身は解の存在に関するいくらかの結果を定式化できるような制約の弱い合理的な条件として多凸性の定義を考案した。大抵の文献では Ball が最初に考案したものよりもやや広い意味で多凸函数を定義する。

[[可換体|体]] {{mvar|K}}（これは[[実数]]体 {{math|'''R'''}} でも[[複素数]]体 {{math|'''C'''}} でもよい）上のすべての {{math|''m'' &times; ''n''}} 行列のなす空間{{math|''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>(''K'')}} 上の[[補完数直線|拡大実数]]値函数 {{math|''f'': ''M''<sub>''m''&times;''n''</sub>(''K'') &rarr; {{overline|'''R'''}} {{=}} '''R'''&thinsp;&cup;&thinsp;{&plusmn;&infin;}}} が'''多凸''' (polyconvex) であるとは、

:<math>A \mapsto f(A)</math>

が行列 {{mvar|A}} のすべての小行列式を変数として[[凸函数|凸]]であること<ref>{{harvnb|Renardy|Rogers|2004}} (Definition 10.25)</ref>、より具体的には

: <math>f(A) = F(\operatorname{adj}_1 A, \operatorname{adj}_2 A, \ldots, \operatorname{adj}_r A)</math>

が 1 &le; ''p'' &le; min{''m'',&nbsp;''n''} なる任意の {{mvar|p}} に対する {{math|''p'' &times; ''p''}} [[小行列式]]たちに関する、{{mvar|K}} 上の凸函数となることを言う<ref>{{harvnb|Dacorogna|2008}} ([http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9780387357799-c1.pdf Ch.5 Def 5.1(iii)])</ref>。ただし、{{math|adj{{sub|''p''}}&thinsp;''A''}} は {{mvar|A}} の {{math|''p'' &times; ''p''}} 小行列式を全て並べたもの（たとえば {{math|adj{{sub|1}}&thinsp;''A''}} は {{mvar|A}} の {{math|''m'' &times; ''n''}} 個ある[[行列要素|要素]]全て）、{{math|''r'' {{=}} min{''m'',&nbsp;''n''}}} である。{{mvar|F}} は
: <math>\tau(m,n) := \sum_{p=1}^{r} \sigma(p), \quad
\sigma(p):= {m \choose p}{n \choose p} = \frac{m!n!}{(p!)^2 (m-p)!(n-p)!}</math>
と置けば {{math|&tau;(''m'',''n'')}} 個の引数を持つ拡張実数値函数 {{math|''F'': ''K''{{sup|&tau;(''m'',''n'')}} → {{overline|'''R'''}}}} である。

== 例と性質 ==
多凸性は、凸性よりも弱い性質である。例えば、次で与えられる函数 ''f'' は多凸であるが、凸ではない。

:<math>f(A) = \begin{cases} \frac1{\det (A)}, & \det (A) > 0; \\ + \infty, & \det (A) \leq 0. \end{cases}</math>

== 出典 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==

* {{cite book | last1=Renardy | first1= Michael | last2= Rogers | first2= Robert C. | title = An introduction to partial differential equations | series = Texts in Applied Mathematics 13 | edition = Second edition | publisher = Springer-Verlag | location = New York | year = 2004 |    pages = 353 | isbn = 0-387-00444-0}} 
* {{citation | first=J. M. | last=Ball | title= Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity | periodical= Arch. Rational Mech. Anal. '''63''' | year= 1977 | pages= 337-403}}
* {{citation | first=Bernard | last= Dacorogna | origyear=1989 | title= Direct methods in the calculus of variation | url=http://caa.epfl.ch/livres/DirectMethods.pdf | series= Applied Mathematical Sciences 78 | publisher= Springer-Verlag | location= New York | year=2008 | isbn=978-0-387-35779-9}}

{{DEFAULTSORT:たとつかんすう}}
[[Category:凸解析]]
[[Category:行列]]
[[Category:応用数学]]
[[Category:関数]]
[[Category:数学に関する記事]]