多変数複素関数のソースを表示

[[数学]]における'''多変数複素関数論'''（たへんすうふくそかんすうろん、{{Lang-en-short|the theory of functions of several complex variables}}）とは、[[複素多変数]]の複素数値関数、すなわち、{{math|''n''}} 個の[[複素数]]の[[タプル|組]]全体のなす[[数ベクトル空間]] {{math|'''C'''{{sup|''n''}}}} 上の複素数値[[関数 (数学)|関数]]
: <math>f(z_1,z_2, \ldots, z_n)</math>
を扱う分野である。[[複素解析]]（これは {{math|1=''n'' = 1}} の場合に当たる理論ではあるが、{{math|1=''n'' > 1}} の場合とは一線を画す性質を持つ）と同様、任意の単なる函数を扱うものではなく、[[正則函数|'''正則''']] (holomorphic) あるいは'''複素解析的''' (complex analytic) な関数、つまり局所的に変数 {{mvar|z{{sub|i}}}} たちの[[冪級数]]で書けるような関数を扱う。そのような関数は結局のところ、[[多項式]]列の局所[[一様収束|一様極限]]として得られるような関数ということもでき、{{mvar|n}} 次元[[コーシー・リーマンの方程式]]の局所解と言っても同じことであるということが分かる。

== 歴史的観点 ==
上述のような関数の多くの例は、19世紀の数学においてよく研究されたものであった。例えば[[アーベル多様体|アーベル関数]]や[[テータ函数|テータ関数]]の他、ある種の[[超幾何級数]]がそのような例として挙げられる。またもちろん、ある複素[[媒介変数]]に依存する任意の一変数関数も、そのような例となる。しかしそれらの特徴的な現象は捉えられていなかったため、長年の間、[[解析学]]においてその理論の完成は十分ではなかった。{{仮リンク|ワイエルシュトラスの準備定理|en|Weierstrass preparation theorem}}は現在では[[可換環論]]に分類されるであろう。それは、[[リーマン面]]の理論における[[分岐点 (数学)|分岐点]]の一般化を扱った局所的な描像である[[分岐 (数学)|分岐]]を正当化したものである。

1930年代の[[フリードリヒ・ハルトークス]]と[[岡潔]]の成果により、一般理論の構築がなされ始めた。その当時の同分野における他の研究者には、[[ハインリヒ・ベーンケ]]、{{仮リンク|ペーター・トゥレン|en|Peter Thullen}}および{{仮リンク|カール・シュタイン|en|Karl Stein (mathematician)}}がいる。ハルトークスは、{{math|1=''n'' > 1}} のとき任意の解析的関数
:<math>f:\mathbf{C}^n \longrightarrow \mathbf{C}</math>
に対してすべての[[孤立特異点]]は[[可除特異点|除去可能]]であるなど、いくつかの基本的な結果を証明した。ここで当然、[[周回積分]]と類似の概念は扱いが難しくなる。{{math|1=''n'' = 2}} の場合だと、ある点の周りの積分は、（実4次元で考えるため）3次元[[多様体]]上で行わなければならず、また2つの別々の複素変数についての逐次周回（線）積分は2次元曲面上の[[二重積分]]として扱われる必要がある。このことは、[[留数|留数計算]]が非常に異なる性質を持つようになることを意味する。

1945年以降、[[アンリ・カルタン]]のフランスでのセミナーにおける重要な研究や、{{仮リンク|ハンス・グラウエルト|en|Hans Grauert}}および{{仮リンク|ラインホルト・レンメルト|en|Reinhold Remmert}}のドイツでの重要な研究によって、理論の描像は著しく変化した。多くの問題、特に[[解析接続]]についての問題が、明らかにされた。ここで一変数の理論との主要な違いが明らかになる。すなわち、１変数の場合は{{math|'''C'''}} 内の任意の開連結集合 {{mvar|D}} に対して、その境界を超えて解析接続できない関数を見つけることができるが、多変数{{math|''n'' > 1}} の場合にはそのようなことはいえないのである。実際、そのような性質を持つ領域 {{mvar|D}} はあるていど特殊なものになる（[[擬凸性]]と呼ばれる条件をもつ）。最大限解析接続された関数の自然な定義域は、[[シュタイン多様体]]と呼ばれ、その性質は[[層係数コホモロジー]]群が消えるというものである。実は、（特に）岡の仕事を、理論の定式化において層を首尾一貫して使用することを導いたよりはっきりした基本へとすることが必要だったのだ。

さらに進んで、解析幾何（紛らわしいが、これは解析函数の零点の幾何に関する名称であり、初中等教育で習うような[[解析幾何学]]のことではない）や多変数の[[保型形式]]、[[偏微分方程式]]などに応用できる基本的な理論が構築された。また{{仮リンク|変形理論|label=複素構造の変形理論|en|deformation theory}}や[[複素多様体]]は、[[小平邦彦]]や[[ドナルド・スペンサー]]によって一般的な形で記述された。さらに、[[ジャン＝ピエール・セール|セール]]の高名な論文[[代数幾何学と解析幾何学|GAGA]]において、解析幾何 ({{fr|''géometrie analytique''}}) を代数幾何 ({{fr|''géometrie algébrique''}}) へと橋渡す観点が突き止められた。

[[カール・ジーゲル]]は、新たな''多変数複素関数論''の対象になる''関数''がほとんどない、すなわち、理論における[[特殊函数|特殊関数]]的な側面は層に従属するものであったことに、不平をもらしたことが知られている。[[数論]]に対する興味は、確かに、[[モジュラー形式]]の特定の一般化にある。その古典的な代表例は、{{仮リンク|ヒルベルトモジュラー形式|en|Hilbert modular form}}や{{仮リンク|ジーゲルモジュラー形式|en|Siegel modular form}}である。今日においてそれらは、[[代数群]]と関連付けられている。（それぞれ [[一般線型群|GL]](2) の[[総実体|総実代数体]]の{{仮リンク|ヴェイユ制限|en|Weil restriction}}と、[[シンプレクティック群]]である。）それらは、[[保型形式|保型表現]]が解析関数から生じうるものである。ある意味でこれはジーゲルとは矛盾しない。現代の理論はそれ自身の異なる方向性を持つものである。

その後の発展として、[[佐藤超函数|超関数]] (hyperfunction) の理論や{{仮リンク|楔の刃の定理|en|edge-of-the-wedge theorem}}が挙げられるが、それらはいずれも[[場の量子論]]からいくらかの着想を得たものである。その他、[[バナッハ環]]の理論など、多変数複素関数を利用する分野がいくつかある。

== '''C'''{{sup|''n''}} 空間 ==
最も簡単な[[シュタイン多様体]]は、複素数の {{mvar|n}}-[[タプル|組]]からなる空間 {{math|'''C'''{{sup|''n''}}}}（[[複素数空間|複素 {{mvar|n}}-次元数空間]]）である。これは[[複素数]]体 {{math|'''C'''}} 上の {{mvar|n}}-[[次元 (線型代数学)|次元]][[ベクトル空間]]とみることができて、つまり[[実数|{{math|'''R'''}}]] 上の次元が {{math|2''n''}} である<ref group="注釈">複素数体は実数体上 2 次元ベクトル空間である。</ref>。したがって、集合および[[位相空間]]として、{{math|'''C'''{{sup|''n''}}}} は [[実数空間|{{math|'''R'''{{sup|2''n''}}}}]] と等しく、その[[位相次元]]は {{math|2''n''}} である。

座標に依らない形で述べるならば、複素数体上の任意のベクトル空間は、その2倍の次元を持つ実ベクトル空間と考えることができる。ここに[[複素構造]]は、[[虚数単位]] {{math|''i''}} によるスカラー倍を定義する[[線型作用素]] {{mvar|J}}（{{math|1=''J''{{sup|2}} = −''I''}} をみたす）によって特定される。

そのような任意の空間は、実空間として[[向き|向き付けられている]]。[[ガウス平面]]を[[直交座標系|デカルト平面]]と見做したとき、複素数 {{math|1=''w'' = ''u'' + ''iv''}} を掛けるという操作は、実[[行列]]
:<math>\begin{pmatrix}
u &&-v \\
v && u
\end{pmatrix}</math>
によって表現される。これは 2次実正方行列で、[[行列式]]は
:<math>u^2 + v^2 = |w|^2</math>
となる。同様に、任意の有限次元複素線型作用素を実行列として表現すると（上述の形の 2×2 [[ブロック行列|ブロック]]によって構成され）、その行列式は対応する複素行列式の[[絶対値]]の[[自乗]]に等しい。それは非負の数であり、このことは複素作用素によって空間の（実の）向き付けが逆になることはないことを意味する。同様のことは {{math|'''C'''{{sup|''n''}}}} から {{math|'''C'''{{sup|''n''}}}} への[[正則函数|正則関数]]の[[ヤコビ行列]]に対しても適用される。

== 正則関数 ==

一変数複素関数の正則性の定義には、局所的に整級数で表されることを条件として定義する方法、[[コーシー・リーマン方程式]]を満たすことを条件として定義する方法、複素的に微分可能であることを条件として定義する方法の3通りの方法があった<ref>
{{Cite journal|和書| doi = 10.11429/sugaku1947.38.270| volume = 38| issue = 3| page = 270| author = 梶原壤二| title = 最近の多変数関数論| journal = [[数学 (雑誌)|数学]]| date = 1986}}
</ref>。多変数の場合にも複数の定義の仕方がある。

{{mvar|n}} を2以上の整数とし{{Efn|
一変数複素関数が正則であることの定義は既になされているものとする。
}}、{{mvar|f}}
を
{{math|'''C'''{{sup|''n''}}}}
の[[領域 (解析学)|領域]]
{{mvar|D}}
上定義された複素数値関数とする。{{mvar|f}}
に対する以下の条件は同値であり、いずれか一つ（したがって全て）を満たすとき、{{mvar|f}}
は
{{mvar|D}}
上'''正則'''（holomorphic）であるという。

* {{mvar|D}} の任意の点 {{math|''z''{{sub|0}}}} に対し、この点の[[近傍]]で収束するべき級数を用いて {{mvar|f}} は

:: <math>
f(z) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}_0^n}
c_\alpha (z-z_0)^\alpha
</math>

: と表される{{Sfn|酒井|1966|p=[{{NDLDC|1381566/14}} 17]}}。ここで {{math|'''N'''{{sub|0}}}} は0以上の[[整数]]のなす[[集合]]、{{math|(''z'' &minus; ''z''{{sub|0}}){{sup|''α''}}}} は[[多重指数記法]]による冪である。

* {{mvar|D}} の任意の点 {{math|''z''{{sup|(0)}}}} に対し、この点の近傍で連続な関数 {{math|''α''{{sub|1}}, ..., ''α{{sub|n}}''}} が存在しその近傍で

::<math>
f(z) = f(z^{(0)}) + \sum_{j=1}^{n} \alpha_j(z)(z_j - z_j^{(0)})
</math>

: が成り立つ。

* {{mvar|f}} は[[連続的微分可能]]な複素数値関数であり、各変数について[[コーシー・リーマンの方程式]]を満たす。

* {{mvar|f}} は連続であり、さらに、{{mvar|D}} の各点で {{mvar|n}} 個の変数のうち任意の {{math|''n''&thinsp;&minus;&thinsp;1}} 個の変数を固定し {{mvar|f}} を残りの1個の変数の関数と見たとき、この1変数複素関数が正則である。後者の条件が満たされるとき、{{mvar|f}} は'''各変数について正則'''であるという{{Sfn|酒井|1966|p=[{{NDLDC|1381566/15}} 18]}}。

* {{mvar|f}} は各変数について正則である（上の条件から連続という条件を外している）。

最後の条件を除く4条件が同値であることは、一変数複素関数の正則性の特徴づけやベキ級数の項別微分、コーシーの積分公式を用いれば示すことができる{{Sfn|酒井|1966|p=[{{NDLDC|1381566/15}} 18-25]}}。最後の条件、つまり変数別の正則性から連続性が導かれることは'''[[ハルトークスの定理|ハルトークスの正則性定理]]'''と呼ばれる著名な結果である{{Sfn|酒井|1966|p=[{{NDLDC|1381566/39}} 67]}}。

古典的には4番目の条件、つまり連続性と各変数についての正則性で多変数複素関数の正則性を定義していた{{Sfn|酒井|1966|p=[{{NDLDC|1381566/15}} 18]}}{{Sfn|辻|1935|p=[{{NDLDC|1785277/273}} 3]}}。

== 関連項目 ==
* [[連接層]]
* [[双正則写像]]
* [[正則領域]]
* [[複素射影空間]]
===定理===
* [[カルタンの定理]]
* [[ハルトークスの拡張定理]]
* [[ハルトークスの定理]]
===研究者===
* [[岡潔]]
* [[大沢健夫]]
===関連分野===
* [[クザン問題]]
* [[複素幾何学]]
* {{仮リンク|実多変数関数|en|Function of several real variables}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2015年10月}}
===洋書===
* {{Cite book|first1=H.|last1=Behnke|first2=P.|last2=Thullen|title=Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen|year=1934}}, Springer-Verlag, eISBN 978-3-642-99659-7 (電子版2013年).
* {{Cite book|first1=Salomon|last1=Bochner|authorlink1=サロモン・ボホナー|first2=W. T.|last2=Martin|title=Several Complex Variables|year=1948}}, Princeton Univ. Press, ISBN 978-0-69108032-1 
* H.Grauert and K.Fritzsche(1976). ''Several Complex Variables'', Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-9876-2
* {{Cite book|first=Lars|last=Hörmander|authorlink=ラース・ヘルマンダー|title=An Introduction to Complex Analysis in Several Variables|year=1973|origyear=1966|url={{Google books|MaM7AAAAQBAJ|An Introduction to Complex Analysis in Several Variables|plainurl=yes}}|edition=2|ref=harv}} and later editions
* Hörmander, Lars(1990). ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables'', 3rd Ed., North Holland, {{ISBN2|978-0444884466}}
* {{Cite book|first=Steven G.|last=Krantz|title=Function Theory of Several Complex Variables|year=1992}}, 2nd Ed., AMS Chelsea pub., ISBN 978-0-8218-2724-6
* {{Cite book|first=Volker|last=Scheidemann|title=Introduction to complex analysis in several variables|publisher=Birkhäuser|year=2005|isbn=3-7643-7490-X}}

===和書===
* {{Cite book|和書|author=辻正次|chapter=多複素變數函數論|title=岩波講座数学 VIII|publisher=岩波書店|year=1935|id={{NDLDC|1785277|format=NDLJP}}|ref={{SfnRef|辻|1935}}}}
* {{Cite book|和書|author=フランチェスコ・セヴェリ|translator=弥永昌吉|title=多変数解析函数論講義|publisher=岩波書店|year=1936|id={{NDLDC|1237856|format=NDLJP}}}}
* {{Cite book|和書|author=一松信|title=多変数函数論|publisher=共立出版|series=現代数学講座|year=1956}}
* {{Cite book|和書|author=一松信|title=多変数解析函数論|publisher=培風館|year=(1960年9月25日)|id={{NDLDC|2421964|format=NDLJP}}}}2016年に復刻出版。
* {{Cite book|和書|author=酒井栄一|title=多変数関数論|publisher=共立全書|year=1966|id={{NDLDC|1381566|format=NDLJP}}|ref={{SfnRef|酒井|1966}}}}
* {{Cite book|和書|author=梶原壌二|title=複素関数論|publisher=森北出版|year=(1968年11月1日)}}2007年にPOD化して復刻出版。
* {{Cite book|和書|author=ラース・ヘルマンダー|translator=笠原 乾吉|title=多変数複素解析学入門|publisher=東京図書|year=1973|edition=2|id={{NDLDC|12623477|format=NDLJP}}}}
* {{Cite journal|和書|author=倉田令二朗|title=多変数関数論を学ぶ|journal=[[数学セミナー]]|volume=（1977年7月号～1978年5月号）}}2015年に単行本化。
* 樋口禎一、吉永悦男、渡辺公夫：「多変数複素解析入門」、森北出版（数学ライブラリー、51）（1980年10月20日）。
* {{Cite book|和書|author=中野茂男|title=多変数函数論：微分幾何学的アプローチ|publisher=朝倉書店（数理科学ライブラリー、4）|year=(1981年5月20日)}}
* 広中平祐、ト部東介：「解析空間入門」、朝倉書店（数理科学ライブラリー、1）(1981年10月25日)．
* {{Cite book|和書|authors=樋口禎一、瀬島都夫、泉池敬司、渡辺公夫|title=多変数複素解析|publisher=培風館|isbn=4-563-00557-6|year=(1984年10月5日)}}
* {{Cite book|和書|author=西野利雄|title=多変数函数論|publisher=東京大学出版会|isbn=4-13-066900-1|year=(1996年11月20日)}}
* {{Cite book|和書|author=大沢健夫|title=多変数複素解析|publisher=岩波書店|series=現代数学の展開|year=1998}}2008年に単行本化。
* {{Cite book|和書|author=山口博史|title=複素関数|publisher=朝倉書店|year=2003}}2019年に復刻出版。
* {{Cite book|和書|author=安達謙三|title=多変数複素関数論|publisher=開成出版|year=2003}}
* 樋口禎一、吉永悦男、渡辺公夫:「多変数複素解析入門　POD版」、森北出版、ISBN 978-4-627-00519-8 (2003年9月)。（初版は1980年10月20日刊行）。
* 大沢健夫：「複素解析幾何と<math>\overline{\partial}</math>方程式」、培風館、 (2006年2月20日)。ISBN 4-563-00662-9。
* 梶原壤二：「複素関数論　POD版」、森北出版、ISBN 978-4-627-00029-2 (2007年5月）。（初版は1968年11月1日刊行）
* {{Cite book|和書|author=若林功|title=多変数関数論|publisher=共立出版|year=2013-12-20|isbn=978-4-320-01999-7}}
* {{Cite book|和書|author=野口潤次郎|title=多変数解析関数論：学部生へおくる岡の連接定理|publisher=朝倉書店|isbn=978-4-254-11139-2|year=(2013年3月30日)}}
* {{Cite book|和書|author=大沢健夫|title=岡潔 多変数関数論の建設|publisher=現代数学社|isbn=978-4-7687-0438-7|year=(2014年10月23日)}}
* {{Cite book|和書|author=倉田令二朗|others=高瀬正仁 解説|title=多変数複素関数論を学ぶ|publisher=日本評論社|year=2015}}
* {{Cite book|和書|author=安達謙三|title=多変数複素解析入門|publisher=開成出版|year=2016}}
* {{Cite book|和書|author=大沢健夫|title=多変数複素解析 増補版|publisher=岩波書店|year=2018}}
* {{Cite book|和書|author=野口潤次郎|title=多変数解析関数論 (第2版) ：学部生へおくる岡の連接定理|publisher=朝倉書店|year=2019}}
* {{Cite book|和書|author=安達謙三|title=多変数複素関数論序説|publisher=開成出版|year=2021}}
* {{Cite book|和書|author=野口潤次郎|title=岡理論新入門：多変数関数論の基礎|publisher=[[培風館]]|year=(2021年10月1日)}}
* 相原義弘、野口潤次郎：「複素解析：一変数・多変数の関数」、裳華房、ISBN 978-4-7853-1605-1（2024年3月25日)。

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:たへんすうふくそかんすう}}
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