多角形表記のソースを表示

'''多角形表記'''（たかくけいひょうき、polygon notation）とは、[[多角形]]を用いた[[巨大数]]の表記法である。{{仮リンク|ユゴー・スタインハウス|en|Hugo Steinhaus}}によって考案され、後に{{仮リンク|レオ・モーザー|en|Leo Moser}}によって拡張された。

== スタインハウスの多角形表記 ==
'''スタインハウスの多角形表記'''は、次のように定義される。
*[[ファイル:Triangle-n.svg|代替文=三角形の中にn|30x30ピクセル]] {{math|{{=}} n<sup>n</sup> {{=}} n↑n {{=}} n ↑<sup>2</sup> 2 {{=}} n → 2 → 2}}
*[[ファイル:Square-n.svg|代替文=四角形の中にn|30x30ピクセル]] {{math|{{=}} 「''n'' 重の[[三角形]]の中の ''n'' 」}}
*[[ファイル:Circle-n.svg|代替文=円の中にn|30x30ピクセル]] {{math|{{=}} 「''n'' 重の[[四角形]]の中の ''n'' 」}}

この表記を用いて、スタインハウスは次の数を定義した。
*[[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]] を'''メガ''' (mega) という。
*[[ファイル:Circle-ten.svg|30x30ピクセル|円の中に10]] を'''メジストン''' (megiston) という。

== モーザーの多角形表記 ==
'''モーザーの多角形表記'''は、スタインハウスのものを拡張し、一般の多角形を用いるようにした。
*[[ファイル:Triangle-n.svg|代替文=三角形の中にn|30x30ピクセル]]、[[ファイル:Square-n.svg|代替文=四角形の中にn|30x30ピクセル]]はスタインハウスのものと同じ。
*[[ファイル:Pentagon-n.svg|32x32ピクセル|[[五角形]]の中にn]] = 「''n'' 重の四角形の中の ''n'' 」 (= [[ファイル:Circle-n.svg|代替文=円の中にn|30x30ピクセル]] )
*一般に「''m'' 角形の中の ''n'' 」 = 「''n'' 重の (''m'' - 1) 角形の中の ''n'' 」

「[[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]]角形の中の2」 を'''モーザー数'''と言う。

== ブラケットでの表記 ==
[[ヨーク大学]]のSusan Stepney[[教授]]は、自らのサイトで次の代用表記を使っている。
*''p'' 角形の中の ''n'' を <math>n[p]\,</math> と表す。
*<math>[\ldots]</math> は必要なだけ繰り返せる。たとえば、''p'' 角形の中の ''q'' 角形の中の ''n'' は <math>n[q][p]\,</math> と表す。
*''k'' 重の ''p'' 角形の中の ''n'' を <math>n[p]_k\,</math> と表す。つまり、
::<math>n[p]_k = n \underbrace{ [p][p]...[p] }_k </math>
:である。

これを使えば多角形表記の定義は次のようになる。
*[[ファイル:Triangle-n.svg|代替文=三角形の中にn|30x30ピクセル]] = ''n''[3] = ''n''<sup>''n''</sup>
*[[ファイル:Square-n.svg|代替文=四角形の中にn|30x30ピクセル]] = ''n''[4] = ''n''[3]<sub>''n''</sub>
*[[ファイル:Pentagon-n.svg|32x32ピクセル|[[五角形]]の中にn]] = [[ファイル:Circle-n.svg|代替文=円の中にn|30x30ピクセル]] = ''n''[5] = ''n''[4]<sub>''n''</sub>
*一般に ''n''[''m''] = ''n''[''m''&minus;1]<sub>''n''</sub>（mが4以上の場合）

他の例としては：
*[[Image:Math n trip triangle.png|53x53px|4重の三角形の中にn]] = ''n''[3]<sub>4</sub>

スタインハウスとモーザーが定義した巨大数は次のように表せる。
*[[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]]（メガ） = 2[5]
*[[ファイル:Circle-ten.svg|30x30ピクセル|円の中に10]]（メジストン） = 10[5]
*モーザー数 = <nowiki>2[2[5]]</nowiki> = 2[②]

この代用表記は、モーザー数のような、忠実な多角形の図による表記が事実上不可能なほど巨大な数も表記できるという利点がある。

== 計算 ==
左から計算される。

=== 簡単な例 ===
* 2[3] = 2<sup>2</sup> = 4
* 2[4] = 2[3]<sub>2</sub> = 4[3] = 4<sup>4</sup> = 256

=== スタインハウスのメガ ===
[[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]] = 2[5]
: = 2[4]<sub>2</sub>
: = 2[4][4]
: = 256[4]
: = 256[3]<sub>256</sub>

したがって、[[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]]+1は[[フェルマー数]]である。

256[3]<sub>''n''</sub>を順に見ていくと、
:<math>256[3]=256^{256}\approx 32317.006\times{1,000,000}^{102}\approx{1,000,000}^{102.75157185330558129962287607}</math>
:<math>256[3]_{2}=256[3][3]= \left( 256^{256} \right) ^{256^{256}}=256^{256\times 256^{256}}= 256^{256^{257}} = \left(256 \uparrow\right) ^{2} 257\approx\left(1,000,000 \uparrow\right) ^{2} 103.08686993234988541821889367</math>
ここで、↑は[[クヌースの矢印表記]]である。
:<math>\begin{align}256[3]_{3}&=256[3]_{2}[3]= \left( 256^{256^{257}} \right) ^{256^{256^{257}}}
=256^{ 256^{257}\times 256^{256^{257}} }=256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left(256 \uparrow \right) ^2 \left( 257 + 256^{257} \right)\\&=4[4]\\&=2^{2^{11}}[3]_{2}=2^{2^{11}}[3][3]=\left(2^{2^{11}}\right)^{2^{2^{11}}}[3]=2^{2^{11}\cdot 2^{2^{11}}}[3]=2^{2^{11+2^{11}}}[3]=2^{2^{2059}}[3]\\&\approx \left(1,000,000^{3.320623171 \times 1,000,000^{103}} \right) ^{\left(1,000,000 \uparrow\right) ^{2} 103.0868699}\approx 1,000,000^{3.320623171 \times 1,000,000^{103}\times\left(1,000,000 \uparrow\right) ^{2} 103.0868699}\approx 1,000,000^{3.320623171 \times 1,000,000^{103+1,000,000 \uparrow 103.0868699}}\approx 1,000,000^{3.320623171 \times 1,000,000^{103+3.320623171 \times 1,000,000^{103}}}\\&\approx\left(10\uparrow\right)^3619.2993708444822 \end{align}</math>
となる。ここで、きわめて大雑把な「[[近似]]」
:<math>256[3]_3= 256^{256^{257 + 256^{257}}} \fallingdotseq 256^{256^{256^{257}}} = \left(256 \uparrow \right) ^{3} 257</math>
を導入する。しかし近似といっても実際は
:<math> 256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256 ^ {257}} \gg  256^{256^{256^{257}}} </math>
であり、通常の感覚ではまったくかけ離れていることに注意。このような現象を「指数タワーパラドックス」と呼ぶ。

同様に、
:<math>256[3]_4 \fallingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}} = (256 \uparrow) ^{4} 257</math>
:<math>256[3]_5 \fallingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}} = (256 \uparrow) ^5 257</math>{{refnest|group="注釈"|ここから先は、[[宇宙論]]で使われた最大の数（複数の宇宙の全質量を1個の[[ブラックホール]]に圧縮しそれが蒸発した後に、[[ポアンカレの回帰定理]]に従い再びブラックホールができる時間）<math>{10}^{{10}^{{10}^{{10}^{{10}^{1.1}}}}}\approx{10}^{{10}^{{10}^{3883775501690}}}\approx{10}^{{10}^{{10}^{{10}^{{3}^{2.3}}}}}\approx{10}^{{10}^{{3}^{{3}^{{3}^{3}}}}}\approx 3\uparrow^2 6\in\left[\left(3\uparrow\right)^5 2.89997, \left(3\uparrow\right)^6 1.03112\right]</math><ref group="注釈" name="3&uarr;&uarr;5">桁数が非常に大きいため、時間の単位を[[プランク時間]]・[[秒]]・[[年]]のいずれにしても無視できる範囲で近似する。</ref>よりも更に巨大化していく。}}
と「近似」できる。したがって、
:[[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]] {{math|{{=}} 256[3]<sub>256</sub> ≒ (256↑)<sup>256</sup> 257}}
である。

さらに大雑把な「近似」を認めれば、
: [[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]] {{math|≒ 256↑↑257}}
と表せる。ただし実際は、
: [[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]] {{math|≫  (256↑)<sup>256</sup> 257 ≫ 256↑↑257}}
である。

具体的な値は
: [[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]] {{math|≒ (10↑)<sup>255</sup>(1.99×10<sup>619</sup>) ≒ (1000000↑)<sup>255</sup>(3.3206232×1000000<sup>103</sup>)}}
に近く、したがって
:{{math|10↑↑257 <}} [[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]] {{Math|< 10↑↑258}}
の範囲にあって、
:{{math|1000000↑↑256 <}} [[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]] {{Math|< 1000000↑↑257}}
の範囲にある。
=== スタインハウスのメジストン ===
:[[ファイル:Circle-ten.svg|30x30ピクセル|円の中に10]] {{math|{{=}} 10[5] {{=}} 10[4]<sub>10</sub>}}

スタインハウスのメガの時と似た「近似」によって、およそ
:<math>a[4]\fallingdotseq a\uparrow\uparrow \left(a+1 \right)</math>
:<math>a[4]\fallingdotseq a\uparrow\uparrow \left(a+1\right) \fallingdotseq a\uparrow\uparrow a \quad \text{ when } \ a \gg 1</math> (*)
であるとすると、
:<math>10[4] \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow 11 </math>
:<math>10[4]_2 = 10[4][4] \fallingdotseq \left(10\uparrow\uparrow 11\right)\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11\right) </math>

ここで、一般の ''a'', ''b'', ''n'' について次のような式を考える。''a''↑''b'' = ''a<sup>b</sup>'' に注意すれば、
:<math>
\begin{align}
\left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n & = \left(a\uparrow\uparrow b\right)\uparrow \left\{\left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1\right) \right\} \\
& = \left[a\uparrow \left\{ a\uparrow \left(b-1\right) \right\} \right]\uparrow \left\{ \left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1\right) \right\} \\
& = a\uparrow \left[ \left\{ a\uparrow \left(b-1\right) \right\} + \left(a\uparrow\uparrow b\right) \uparrow\uparrow \left(n-1\right) \right] \\
\end{align}
</math>

''a'', ''b'' が十分に大きければ
:<math>a\uparrow \left(b-1 \right) \ll \left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1 \right)</math>
だから、
:<math> \left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n \fallingdotseq a\uparrow \left\{ \left(a\uparrow\uparrow b \right) \uparrow\uparrow \left(n-1 \right) \right\} </math>
と近似してよい。

これを ''n'' が 1 になるまで繰り返せば、
:<math>
\begin{align}
\left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n &\fallingdotseq \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{ \left(n-1\right) \text{ copies of } a }
\uparrow \left \{ \left(a\uparrow\uparrow b\right) \uparrow\uparrow 1 \right \} \\
&= \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{\left(n-1\right) \text{ copies of } a } \uparrow \left(a\uparrow\uparrow b \right) \\
&\fallingdotseq a\uparrow\uparrow \left \{ \left(n-1\right) + b \right \}
\end{align}
</math>

したがって、''n'' ≫ ''b'' ならば
:<math> \left(a\uparrow\uparrow b \right)\uparrow\uparrow n \fallingdotseq a\uparrow\uparrow n</math> (**)
と近似してよい。

(**) を用いて、改めて 10[4]<sub>2</sub> を近似すると
:<math>10[4]_2 \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right) </math>
である。以下同様に (*) と (**) を使えば
:<math>\begin{align}
10[4]_3 = 10[4]_2[4] &\fallingdotseq \left \{ 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right) \right\}
\uparrow\uparrow \left\{ 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right) \right\} \\
&\fallingdotseq 10\uparrow\uparrow \left\{ 10\uparrow\uparrow \left(10\uparrow\uparrow 11 \right) \right\} \\
&= 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 \\
&= \left(10 \uparrow\uparrow \right)^3 11\end{align}</math>
:<math>10[4]_4 = 10[4]_3[4] \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11= \left(10 \uparrow\uparrow \right)^4 11</math>
:<math>10[4]_5 = 10[4]_4[4] \fallingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = \left(10 \uparrow\uparrow \right)^5 11</math>

したがって、
:<math>10[4]_{10} \fallingdotseq 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow
10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow
10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 11= \left(10 \uparrow\uparrow \right)^{10} 11</math>
であるので、大雑把には
:[[ファイル:Circle-ten.svg|30x30ピクセル|円の中に10]] ≒ 10↑↑↑11
である。ただし、実際はメガと同様に、
:[[ファイル:Circle-ten.svg|30x30ピクセル|円の中に10]] ≫ (10↑↑)<sup>10</sup> 11 ≫ 10↑↑↑11
である。

=== モーザー数 ===
モーザー数は {{Math|2<nowiki>[</nowiki>}}[[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]]{{math|] {{=}} <nowiki>2[2[5]]</nowiki>}} である。したがって、<nowiki>2[2[5]]+1</nowiki>は[[フェルマー数]]である。先に示したように [[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]] は相当な巨大数であるので、[[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]] 角形はほとんど[[円 (数学)|円]]も同然であり、忠実な多角形の図による表記は事実上不可能である。

モーザー数が [[ファイル:Circle-two.svg|30x30ピクセル|円の中に2]] よりはるかに大きいことは自明で、また [[ファイル:Circle-ten.svg|30x30ピクセル|円の中に10]] よりもはるかに大きい。

しかし、[[グラハム数]]よりは圧倒的に小さいことが Tim Chow によって[[1998年]]に証明された<ref>[http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/gmproof.htm]</ref>。この証明によれば、モーザー数 ''M'' は[[コンウェイのチェーン表記|チェーン表記]]や[[クヌースの矢印表記|矢印表記]]、そして[[ハイパー演算子]]を用いて

:<math> M < 3 \rightarrow 3 \rightarrow (\left(3 \rightarrow 3 \rightarrow 5\right)\times 2 - 1) = 3 \rightarrow 2 \rightarrow (\left(3 \rightarrow 3 \rightarrow 5\right)\times 2)  = 3 \rightarrow 2 \rightarrow (\left(3 \rightarrow 2 \rightarrow 6\right)\times 2) = 3 \uparrow^{ \left (3 \uparrow^4 3 \uparrow^4 3 \right )\times 2}2 =
3 \uparrow^{ \left (3 \uparrow^3 3\uparrow^4\left(3 \uparrow^4 3-1\right) \right )\times 2 - 1 }3 =
3 \uparrow^{ 3^{3 \uparrow\uparrow \left(3 \uparrow^3 \left(3\uparrow^4\left(\operatorname{hyper}{\left(3, 6, 3\right)}-1\right)-1\right)-1\right)}\times 2}2 </math>

である。

モーザー数をクヌースの矢印表記で厳密に表すのは事実上不可能であるが、およそ {{math|3↑↑↑…（②&minus;2本）…↑↑↑3}} に近似すると考えられる。

== その他 ==
多角形表記では、巨大数のレベルとしては、クヌースの矢印表記レベルの巨大数を作ることができ、増加速度としては、近似的には、多角形表記の多角形の角を1つ増やすことは、クヌースの矢印表記の矢印を1本増やすことに相当する。

== 関連項目 ==
*[[巨大数]]
*[[クヌースの矢印表記]]
*[[コンウェイのチェーン表記]]

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* [http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/big.htm Susan Stepney's Big Numbers]
* {{MathWorld|urlname=Steinhaus-MoserNotation|title=Steinhaus-Moser notation}}

{{巨大数}}
{{DEFAULTSORT:たかくけいひようき}}
[[Category:巨大数]]
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:数学に関する記事]]