多重対数関数のソースを表示

[[解析学]]における'''多重対数関数'''（たじゅうたいすうかんすう）または'''ポリ対数関数'''（ポリたいすうかんすう、{{Lang-en-short|polylogarithm}}、略称'''ポリログ'''）もしくは'''ジョンキエールの関数'''（ジョンキエールのかんすう、{{Lang-fr-short|fonction de Jonquière}}）とは[[特殊関数]]の一つで、通常 <math>\operatorname{Li}_s(z) </math> と書かれ、以下のように定義される：

:<math>
\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.
</math>

ここで <math>s, z</math> は任意の[[複素数]]（ただし <math>|z|<1</math>）とする。普通、多重対数関数は（[[対数]]関数と異なり）[[初等関数]]には含めない。

一般に <math>\operatorname{Li}_s(z)</math> は <math>z</math> に関して <math>z=1</math> に極または[[分岐点 (数学)|分岐点]]を持つので、定義式には <math>|z|<1</math> という条件が必要であるが、[[解析接続]]を用いることで、これより広い範囲の <math>z</math> に対し多重対数関数を定義することができる。また、後述する例のように、<math>z</math> を特定の値に固定して、<math>\operatorname{Li}_s(z)</math> を <math>s</math> の関数とみなす場合には、<math>|z|=1</math> の場合であっても、特定の <math>s</math> に対しては<math>\operatorname{Li}_s(z)</math> が収束する場合もある。

<!--
{|  style="text-align:center"
|+ '''Different polylogarithm functions in the complex plane'''
|[[Image:Complex polylogminus3.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex polylogminus2.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex polylogminus1.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex polylog0.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex polylog1.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex polylog2.jpg|1000x140px|none]]
|[[Image:Complex polylog3.jpg|1000x140px|none]]
|-
|<math>
\operatorname{Li}_{-3}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{-2}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{-1}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{0}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{1}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{2}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{3}(z)
</math>
|}
-->

特に <math>s = 1</math> の場合はよく知られた[[自然対数]]に帰着される：

:<math>\operatorname{Li}_1(z) = -\ln(1-z)</math>

また <math>s = 2</math> および <math>s = 3</math> の場合は特にそれぞれdilogarithm（または{{Ill|スペンスの関数|en|Spence's function}}）およびtrilogarithmと呼ばれる。これらの名前は、冒頭の和の代わりに以下のような積分の繰り返しによっても定義できることから来ている：

:<math>
\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}dt
</math>

例えばdilogarithmは自然対数を用いた積分である等。

<math>s</math> が負の整数値を取るとき、多重対数関数は[[有理関数]]となる。

定義式において、<math>z</math> の定義域を無視し、形式的に<math>z=1</math> として、<math>\operatorname{Li}_s(1) </math> を <math>s</math> の関数とみなせば、定義式から明らかなように、[[リーマンゼータ関数]] <math>\zeta (s)</math> と一致する。つまり、次の関係が成り立つ。
: <math>\operatorname{Li}_s(1) = \zeta (s)</math>
また、<math>z=-1</math> とすれば、次の関係が成り立つ。
: <math>\operatorname{Li}_s(-1) = (2^{1-s}-1) \zeta (s)</math>

多重対数関数は[[フェルミ分布関数]]および[[ボース分布関数]]の積分を閉じた式で書くときに必要になり、そのような場合には'''フェルミ＝ディラック積分'''および'''ボース＝アインシュタイン積分'''と呼ばれることもある。

多重対数関数(polylogarithm)を[[:en:polylogarithmic]]な関数と混同しないよう注意すること。また、似た記法の[[対数積分|補正対数積分]]とも混同しやすい。

==参考文献==
* Wood, David C. (1992). [http://www.cs.kent.ac.uk/pubs/1992/110/ Technical Report 15-92.] University of Kent computing Laboratory, University of Kent, Canterbury, UK.
* Bailey, David; Borwein, Peter B., and Plouffe, Simon (1997). [http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF).] Mathematics of Computation 66 (218): 903-913. 
* Bailey, D. H. and Broadhurst, D. J. (1999). "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder", {{arxiv|archive=math.CA|id=9906134}}
* Vepstas, Linas (2007). "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". {{arxiv|archive=math.CA|id=0702243}}

== 外部リンク ==
* [https://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html Polylogarithm -- from Wolfram MathWorld]
* [http://math-functions-1.watson.jp/sub1_spec_040.html#section050 ポリ対数関数(多重対数関数)：特殊関数グラフィックスライブラリー]

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{{DEFAULTSORT:たしゆうたいすうかんすう}}
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