多重指数のソースを表示

[[数学]]において'''多重指数記法'''（たじゅうしすうきほう、{{lang-en-short|multi-index notation}}; 多重添字記法）は、[[添字記法]]を[[タプル|順序組]]を用いて多重化（多変数に一般化）する表記法であり、[[多変数微分積分学]]、[[偏微分方程式]]論、[[シュヴァルツ超函数|シュヴァルツ超関数]]論などの分野において、主に[[冪|整数冪]]の冪指数などの[[添字]]を多重化した'''多重指数'''、'''多重添字'''を用いて様々な式の表記を簡潔にする。

== 主な定義 ==
[[非負整数]]からなる {{mvar|n}}-次元（あるいは {{mvar|n}}-変数）の'''多重指数'''あるいは'''多重添字'''{{math|α}}とは[[非負整数]]全体の成す集合 {{math|'''N'''{{msub|0}}}} の {{mvar|n}}-重[[デカルト積]] {{math|'''N'''{{msub|0}}{{exp|''n''}}}} の元を言う。すなわち、{{math|α{{msub|1}}, α{{msub|2}}, ..., α{{msub|n}}∈'''N'''{{msub|0}} }}とすると
: <math>\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)</math>
である<ref name="小沢2008">{{harvnb|小沢 2008|ref="小沢2008"}}</ref>。場合によっては[[整数]]からなる多重指数や[[実数]]からなる多重指数も必要に応じて用いられる。

多重指数を利用して数ベクトルや[[勾配 (ベクトル解析)|勾配作用素]]の多重指数による冪を次のように定義する。
; 多重冪指数 <ref name="小沢2008"/>
: <math>x^\alpha := x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \dotsb x_n^{\alpha_n}. </math> ただし<math>x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n.</math>
; 高階[[偏微分]]の階数<ref name="小沢2008"/>
: <math>\partial^\alpha := \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \dotsb \partial_n^{\alpha_n}\quad (\partial_i^{\alpha_i}=\partial^{\alpha_i} / \partial x_i^{\alpha_i}).</math> ただし、<math>\partial = (\partial_1, \partial_2, \ldots, \partial_n)=</math>[[ナブラ|∇]]. 

=== 多重指数の演算 ===
以下、{{mvar|α, β}} は適当な数のクラスに成分を持つ多重指数とし、（通常の意味で書かれた右辺の式が定義される限りにおいて）右辺によって左辺を定義する。
; [[半順序]]
: <math>\alpha \le \beta :\iff \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}</math><ref name="小沢2008"/>
; 成分ごとの加法（と減法）
: <math>\alpha \pm \beta := (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm  \beta_n)</math><ref name="小沢2008"/>
:ただし、減法は<math>\beta \le \alpha </math>の時に限り定義される<ref name="小沢2008"/>。
; 長さ<ref name="小沢2008"/>、大きさ、絶対値、全次数
: <math>| \alpha | := \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n</math><ref name="小沢2008"/>
; [[階乗]]
: <math>\alpha ! := \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!</math><ref name="小沢2008"/>

またこれらを複合する形で
; [[二項係数]]
: <math>\binom{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!} := \binom{\alpha_1}{\beta_1}\binom{\alpha_2}{\beta_2}\cdots\binom{\alpha_n}{\beta_n}</math><ref name="小沢2008"/>
; [[多項係数]]
: <math>\binom{|\alpha|}{\alpha} = \frac{|\alpha|!}{\alpha!} := \frac{(\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n)!}{\alpha_1! \alpha_2! \cdots \alpha_n!}</math> 
なども定義できる。

== 応用例 ==
多重指数記法を用いれば、初等解析学における多くの公式をほとんどそのままの形で、対応する多変数の式にすることができる。以下はそのいくつかの例である。すべて<math>x,y,h\in\mathbb{X}^n</math>, <math>\alpha,\nu\in\mathbb{N}_0^n</math>,<math>f,a_\alpha\colon\mathbb{X}^n\to\mathbb{X}</math> (<math>\mathbb{X} = \mathbb{C},\mathbb{R}</math>).とする。

;[[多項定理]]
:<math> \biggl( \sum_{i=1}^n x_i\biggr)^k = \sum_{|\alpha|=k} \binom{k}{\alpha} \, x^\alpha</math>
;[[多重二項定理]]
::<math> (x+y)^\alpha = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, x^\nu y^{\alpha - \nu}.</math>
:注意: <math>x + y</math>はベクトルで<math>\alpha</math> は多重指数だから、左辺は <math>(x_1 + y_1 )^{\alpha_1} \cdots (x_n + y_n )^{\alpha_n}</math>の略記法である。
;[[ライプニッツ則]]
:''f'' と ''g''は滑らかな関数とする。
::<math>\partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g.</math>
;[[テイラー級数]]
:''n''引数の[[解析関数]]''f''は次のように展開される。
::<math>f(x+h) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n_0}^{}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}.</math>
:実際、''f''が''k+1''階微分可能な関数ならば、[[テイラー展開]]
::<math>f(x+h) = \sum_{|\alpha| \le k}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}+R_{k}(x,h),</math>
:を得る。ただし最終項(剰余項)はテイラーの定理における剰余項の表示形式によって異なる。例えば積分表示による剰余項であれば、
::<math>R_k(x,h)= (k+1) \sum_{|\alpha| =k+1}\frac{h^\alpha}{\alpha !}\int_0^1(1-t)^k\partial^\alpha f(x+th)\,dt.</math>
; 一般化[[偏微分作用素]]
:''n''項の形式的''N''階偏微分作用素は次のように定義される。
::<math>P(\partial) = \sum_{|\alpha| \le N}{}{a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}}.</math>
;[[部分積分]]
:有界な領域 <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> 上にコンパクトな台を持つ滑らかな関数''u'',''v''は、
::<math>\int_{\Omega}{}{u(\partial^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}^{}{(\partial^{\alpha}u)v\,dx}.</math>
:この形式は[[超関数]]と[[弱微分]]の定義において用いられる。

== 関連項目 ==
*[[アインシュタインの縮約記法]]
*{{仮リンク|リッチ計算法|en|Ricci calculus}}{{refn|group="注"|{{harv|矢野健太郎|1971}}に「リッチ計算法」と書かれているためこの訳を採用}}

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==注釈==
{{reflist|group="注"}}
== 参考文献 ==
* Saint Raymond, Xavier (1991). ''Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators''. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9
* {{Cite web|和書|author=小澤徹|year=2008|title=多重指数|url=https://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/taju_sisu.pdf|work=[https://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/koneta.html ,小澤徹 (おざわ とおる) 数学小ネタ集]|publisher=早稲田大学|accessdate=2021-11-07|ref="小沢2008"|format=PDF}}
* {{Cite journal|和書|author=矢野健太郎 |year=1971 |url=https://doi.org/10.11429/sugaku1947.23.101 |title=幾何学部門報告 |journal=数学 |ISSN=0039470X |publisher=日本数学会 |volume=23 |issue=2 |pages=101-106 |doi=10.11429/sugaku1947.23.101 |CRID=1390001205067286016 |ref=harv}}

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{{DEFAULTSORT:たしゆうしすう}}

[[Category:数学の表記法]]
[[Category:数学に関する記事]]