多重散乱理論のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年4月}}
[[散乱理論]]では単独のポテンシャルにおける[[電子]]（散乱するものは電子以外にも光や他の粒子など様々なものが存在）の散乱を扱ったが、現実の散乱は、多数のポテンシャル下でかつ散乱される対象も多数存在する。また一つの電子に限っても、散乱は一回限りでなく複数回散乱される。このような多重な散乱を扱う理論が'''多重散乱理論'''(Multiple scattering theory)である。

==格子上に配置したランダムなポテンシャル下での電子==
多重散乱理論には扱う対象により様々なものが考えられるが、以下に一つの例として並進対称に配置した格子系において、各格子（サイト）上にポテンシャルが[[ランダム]]（非周期的）に配置した場合を考える。以下、散乱されるのは電子としておく。

サイトnにあるポテンシャルをV<sub>n</sub>、[[自由電子]]（または無摂動）の[[ハミルトニアン]]をH<sub>0</sub>として、系を記述するハミルトニアンHを、
{{Indent|<math> H =\, H_0 + \sum_n V_n </math>}}

とする。次にこれを以下のように変形する。
{{Indent|<math> H = [H_0 + \tilde{V}(z)] + \sum_n [V_n - \tilde{V}_n(z)] = \tilde{H}(z) + v(z) </math>}}

ここで、
{{Indent|<math> \tilde{V}(z) = \sum_n \tilde{V}_n (z) </math>}}

であり、<math> \tilde{V}_n(z) </math>は任意の周期ポテンシャル。つまりポテンシャルV<sub>n</sub>を周期的部分<math> \tilde{V} </math>と非周期的部分<math>\,v</math>とに分けた訳である。zは複素エネルギー。上式で、v(z)は次のようv<sub>n</sub>(z)の和になっている。
{{Indent|<math> v(z) = \sum_n [V_n - \tilde{V}_n (z)] = \sum_n v_n(z) </math>}}

更に、この系における[[グリーン関数]]をG(z)とすると、G(z)は、
{{Indent|<math> G(z) = \frac{1}{z-\tilde{H}-v} = \frac{1}{ (z-\tilde{H})\left(1-\frac{v}{z-\tilde{H}}\right) } </math>}}

であり、
{{Indent|<math> \tilde{G} = \frac{1}{z-\tilde{H}}</math>}}

とし、非周期ポテンシャル部分vに関して展開すると、
{{Indent|
<math> G(z) = \tilde{G} \{1 + v \tilde{G} + v \tilde{G} v \tilde{G} + \cdots \} = \tilde{G} + \tilde{G} T \tilde{G} </math>

<math> T = v + v \tilde{G} v + v \tilde{G} v \tilde{G} v + \cdots </math>
}}
となる。Tを'''総散乱行列'''と言う。総散乱行列Tをサイトの和の形で表すと、

{{Indent|<math> T = \sum_n v_n + \sum_n v_n \tilde{G} \sum_m v_m + \sum_n \tilde{G} \sum_m v_m \tilde{G} \sum_p v_p \cdots </math>}}

となる。サイトnのポテンシャルv<sub>n</sub>のみを考え、[[散乱理論]]の場合と同じ要領でt行列が定義できる。
{{Indent|<math> t_n = v_n \{1 + \tilde{G} v_n + \tilde{G} v_n \tilde{G} v_n \cdots \} = v_n \frac{1}{1 - v_n \tilde{G} } = v_n [1 - v_n \tilde{G}]^{-1} </math>}}

加えて、

{{Indent|<math> t_n = v_n + v_n \tilde{G} \{ v_n + v_n \tilde{G} v_n + v_n \tilde{G} v_n \tilde{G} v_n \cdots \} = v_n + v_n \tilde{G} t_n </math>}}

である。総散乱行列TはサイトnでのT<sub>n</sub>の和、

{{Indent|<math> T = \, \sum_n T_n </math>}}

と表現でき、各T<sub>n</sub>は、

{{Indent|<math> 
\begin{align}
T_n & =  v_n + v_n \tilde{G} \sum_m v_m + v_n \tilde{G} \sum_m v_m \tilde{G} \sum_p v_p + \cdots \\
&= v_n \left\{ 1 + \tilde{G} \left[ \sum_m v_m + \sum_m v_m \tilde{G} \sum_p v_p + \cdots\right] \right\} \\ 
& = v_n \left[1 + \tilde{G} \sum_m T_m \right] 
\end{align} 
</math>}}

更に、

{{Indent|<math> T_n = v_n + v_n \tilde{G} T_n + v_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} T_m = t_n \left[1 + \tilde{G} \sum_{m \ne n} T_m \right] </math>}}

である。ここで、
{{Indent|<math> (1 - v_n \tilde{G})T_n = v_n + v_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} T_m, \quad t_n = v_n [1 - v_n \tilde{G}]^{-1} </math>}}

よりt<sub>n</sub>が出てくる。以上から総散乱行列Tは、t行列により次のように表される。

{{Indent|<math> T = \sum_n t_n + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m \tilde{G} \sum_{p \ne m} t_p + \cdots</math>}}

==形式解の提示==
ここでポテンシャルが全て同じであると考える。そして総散乱行列Tを次のように分解する。
{{Indent|<math> T = \, \sum_{n,n'}T_{nn'} </math>}}

分解されたT<sub>nn'</sub>は、
{{Indent|<math> T_{nn'} = t_n \delta_{nn'} + t_n G_0 \sum_{m \ne n} T_{mn'} </math>}}

となる。G<sub>0</sub>は自由電子のグリーン関数とする（<math> \tilde{G} \to G_0 </math>）。これにより、厳密な形式解を得ることができる。T<sub>nn'</sub>は更に、

{{Indent|<math> \begin{align}
T_{nn'} & =  t_n \delta_{nn'} + t_n G_0 \sum_{m \ne n} (t_m \delta_{mn'} + t_m G_0 \sum_{p \ne m} T_{pn'}) \\
& =  t_n \delta_{nn'} + t_n G_0 t_{n'} + t_n G_0 \sum_{m \ne n} t_m G_0 t_{n'} + \cdots
\end{align} </math>}}

となる。T<sub>nn'</sub>はサイトnから始まって、サイトn'で終わる全ての散乱過程を記述していることとなる。一方T<sub>n</sub>は、
{{Indent|<math> T_n = \, \sum_{n'} T_{nn'} </math>}}

であり、これはサイトnは考慮されるが、終点としてのサイトn'を考えていない。そして、T<sub>nn'</sub>の形式解は（但し、ここで'''r'''→'''k'''への[[フーリエ変換]]及び、角運動量表示を導入している）、
{{Indent|
<math> T_{nn'}^{LL'}(\kappa) = \tau_{n}^{l}(\kappa) \left[ \delta_{nn'}^{LL'} + \sum_{n_1,L_1} B_{nn_1}^{LL_1}(\kappa) \cdot T_{{n_1}n'}^{{L_1}L'}(\kappa)\right] </math>
{{Indent|
<math> T_{nn'} (\mathbf{k}, \mathbf{k'}) = (4 \pi)^2 \sum_{L,L'} Y_L (\mathbf{k}) T_{nn'}^{LL'} (k, k')Y_{L'} (\mathbf{k'}) </math>　：　角運動量表示}}
}}
となる（形式解導出の詳細は省略）。<math> B_{nn_1}^{LL_1} </math>は構造定数と言われるもので、結晶格子の種類にのみ依存する定数である。<math> \kappa = k = \sqrt{E} </math>であり。L,L',lなどは軌道角運動量に関しての指標である。τ<sub>n</sub>(κ)はt行列t<sub>n</sub>に相当する。ここで構造定数は具体的には、

{{Indent|<math>\begin{align}
B_{nn_1}^{LL_1}(\kappa) &= - \left[4 \pi i \kappa \sum_{L_1} i^{l-l'-l_1} C_{LL'L_1} Y_{L_1}(\mathbf{R}_n - \mathbf{R}_{n'}) h_l^{+}(\kappa | \mathbf{R}_n - \mathbf{R}_{n'} | ) \right](1 - \delta_{nn'}) \\
C_{LL'L_1} &= \int Y_L(\mathbf{q}) Y_{L'} (\mathbf{q}) Y_{L_1}(\mathbf{q})\,d \Omega_q 
\end{align}
</math>}}
となる。<math> h_l^{+} </math>は[[球ハンケル関数]]、Y<sub>L</sub>は[[球面調和関数]]である。尚、形式解は次のようにも表される。{{Indent|<math> T_{nn'}^{LL'}(\kappa) = \{ [\tau^{-1}(\kappa) - B(\kappa)]^{-1} \}_{nn'}^{LL'} </math>}}

この形式解から、[[状態密度]]をD(E)の表式を得ることができる。この時、上式左辺を<math> T_{nn'}^{LL'}(\kappa) = T(\kappa) </math>と略して表示。

{{Indent|<math>
\begin{align} 
D(E) - D_0(E) &=  {\frac{2}{N \pi} } \mathrm{Im\,Tr} {\frac{d}{dE} } \ln [T(\kappa)] \\ 
& = - {\frac{2}{N \pi} } \mathrm{Im\,Tr}\frac{d}{dE}\ln [\tau^{-1} - B(\kappa)] \\
& = -\frac{2}{N \pi}\mathrm{Im\,Tr} \left[T(\kappa) \left(\frac{d\tau^{-1}}{dE}-\frac{dB(\kappa)}{dE}\right) \right] \\ 
& = - \frac{2}{N \pi}\mathrm{Im} \sum_{n,L} \sum_{n_1, L_1} T_{nn_1}^{LL_1} \left[ \delta_{{n_1}n}^{{L_1}L} \frac{d (\tau_n^l (\kappa) )^{-1}}{dE} - \frac{d}{dE}  B_{{n_1}n}^{{L_1}L} (\kappa) \right]
 \end{align}
</math>}}

ここで、係数2はスピンの縮重度、Nは全サイト数、Imは虚数部分、Trはトレース（跡）を取ることを意味する。D<sub>0</sub>(E)は自由電子の状態密度。

==D<sub>0</sub>(E)の起源==
グリーン関数から状態密度を求める式は（エネルギーは全てEとする）、

{{Indent|<math> D(E) = - \frac{1}{\pi} \mathrm{Im}\,G(E) = - \frac{1}{\pi} \mathrm{Im}\, \{ \tilde{G}(E) + \tilde{G}(E) T(E) \tilde{G} (E) \} </math>}}

であり（スピン縮重度などの係数は省略）、ここで<math> \tilde{G}(E) \to G_0(E) </math>とすると、

{{Indent|<math> 
\begin{align} 
D(E) = - \frac{1}{\pi} \mathrm{Im}\,G(E) & = - {1 \over {\pi}} \mathrm{Im}\,\{ G_0(E) + G_0(E)\,T(E) \,G_0 (E) \} \\
& =  D_0 (E) - \frac{1}{\pi}\mathrm{Im}\,G_0(E) \,T(E)\,G_0(E)
\end{align}
</math>}}

となりD<sub>0</sub>(E)を移項すると、D(E) - D<sub>0</sub>(E)が出てくる。

== ランダムな系の多重散乱 ==
以上は、ポテンシャルを全て同一とみなしたが、最初の前提であるポテンシャルがランダムである場合、その扱いは難しくなる。ランダムさ（乱れ）には構造的な乱れ、配置の乱れなど多様な状況を考えることができるが、ここでは先にあるように原子の配置のみが乱れた系である置換型の[[不規則二元合金]]を考えるのが比較的扱いが楽である。このランダムな問題を解くものとして、平均化によってランダムさを一様なものとして扱うアプローチがある。これに関係する近似手法として[[単サイト近似]]、[[平均場近似]]（有効媒質近似）がある。多重散乱理論を出発点として、このようなランダムな系を扱うバンド計算手法として、[[Averaged t-matrix Approximation|ATA]]や[[コヒーレントポテンシャル近似|CPA]]がある。ランダムでない通常の周期的な系を、多重散乱理論を利用して解くバンド計算手法に[[KKR法]]がある。

{{DEFAULTSORT:たしゆうさんらんりろん}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:散乱理論]]