多重根号のソースを表示

[[代数学]]における'''多重根号'''（たじゅうこんごう）の式{{efn|厳密には「根号」(radical sign) は冪根 (radical) を表すために用いる記号のことを言うのであって、記号でなく「根号が入れ子になった式」({{lang-en-short|nested radical}}) そのものを「多重根号」と呼ぶのは甚だ不適当であるが、慣用的に式そのものを「多重根号」と呼ぶことがあるようにも思われる。少なくとも「多重根号の式」のように呼ぶならば取り立てて齟齬はないはずである}}は、少なくとも一つの根号（平方根号や立方根号など）の中に無理式{{efn|ここでは「無理式」 (irrational expression) を慣用に従って「根号の中に変数を含む代数式」の意味で用いる<ref>{{kotobank|無理式|百科事典マイペディア}}</ref>。「無理式」の語義「有理式でない代数式」を厳密にとれば本項で扱うべき式以外のものをも含むから、そうでないことを明確にするならば'''根式''' ({{lang-en-short|''radical expression''}}) を用いるほうがより適切と思われる。}}を含む無理式をいう。例を挙げると
:<math>\sqrt{8+3\sqrt{2}\ }</math>
また、[[正五角形]]を議論する際には、以下の多重根号の式が登場する。
;1辺が1の正五角形の[[高さ]] <math>\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}\ }</math>
;1辺が1の正五角形の面積 <math>\frac{5}{4\sqrt{5-2\sqrt{5}}}</math>
より複雑化した式の一つとしては、以下のようなものがある。
:<math>\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}\ }</math>

== 一重化 ==
多重根号の式の中には、一重根号の式に書き直すことができるものもある。例えば
:<math>\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2},</math>
:<math>\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}.</math>
このような書き直しは'''一重化''' (''denesting''; 脱多重化) という（外側の根号が消えるので「多重根号を外す」というような言い方もする）。一重化の過程は一般には難しい問題と考えられる。

=== 初等的な例 ===
特定のクラスの多重根号は初等的な計算に基づいて根号を外すことができる。以下の左辺の形をした二重根号の式が、右辺のように二つの平方根の和に分解できる条件を調べよう。すなわち、以下の等式
: <math>\sqrt{a\pm b \sqrt{c}\ } = \sqrt{d} \pm \sqrt{e}</math>
（ただし、<math>c</math>は平方数でない）が成り立つと仮定する。両辺を[[自乗]]した
: <math>a\pm b \sqrt{c} = (d + e) \pm 2\sqrt{de}</math>
に対し、両辺の{{ill2|係数比較|en|Equating coefficients}}（両辺の有理成分同士、無理成分同士がそれぞれを等しいとおく）によって、問題は「和が<math>a</math>に等しく、積が<math>\frac{b^2 c}{4}</math> に等しい二数 <math>d,e</math> を求めること」に帰着される。これは[[根と係数の関係]]により、特定の[[二次方程式]]を解く問題として解決することができる。
{{math proof|drop=yes|
上記の記述より、
:<math>d+e=a,de=\frac{b^2c}{4}</math>の関係式が得られる。解と係数の関係から、<math>d,e</math>は<math>t</math>についての二次方程式
:<math>t^2-at+ \frac{b^2c}{4} =0</math>の解である。
これを解いて、
:<math>t=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b^2c}}{2}</math>を得る。}}

あるいは以下のようにしても同様の結果が得られる。

{{math proof|drop=yes|
有理成分の比較 <math>a=d+e</math> から、<math>d=a-e</math> または
: <math>e=a-d</math>
を得る。また、無理成分の比較 <math>b\sqrt{c}=2\sqrt{de}</math> から、両辺自乗して先の式を代入すれば
:<math> b^2 c = 4d(a-d) = 4ad - 4d^2</math>
となり、整理すれば[[二次方程式]]
:<math> 4d^2 - 4ad + b^2 c = 0, </math>
を得る。これを解いて
:<math>d=\frac{a \pm \sqrt {a^2-b^2c}}{2}</math>
{{math|1=''a'' = ''d'' + ''e''}} ゆえ、二つの解 {{mvar|d, e}} は互いに{{ill2|代数共役|en|Conjugate (algebra)}}であるから、
: <math>d=\frac{a + \sqrt {a^2-b^2c}}{2}</math>
: <math>e=\frac{a - \sqrt {a^2-b^2c}}{2}</math>
と決まる。}}
このやり方で <math>\sqrt{a+b \sqrt{c}\ }</math> の形の多重根式を一重化できるための[[必要十分条件]]は <math> \sqrt{a^2 - b^2c}</math>が[[有理数]]となること、すなわち<math>a^2-b^2c</math> が[[平方数#一般化|平方数]]となることである（そのとき、多重根式の一重化は上で見た通りの二つの平方根の和になる）。
;例1 <math>\sqrt{3+2\sqrt{2}}</math>
:<math>a=3,b=c=2</math> であるから、<math>a^2-b^2c=3^2-2^2\cdot 2=1</math> は平方数となる。したがって、<math>d=\frac{3+1}{2}=2,e=\frac{3-1}{2}=1</math>となるから、<math>\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}</math>


;例2 <math>\sqrt{6+\sqrt{35}}</math>
:<math>a=6,b=1,c=35</math> であるから、<math>a^2-b^2c=6^2-1^2\cdot 35=1</math> は平方数となる。したがって、<math>d=\frac{6+1}{2}=\frac{7}{2},e=\frac{6-1}{2}=\frac{5}{2}</math>となるから、
:<math>\sqrt{6+\sqrt{35}}=\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}</math>

また、一般的には以下の等式が成り立つ。
;<math>a>0,b>0</math>のとき
:<math>\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}</math>
;<math>a>b>0</math>のとき
:<math>\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}-\sqrt{b}</math>

場合によっては、多重根式の一重化に高次の冪根が必要となる。例えば、
:<math>\sqrt{4 + 3 \sqrt{2}} =\sqrt{(\sqrt{2}+2\sqrt{2})+2\sqrt{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2} } }=\sqrt{(\sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{8})^2} =\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{8}</math>
と強引に根号が外れる形にする必要がある。他には、
:<math>\sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}(\sqrt[4]{12} + \sqrt[4]{108})</math>
:<math>\sqrt[3]{10+7\sqrt{2}}=\sqrt[6]{2}+\sqrt[3]{4}</math>
:<math>\sqrt[3]{5+3\sqrt{3}}=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{4}+\sqrt[6]{432})</math>

=== ラマヌジャンの等式 ===
[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]は、多重根号を外す操作を含む特徴的な等式をいくつも示して見せた。以下にそれらを列挙する<ref>"A note on 'Zippel Denesting'", Susan Landau, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.35.5512&rep=rep1&type=pdf</ref>。
: <math>\sqrt[{}^{\scriptstyle 4}]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]{5}}{3 - 2 \sqrt[4]{5}}} = \frac{ \sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1}=\frac{1}{2}(3+\sqrt[4]5+\sqrt5+\sqrt[4]{125}\,)</math>
: <math> \sqrt{ \sqrt[3]{28} - \sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}(\sqrt[3]{98} - \sqrt[3]{28} -1)</math>
: <math> \sqrt[{}^{\scriptstyle 3}]{ \sqrt[\scriptstyle 5]{\frac{32}{5}} - \sqrt[\scriptstyle 5]{\frac{27}{5}} } = \sqrt[\scriptstyle 5]{\frac{1}{25}} + \sqrt[\scriptstyle 5]{\frac{3}{25}} - \sqrt[\scriptstyle 5]{\frac{9}{25}}</math>
: <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{\sqrt[3]{2}\ - 1}= \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{4}{9}} </math> <ref>"RADICALS AND UNITS IN RAMANUJAN’S WORK", Susan Landau, http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/radicals.ps</ref>
他にも、以下に挙げるような一風変わった等式が、ラマヌジャンによって発見された。
: <math>\sqrt[4]{49 + 20\sqrt{6}} + \sqrt[4]{49 - 20\sqrt{6}} = 2\sqrt{3}</math>
: <math>\sqrt[3]{(\sqrt{2}+ \sqrt{3})(5 - \sqrt{6}) + 3(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})} = \sqrt{10 - \frac{13 - 5\sqrt{6}}{5 + \sqrt{6}}} </math>

=== ランダウのアルゴリズム ===
{{main|{{仮リンク|ランダウのアルゴリズム|en|Landau's algorithm}}}}
[[1989年]]に、{{仮リンク|スーザン・ランダウ|en|Susan Landau}}が多重根号を外すことのできる多重根式を決定するための、最初の[[アルゴリズム]]を導入した<ref>{{Cite journal |id={{citeseerx|10.1.1.34.2003}} |title=Simplification of Nested Radicals |authorlink=Susan Landau |first=Susan |last=Landau |publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] |journal=Journal of Computation |volume=21 |year=1992 |pages=85-110 |doi=10.1109/SFCS.1989.63496}}</ref>。それ以前のアルゴリズムは、上手く行った場合もあったが、それ以外には適合しなかった。

== 無限多重根号 ==
=== 平方根の場合 ===
特定の条件を満たす
: <math> x = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}} </math>
のような無限多重平方根は[[有理数]]を表す。[[根号]]の中にも {{mvar|x}} が実現されていることに気付けば方程式
: <math>x = \sqrt{2+x}</math>
が得られるから、この有理数は求められる（ただし、xが収束することを先に証明しなければならない）。つまり、この方程式を解いて {{math2|1=''x'' = 2}} が分かる（両辺自乗して得られる二次方程式のもう一つの解 {{math2|1=''x'' = &minus;1}} は不適である。それは、規約により右辺が {{math|2 + ''x''}} の「正」の平方根を意味するから、左辺 {{mvar|x}} もまた正でなければならないことによる。）。同じやり方は、一般に {{math2|''n'' > 0}} に対して
: <math>\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\cdots}}}} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt {1+4n}\,),</math>
同じく
: <math>\sqrt{n-\sqrt{n-\sqrt{n-\sqrt{n-\cdots}}}} = \frac{1}{2}(-1 + \sqrt {1+4n})</math>
を示すのにも通用する。後者の式は、 {{math2|''x'' > 0}} によって
: <math>n = x^2 - x</math>
と表すことのできる任意の {{mvar|n}} に対して、{{mvar|x}} を値としてとる{{efn|明らかに <math>1+4n=1+4x+4x^2=(2x+1)^2</math> だから<math>\frac{-1+\sqrt{1+4n}}{2}</math>}}。

==== ラマヌジャンの問題 ====
[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]は、[[雑誌]]『Journal of Indian Mathematical Society』にこの問題を提示した。
: <math>? = \sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+\cdots}}}.</math>
これはより一般的な公式を記述することにより、解くことができる。
: <math>? = \sqrt{ax+(n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n) \sqrt{\mathrm{\cdots}}}}</math>
これを''F''(''x'')と設定し、両項を2乗すると以下の式が得られる。
: <math>F(x)^2 = ax+(n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n) \sqrt{\mathrm{\cdots}}}</math>
これは、以下のように簡略化できる。
: <math>F(x)^2 = ax+(n+a)^2 +xF(x+n)</math>
よって、左辺と右辺の ''x'' の[[次数]]を比べることで ''F''(''x'') は ''x'' の[[1次式]]であることが分かり ''F''(0) の値より以下の式で表せる。
: <math>F(x) = x + n + a \ </math>
よって、{{math2|''a'' = 0, ''n'' = 1''x'' = 2}} を上の式に代入すると、
: <math>3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+\cdots}}}.</math>
ラマヌジャンは彼のノート（現存せず）において
: <math>\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\cdots}}}}}}}=\frac{2+\sqrt{5}+\sqrt{15-6\sqrt{5}}}{2}</math>
という無限多重平方根の根号を外した式を述べている。（上式の符号のパターンは {{math2|+, +, &minus;, +}} の繰り返しである）

==== ヴィエトの円周率公式 ====
[[円周率]] {{pi}} に関する{{ill2|ヴィエトの公式|en|Viète's formula}}は
: <math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots.</math>

=== 立方根の場合 ===
特定の場合において、
: <math>x = \sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\cdots}}}}</math>
のような無限多重立方根もまた同様に有理数を表す。再び、式全体がそれ自身の中に見つけられることを利用して
: <math>x = \sqrt[3]{6+x}</math>
だけを残す。方程式を解いて {{math|1=''x'' = 2}} が求まる。より一般に、{{math|''n'' > 0}} に対して
: <math>\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n+\cdots}}}}</math>
は方程式 {{math2|1=''x''{{exp|3}} &minus; ''x'' &minus; ''n'' = 0}} の実根である。特に {{math2|1=''n'' = 1}} のとき、根は[[プラスチック数]] {{mvar|ρ}}（約 {{math|1.3247}}）になる。

同じ手順で、任意の {{math2|''n'' > 0}} に対して
: <math>\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\sqrt[3]{n-\cdots}}}}</math>
の値を方程式 {{math2|1=''x''{{exp|3}} + ''x'' &minus; ''n'' = 0}} の実根として得ることができる。

== 関連項目 ==
* [[平方数]]
* [[冪根]]
* [[二次体]]
* [[リーマン面]]
* [[ド・モアブルの定理]]
* [[プラスチック数]]

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|797|二重根号の外し方・外せないものの判定}}
* {{Cite journal |authorlink=Susan Landau |first=Susan |last=Landau |title=How to Tangle with a Nested Radical |journal={{仮リンク|Mathematical Intelligencer|en|Mathematical Intelligencer}} |volume=16 |pages=49-55 |year=1994}}
* [http://www.almaden.ibm.com/cs/people/fagin/symb85.pdf Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots]
* [http://www.cybertester.com/data/denest.pdf Simplifying Square Roots of Square Roots]
* {{mathworld|urlname=SquareRoot|title=Square Root}}
* {{mathworld|urlname=NestedRadical|title=Nested Radical}}

{{DEFAULTSORT:たしゆうこんこう}}
[[Category:算術]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:代数的数]]
[[Category:数学に関する記事]]