多重線型形式のソースを表示

[[数学]]、より具体的には[[抽象代数学]]と[[多重線型代数]]において、'''多重線型形式'''（たじゅうせんけいけいしき、{{lang-en-short|multilinear form}}）とは、[[多変数函数|複数]]のベクトルを変数とするスカラー値の函数であって、どの変数に関しても（ほかの変数を止めて）[[線型写像]]となっているようなものを言う。多重線型形式は[[テンソル]]の定式化において重要である。

多重線型形式（特に交代形式）重要な例として、[[行列式]]と[[微分形式]]が挙げられる。

== 定義 ==
{{mvar|V}} を[[可換体|体]] {{mvar|K}} 上の[[ベクトル空間]]とし、{{math|''V{{exp|k}}'' {{coloneqq}} ''V'' × ⋯ × ''V''}} は {{mvar|V}} の {{mvar|k}} 個の[[ベクトル空間の直積|直積]]とする。{{mvar|V}} 上 {{mvar|k}}-変数の函数 <math display="block">f\colon V^k \to K</math> が {{mvar|k}}-重線型または {{mvar|k}}-線型であるとは、各変数 {{mvar|x{{sub|i}}}} に対して <math display="block">f(x_1,\dotsc,c\cdot x_i,\dotsc,x_n) = c\cdot f(x_1,\dotsc,x_i,\dotsc,x_n)</math> および <math display="block">f(x_1,\dotsc,x_i+x_i',\dotsc,x_n)=f(x_1,\dotsc,x_i,\dotsc,x_n)+f(x_1,\dotsc,x_i',\dotsc,x_n)</math> を満たすときに言う<ref>{{MathWorld |title=Multilinear Form |urlname=MultilinearForm|author=Pomp, Marek}}</ref>。{{mvar|k}} を特に指定しないとき、多重線型形式と総称する。

{{mvar|V}} 上の {{mvar|k}}-重線型形式全体の成す空間 {{math|''L{{sub|k}}''(''V'')}} は[[点ごと|通常の]]和とスカラー倍に関してベクトル空間を成す。このベクトル空間は {{mvar|k}}-階共変テンソルの空間 {{math|1=''T{{sub|k}}''(''V'') = ''V*'' &otimes; ⋯ &otimes; ''V*''}}（{{mvar|V*}} は {{mvar|V}} の[[双対空間]]で、{{math|&otimes;}} は[[ベクトル空間のテンソル積]]）に[[自然同型]]であり、その意味で {{mvar|k}}-重線型形式を {{mvar|k}}-階共変[[テンソル]]と看做すことができる。

== {{vanc|テンソル積|多重線型形式のテンソル積}} ==
{{seealso|テンソル積#線型写像のテンソル積}}
{{mvar|k}}-重線型形式全体の成す空間 {{math|''L{{sub|k}}''(''V'')}} は点ごとの積に関しては閉じていないが、{{math|''f'' ∈ ''L{{sub|k}}''(''V''), ''g'' ∈ ''L{{sub|l}}''(''V'')}} の点ごとの積: <math display="block">(f\otimes g)(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{k+l}):=f(v_{1},\ldots ,v_{k})g(v_{k+1},\ldots ,v_{k+l})</math> は {{math|(''k'' + ''l'')}}-重線型形式となる（これを {{mvar|f}} と {{mvar|g}} との'''テンソル積'''と呼ぶ）。したがって {{math|''L{{sub|k}}''(''V'') &otimes; ''L{{sub|l}}''(''V'') &sub; ''L{{sub|k+l}}''(''V'')}} であり、無限直和 <math display="inline">\bigoplus_k L_k(V)</math> はこの積に関して閉じていて、[[次数付き多元環]]として共変テンソル代数との自然な同型 <math display="inline">\bigoplus_k L_k(V) \cong T_\bullet(V)</math> がある。

このように定義された多重線型形式のテンソル積は[[可換]]でない。しかしテンソル積は[[結合的]]かつ[[双線型]]な乗法を与えている。

== 例 ==
* {{math|1=''k'' = 2}}, すなわち変数が2つだけのときは、{{mvar|f}} を[[双線型形式]]と呼ぶ。
* 重要なタイプの多重線型形式として、'''[[交代多重線型形式]]''' {{en|(alternating multilinear form)}} &mdash;交代性: 2つの引数が同じときに消える <math>f(\dots,x,\dots,x,\dots) = 0</math> という追加の性質{{efn2|{{mvar|K}} の標数が {{math|2}} でないとき、交代性は'''反対称性'''、すなわち2つの引数を交換したときに符号が変わること：<math>f(\dots,x,\dots,y,\dots) = -f(\dots,y,\dots,x,\dots). </math> と同値である（標数が {{math|2}} のときは多重線型形式が反対称であっても交代であるとは限らない}}を持つもの&mdash;がある。{{mvar|V}} 上の {{mvar|k}}-重線型交代形式の全体 {{math|''A{{sub|k}}''(''V'')}} は、{{mvar|V*}} の {{mvar|k}}-次[[外冪]] {{math|'''⋀'''{{sup|''k''}}(''V*'')}}に同型であり、交代多重線型形式は多重余ベクトル (multi-covector) に対応する。
* [[微分形式]]は多様体上の共変[[テンソル場]]であり、多様体の各点 {{mvar|p}} において {{mvar|p}} における[[接空間]]上の交代多重線型形式を与える。

==関連項目==
*[[双線型写像]]
*[[斉次多項式]]
*[[線型写像]]
*[[多重線型代数]]
*[[多重線型写像]]

== 注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist}}
==参考文献==

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Multilinear Form |urlname=MultilinearForm|author=Pomp, Marek}}
* {{SpringerEOM|title=Multilinear form |urlname=Multilinear_form|first=A.L.|last=Onishchik}}

{{DEFAULTSORT:たしゆうせんけいけいしき}}
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[[Category:多重線型代数]]
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