多項式行列のソースを表示

{{distinguish|行列多項式}}
{{複数の問題
|出典の明記=2024年4月
|脚注の不足=2024年4月
}}
[[数学]]における'''多項式行列'''（たこうしきぎょうれつ、{{Lang-en-short|''polynomial-matrix''}}）は、[[多項式]]（一変数あるいは[[多変数多項式|多変数]]）を成分とする[[行列]] (''matrix of polynomial'') を言う。この場合の「行列」は一般の矩形行列でもよいが、（多項式として）乗法が自由に行えないことは不便であるので、[[正方行列]]の範囲で考えることもよくある。

あるいは「多項式行列とは、'''行列係数の多項式'''{{efn2|他方、'''行列変数の多項式''' (polynomial of matrix) は[[行列多項式]] (matrix-polynomial) と呼ぶ。}}のことである」と[[同値|言ってもよい]]{{efn2|それゆえ、行列係数の単項式 (monomial) であるような多項式行列を「単項式行列」と呼べなくもないが、[[単項行列]] (monomial matrix) と混同してはならない（後者は非零成分を各行各列にただ一つずつ持つような行列である）。}}（[[抽象代数学]]の言葉を用いれば、[[係数環]]を {{mvar|R}} として、[[行列環]] {{math|''M{{sub|n}}''(''R''{{bracket|''X''}})}} と[[多項式環]] {{math|(''M{{sub|n}}''(''R'')){{bracket|''X''}}}} は[[自然同型|自然]]に[[環準同型|環同型]]である{{efn2|あるいは矩形行列の場合にも {{math|''M{{sub|m,n}}''(''R''{{bracket|''X''}}) &cong; (''M{{sub|m,n}}''(''R'')){{bracket|''X''}}}} が自然な[[線型同型]]としては成り立っている}}と言い表せる）。すなわち一般に、一変数 {{mvar|x}} に関する[[多項式の次数|次数]] {{mvar|p}} の多項式行列 {{mvar|P}} は、定数（スカラー）の成分を持つ同じ型の行列 {{mvar|A{{sub|i}}}} ({{math|1=''i'' = 1, …, ''p''}}) で {{mvar|A{{sub|p}}}} は[[零行列]]でないものとして <math display="block">P = \sum_{n=0}^p A_n x^n = A_0 + A_1 x + A_2 x^2 + \dotsb + A_p x^p</math> の形に書くことができる{{efn2|変数 {{mvar|x}} を係数体（あるいは係数環）の任意の値をとるスカラーと看なせば、行列論の慣習としてスカラー {{mvar|x}}-倍は左から掛ける記法が普通かもしれないが、多項式としては係数を左に書くのが普通である。行列のスカラー倍を[[スカラー行列]]を[[行列の積|掛ける]]操作と思えば（可換環を係数とする限り）左右どちらに書いても矛盾はない。}}。例えば、<math display="block">\begin{pmatrix}
1 & x^2 & x \\
0 & 2x & 2 \\
3x+2 & x^2-1 & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
3 & 0 & 0
\end{pmatrix}x+\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}x^2
</math> は {{math|3 × 3}} の二次多項式行列である。

== 性質 ==
* [[可換体|体]]上の多項式行列は、その[[行列式]]が{{ill2|係数体|en|Ground field}}の非零元に等しいとき[[ユニモジュラ多項式行列|ユニモジュラ]]であるといい、そのときやはり多項式行列を[[逆行列]]に持つ。明らかなことだが、一次以上の任意の多項式の逆数はもはや多項式でなく[[有理式]]となるから、{{math|1 × 1}} ユニモジュラ多項式行列（ユニモジュラ多項式）は次数零（つまり非零[[定数多項式]]）に限ることに注意。
* [[複素数]]体上の多項式行列 {{mvar|P}} の根全体の成す集合は、[[複素数平面]]において {{math|1=[[行列の階数|rank]] ''P'' = 0}} となるような点全体の成す集合に一致する。

通常の（つまり成分がスカラーの）正方行列 {{mvar|A}} に対し、変数 {{mvar|λ}} を係数体の任意の値をとるスカラーと看なすとき、多項式行列 {{math|''λI'' &minus; ''A''}} は行列 {{mvar|A}} の'''特性行列'''、その行列式 {{math|{{abs|''λI'' &minus; ''A''}}}} は行列 {{mvar|A}} の[[特性多項式]]（固有多項式）と呼ばれる。

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist2}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* E. V. Krishnamurthy, Error-free Polynomial Matrix computations, Springer Verlag, New York, 1985

{{Linear-algebra-stub}}
{{デフォルトソート:たこうしききようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:多項式]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]