大円のソースを表示

<!--{{about|the mathematical notion|its applications in geodesy|great-circle distance|the fictional interstellar organization called Great Circle|Andromeda (novel)}}
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{{no footnotes|date=March 2018}}
[[File:Great circle hemispheres.png|thumb|right|大円は球を二つの等しい半球に分ける]]
[[初等幾何学]]または[[球面幾何学]]における[[球面|球]]の'''大円'''（だいえん、{{lang-en-short|''great circle'', ''orthodrome''}}）は、球面と球の中心を通る[[平面]]との交線を言う。大円は、与えられた球面上に描くことのできるもっとも大きな円である。任意の大円の任意の[[直径]]はもとの球の直径に一致し、したがって任意の大円は互いに同じ中心と[[円周|周長]]を持つ。大円は{{ill2|球面上の円|en|circle of a sphere}}の特別の場合で、球面と中心を通らない平面との交線である「小円」と対照するものである。三次元[[ユークリッド空間]]内の任意の[[円 (数学)|円]]は、ただ一つの球の大円となる。

[[極]]（および[[赤道]]）を導入し、大円上で最も極に近づく点を[[頂点]]、赤道と交わる点を[[交点]]と呼ぶ。

球面上の点からなるほとんどの対はその二点を通る大円が一意に決まる。例外は{{ill2|対蹠点 (数学)|en|Antipodal point|label=対蹠点}}の対の場合で、対蹠点を通る大円は無限個存在する。二点を結ぶ大円の劣弧は、球面上でそれらを結ぶ最短経路となる。その意味で、この劣弧は[[ユークリッド幾何学]]における[[直線]]の類似対応物である。[[リーマン幾何学]]において、大円の劣弧の長さを球面上の二点間の「距離」とするとき、それらを込めた意味での大円は{{ill2|リーマン円|en|Riemannian circle}}と呼ばれる。これら大円は球面の[[測地線]]である。

より高次元の場合にも、ユークリッド空間 {{math|'''R'''{{sup|''n''+1}}}} の原点を中心とする[[超球面|{{mvar|n}}-次元球面]]上の大円は、{{mvar|n}}-次元球面と原点を通る二次元平面との交叉として定義される。

== 最短経路の導出 ==
{{see also|大円距離}}
大円の劣弧長が球面上の二点間を結び最短経路であることを示すために、[[変分法]]を適用することができる。

点 {{mvar|p}} から別の点 {{mvar|q}} への正則経路全体の成すクラスを考える。[[球面座標系]]を入れて、{{mvar|p}} を北極に一致させる。端点以外ではどちらの極も通らない球面上の任意の曲線は <math display="block">\theta := \theta(t),\quad \phi := \phi(t),\quad (a\le t\le b)</math> と媒介表示できる。{{mvar|φ}} は任意の実数値をとれるものと仮定する。この座標系における無限小弧長（線素）は <math display="block">ds = r\sqrt{\theta'^2+\phi'^{2}\sin^{2}\theta}\, dt
</math> で与えられるから、{{mvar|p}} から {{mvar|q}} へ向かう曲線 {{mvar|γ}} の弧長は、曲線を変数とする[[汎函数]]として <math display="block">S[\gamma] := r\int_a^b\sqrt{\theta'^2+\phi'^{2}\sin^{2}\theta}\, dt
</math> で与えられる。[[オイラー&ndash;ラグランジュ方程式]]に従って、{{math|''S''{{bracket|''γ''}}}} が最小化される必要十分条件が <math display="block">\frac{\sin^2\theta\phi'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=C</math>（{{mvar|C}} は {{mvar|t}} に無関係な定数）および <math display="block">\frac{\sin\theta\cos\theta\phi'^2}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}=\frac{d}{dt}\frac{\theta'}{\sqrt{\theta'^2+\phi'^2\sin^2\theta}}</math> となることであるとわかる。前二つの式から、<math display="block">\phi'=\frac{C\theta'}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-C^2}}</math> を得る。両辺積分して境界条件を考慮すれば、{{mvar|C}} の実解は {{math|0}} で、{{math|1=''φ&prime;'' = 0}} となり、{{mvar|θ}} は {{math|0}} から {{math|''θ''{{sub|0}}}} の間の任意の値となれるから、これは曲線が球面の経線上に載っていることを示唆している。直交座標系では <math display="block">x\sin\phi_0 - y\cos\phi_0 = 0</math> が球面の中心である原点を通る平面を表す。

== 応用 ==
[[天球]]上の大円のいくつかの例として、[[天の地平線]]・[[天の赤道]]・[[黄道]]などが挙げられる。（地球を含めた[[天体]]は回転楕円体であって完全な球ではないけれども）[[地表]]などの{{ill2|楕円体上の測地|en|geodesics on an ellipsoid}}の高精度近似としても大円は用いられ、空路や海路の[[大圏コース]]が設定される。

理想化された地球の[[赤道]]も一つの大円であって、任意の経線はその反対側の経線とつなげば大円となる。{{ill2|大地と水の半球|en|land and water hemispheres}}を分けるのも大円である。地球は大円によってふたつの[[地球の半球|半球]]に分割する。ある点を大円が通るならばその点の対蹠点もその大円は必ず通過しなければならない。

{{ill2|ファンク変換|en|Funk transform}}は函数を球面上の大円上で積分する。

== 関連項目 ==
* [[大円距離]]
* [[大圏コース]]
* [[等角航路]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=GreatCircle|title=Great Circle}} Great Circle description, figures, and equations. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
* {{PlanetMath|urlname=GreatCircle|title=great circle}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GreatCirclesOnMercatorsChart/ Great Circles on Mercator's Chart] by John Snyder with additional contributions by Jeff Bryant, Pratik Desai, and Carl Woll, [[Wolfram Demonstrations Project]].
* [https://www.greatcirclemapper.net/ Great circle mapper]
* [https://sites.google.com/site/navigationalalgorithms/papersnavigation Navigational Algorithms] Paper: The Sailings.
* [https://sites.google.com/site/navigationalalgorithms/ Chart Work - Navigational Algorithms] Chart Work free software: Rhumb line, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Lines of position Piloting - currents and coastal fix.

{{DEFAULTSORT:たいえん}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:球面三角法]]
[[Category:リーマン幾何学]]
[[Category:円 (数学)]]
[[Category:数学に関する記事]]