大域体のソースを表示

数学において、'''大域体'''（たいいきたい、{{lang-en-short|global field}}）とは、次のいずれかの体のことを言う。

*[[代数体]]、すなわち、'''Q''' の[[有限次拡大]]。
*'''大域函数体''' (global function field)、すなわち、[[有限体]]上の[[代数曲線]]の[[代数多様体の函数体|函数体]]、同じことであるが、''q'' 個の元を持つ有限体上の一変数有理函数体 '''F'''<sub>''q''</sub>(''T'') の有限拡大

[[付値|付値論]]を通したこれらの体の公理的特徴付けは、[[エミール・アルティン]] と{{仮リンク|ジョージ・ウィリアム・ウェープル|fr|George William Whaples|label=ジョージ・ウェープル}}により1940年代に与えられた<ref>{{harvnb|Artin|Whaples|1945}} and {{harvnb|Artin|Whaples|1946}}</ref>。

この2種類の体の間には形式的な共通点がいくつかある。どちらの体も、[[完備距離空間|完備化]]が常に[[局所コンパクト]]体であるという性質を持っている（[[局所体]]を参照）。どちらの体も、零でない全ての[[イデアル (環論)|イデアル]]が有限指数である[[デデキント整域]]の[[分数体]]として実現できる。どちらの体でも、零でない元 ''x'' の'''[[積公式]]'''
:<math>\prod_v |x|_v = 1</math>
が成り立つ。

2種類の体の間の類似は、[[代数的整数論]]の強い動機付けとなってきた。数体と[[リーマン面]]の類似という考え方は、19世紀の[[リヒャルト・デーデキント]] (Richard Dedekind) や{{仮リンク|ハインリッヒ・ウェーバー|en|Heinrich M. Weber}} (Heinrich M. Weber) まで遡る。代数曲線としてのリーマン面の一側面が有限体上定義された曲線へ写像される、'大域体'のアイデアによるより強い類似は、1930年代に作り上げられ、1940年に[[アンドレ・ヴェイユ]] (André Weil) により解決された[[合同ゼータ関数|有限体上の曲線のリーマン予想]]で全盛をきわめた。用語はヴェイユによるのであろう。彼は ''Basic Number Theory'' (1967) を出版し、その中でこれらの平行性を記述した。

普通は函数体の方が容易で先に遂行し、数体の上で平行するテクニックを開発する。{{仮リンク|アラケロフ理論|en|Arakelov theory}}の発展と[[ゲルト・ファルティングス]] (Gerd Faltings) が[[モーデル予想]]の証明にそれを利用したことは、劇的な例である。類似はまた、[[岩澤理論]]の発展と[[岩澤理論の主予想|岩澤主予想]]へも影響している。[[ラングランズ・プログラム]]の{{仮リンク|ラングランズとシェルスタッドの基本補題|label=基本補題|en|Fundamental lemma of Langlands and Shelstad}}の証明でも、数体の場合を函数体の場合へ帰着させるテクニックを使った。

==脚注==
<references/>

==参考文献==
* {{Citation
| doi=10.1090/S0002-9904-1945-08383-9
| last=Artin
| first=Emil
| author-link=Emil Artin
| last2=Whaples
| first2=George
| author2-link=George Whaples
| title=Axiomatic characterization of fields by the product formula for valuations
| journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]
| volume=51
| year=1945
| pages=469–492
| mr=0013145
}}
* {{Citation
| doi=10.1090/S0002-9904-1946-08549-3
| last=Artin
| first=Emil
| author-link=Emil Artin
| last2=Whaples
| first2=George
| author2-link=George Whaples
| title=A note on axiomatic characterization of fields
| journal=Bull. Amer. Math. Soc.
| volume=52
| year=1946
| pages=245–247
| mr=0015382
}}
* [[J.W.S. Cassels]], "Global fields", in J.W.S. Cassels and [[A. Frohlich]] (edd), ''Algebraic number theory'', [[Academic Press]], 1973.  Chap.II, pp.&nbsp;45–84.
* J.W.S. Cassels, "Local fields", [[Cambridge University Press]], 1986, ISBN 0-521-31525-5.  P.56.
* {{Citation
| last1=Neukirch | first1=Jürgen | author-link=Jürgen Neukirch
| last2=Schmidt | first2=Alexander | last3=Wingberg | first3=Kay
| title=Cohomology of Number Fields | chapter=
| publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin
| series=''Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften''
| volume=323 | year=2008
| isbn=978-3-540-37888-4 | id={{MathSciNet | id = 2392026 }}
| zbl= 1136.11001 | edition=Second
}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=GlobalField|title=Global Field|author=Rowland, Todd.}}
* {{nlab|urlname=global+field|title=global field}}
* {{PlanetMath|urlname=GlobalField|title=global field}}
* {{SpringerEOM|urlname=Global_field|title=Global field}}

{{デフォルトソート:たいいきたい}}
[[Category:体論]]
[[Category:代数的整数論]]
[[Category:代数曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]