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[[数学]]の[[複素解析]]の分野において、'''孤立特異点'''（こりつとくいてん、{{Lang-en-short|isolated singularity}}）とは、その近くに他の[[特異点]]が存在しない特異点のことを言う。言い換えると、ある[[複素数]] ''z<sub>0</sub>'' が函数 ''f'' の孤立特異点であるとは、''z<sub>0</sub>'' を中心とする[[開集合|開]][[円板]] ''D'' で、''D''&nbsp;<math>\setminus</math>&nbsp;{z<sub>0</sub>} 上では ''f'' が[[正則函数|正則]]となるようなものが存在することを言う。

孤立特異点はその扱いやすさに応じて、[[可除特異点]]・[[極 (複素解析)|極]]・[[真性特異点]]の三種類に分類される。

[[ローラン級数]]や[[留数定理]]のような、複素解析における多くの重要な結果においては、函数のすべての特異点が孤立していることが要求されている。

[[函数解析学]]の一般的な見地から正式に言うと、ある函数 <math>f</math> の孤立特異点とは、その函数の定義されるある開集合において「位相的に孤立している」点のことである。

== 例 ==

* 函数 <math>\frac {1} {z}</math> は 0 を孤立特異点として持つ。

* [[余割]]函数 <math>\csc \left(\pi z\right)</math> はすべての[[整数]]を孤立特異点として持つ。

== 非孤立特異点 ==

一変数の複素函数は、孤立特異点の他にも特異的な挙動を示すことがある。すなわち、次の二種類の非孤立特異点が存在する：

* '''密集点'''（cluster point）、すなわち、孤立特異点の[[極限点]]：それらがすべて極であり、従ってローラン級数展開を許すとしても、その極限においてはそのような展開は可能とならない。

* '''自然境界'''（natural boundary）、すなわち、その周りで函数が[[解析接続]]できないような非孤立集合（例えば曲線）。あるいは[[リーマン球面]]内の閉曲線に対しては、その外側。

=== 例 ===

* 函数 <math>\tan\left(\frac{1}{z}\right)</math> は <math>\mathbb{C}\backslash\{0\}</math> において[[有理型函数|有理型]]であり、すべての <math> n\in\mathbb{N}_0</math> に対して <math>z_n=\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)^{-1}</math> はその単純極である。<math>z_n\rightarrow 0</math> であるため、<math>0</math> を中心とするすべての[[アニュラス|穴あき円板]]はその内部に無限個の特異点を持ち、したがって <math>\tan\left(\frac{1}{z}\right)</math> に対する <math>0</math> のまわりでのローラン展開は存在しない。そのような点 <math>0</math> は実際、密集点である。

* 函数 <math>\csc \left(\frac {\pi} {z}\right)</math> に対して、特異点 0 は孤立特異点ではない。実際、0 に近い任意の[[整数]]の逆数において付加的な特異点が存在する。ただしそれらの逆数における特異点はそれ自身孤立している。

* [[マクローリン展開|マクローリン級数]] <math>\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}</math> として定義される函数は、<math>0</math> を中心とする開円板の内側で収束し、単位円板をその自然境界として持つ。

== 関連項目 ==
* [[極 (複素解析)]]
* [[真性特異点]]
* [[可除特異点]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld |urlname=Singularity |title=Singularity}}
* [https://web.archive.org/web/20070217063843/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/SingularityZeroPoleMod.html Singularities Zeros, Poles by John H. Mathews]

{{DEFAULTSORT:こりつとくいてん}}
[[Category:複素解析]]
[[Category:数学に関する記事]]