安定写像のソースを表示

{{要改訳}}
[[数学]]、特に[[シンプレクティック幾何学|シンプレクティックトポロジー]]や[[代数幾何学]]では、[[リーマン面]]から与えられる[[シンプレクティック多様体]]への特別な条件を満たす'''安定写像'''(stable maps)の[[モジュライ空間]]を構成することができる。このモジュライ空間が、[[グロモフ・ウィッテン不変量]]の本質的であり、[[数え上げ幾何学]]や{{仮リンク|タイプIIAの弦理論|en|type IIA string theory}}などの[[弦理論]]への応用がある。安定写像の考え方は、[[マキシム・コンツェビッチ]](Maxim Kontsevich)により、1992年頃に提案され、{{harvtxt|Kontsevich|1995}}で出版された。

安定写像を構成することは長く難しいので、グロモフ・ウィッテン不変量の記事の中ではなく、むしろ本記事で展開する。
<!---In [[mathematics]], specifically in [[symplectic topology]] and [[algebraic geometry]], one can construct the [[moduli space]] of '''stable maps''', satisfying specified conditions, from [[Riemann surface]]s into a given [[symplectic manifold]]. This moduli space is the essence of the [[Gromov–Witten invariant]]s, which find application in [[enumerative geometry]] and [[type IIA string theory|type IIA]] [[string theory]]. At about 1992 the idea of stable map was proposed by [[Maxim Kontsevich]] in {{harvtxt|Kontsevich|1995}}.

Because the construction is lengthy and difficult, it is carried out here rather than in the Gromov–Witten invariants article itself.
-->

==滑らかな擬正則曲線のモジュライ空間==

[[閉多様体|閉]]シンプレクティック多様体 <math>X</math> が[[斜交ベクトル空間|シンプレクティック形式]] <math>\omega</math> を持っているとする。<math>g</math> と <math>n</math> をそれぞれ[[自然数]](ゼロを含む)とし、<math>A</math> を <math>X</math> の中の 2-次元の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]類とすると、次の式の{{仮リンク|擬正則曲線|en|pseudoholomorphic curve}}(pseudoholomorphic curve)の集合を考えることができる。

:<math>((C, j), f, (x_1, \ldots, x_n))\,</math>

ここに <math>(C, j)</math> は滑らかで、種数 <math>g</math> で <math>n</math> 個のマークされた点 <math>x_1, \ldots, x_n</math> を持つ閉[[リーマン面]]で、

:<math>f : C \to X\,</math>

は、ある <math>\omega</math>-tame <ref>(W, ω) をシンプレクティック多様体、J を W 上の概複素構造とする.
:１、g(X, Y)=ω(X, JY) が正値対称形式, 即ちリーマン計量を与えるとき、J を ω と両立する(compatibleな)概複素構造であるという。(通常 J にcompatibleな ω を考える。）
:２、任意の 0 でない接ベクトル X に対して ω(X, JX)>0 が成立するとき、J を ω-tame な概複素構造であるという。</ref>
な[[概複素構造]] <math>J</math> と非斉次項 <math>\nu</math> に対して、次の摂動を持つ[[正則函数|コーシー・リーマン方程式]]を満たす函数である。

:<math>\bar \partial_{j, J} f := \frac{1}{2}(df + J \circ df \circ j) = \nu.</math>

典型的には、<math>C</math> の穴あき[[オイラー標数]] <math>2 - 2g - n</math> を負とするようなこれら <math>g</math> と <math>n</math> に対してのみ許されるので'''安定'''であり、高々有限個の <math>C</math> の正則自己同型が存在して、マークされた点を保存することを意味する。
<!---Fix a [[closed manifold|closed]] symplectic manifold <math>X</math> with [[symplectic form]] <math>\omega</math>. Let <math>g</math> and <math>n</math> be [[natural number]]s (including zero) and <math>A</math> a two-dimensional [[Homology (mathematics)|homology]] class in <math>X</math>. Then one may consider the set of [[pseudoholomorphic curve]]s

:<math>((C, j), f, (x_1, \ldots, x_n))\,</math>

where <math>(C, j)</math> is a smooth, closed [[Riemann surface]] of genus <math>g</math> with <math>n</math> marked points <math>x_1, \ldots, x_n</math>, and

:<math>f : C \to X\,</math>

is a function satisfying, for some choice of <math>\omega</math>-tame [[almost complex manifold|almost complex structure]] <math>J</math> and inhomogeneous term <math>\nu</math>, the perturbed [[Cauchy–Riemann equations|Cauchy–Riemann equation]]

:<math>\bar \partial_{j, J} f := \frac{1}{2}(df + J \circ df \circ j) = \nu.</math>

Typically one admits only those <math>g</math> and <math>n</math> that make the punctured [[Euler characteristic]] <math>2 - 2g - n</math> of <math>C</math> negative; then the domain is '''stable''', meaning that there are only finitely many holomorphic automorphisms of <math>C</math> that preserve the marked points.-->

作用素 <math>\bar \partial_{j, J}</math> は[[楕円型作用素|楕円型]]であり、従って[[フレドホルム作用素|フレドホルム]]型である。重要な解析的な議論（適切に[[ソボレフ空間|ソボレフノルム]]で完備化し、[[陰函数定理]]と[[サードの定理]](Sard's theorem)を[[バナッハ空間|バナッハ]][[多様体]]に適用し、{{仮リンク|楕円型正規性|en|elliptic regularity}}を使い滑らかにする）の後に、<math>\omega</math>-tame <math>J</math> と摂動 <math>\nu</math> の一般的な選択に対して、クラス <math>A</math> を表す <math>n</math> 個のマークした点を持ち、種数 <math>g</math> の <math>(j, J, \nu)</math>-正則曲線の集合は、滑らかな向きづけ可能な[[アティヤ＝シンガーの指数定理]]により与えられた次元を持つ次の{{仮リンク|オービフォールド|en|orbifold}}(orbifold)を形成する。

:<math>M_{g, n}^{J, \nu}(X, A).</math>

:<math>d := \dim_{\mathbb{R}} M_{g, n}(X, A) = 2 c_1^X(A) + (\dim_{\mathbb{R}} X - 6)(1 - g) + 2 n.</math>
<!---The operator <math>\bar \partial_{j, J}</math> is [[elliptic operator|elliptic]] and thus [[Fredholm operator|Fredholm]]. After significant analytical argument (completing in a suitable [[Sobolev space|Sobolev norm]], applying the [[implicit function theorem]] and [[Sard's theorem]] for [[Banach space|Banach]] [[manifold]]s, and using [[elliptic regularity]] to recover smoothness) one can show that, for a generic choice of <math>\omega</math>-tame <math>J</math> and perturbation <math>\nu</math>, the set of <math>(j, J, \nu)</math>-holomorphic curves of genus <math>g</math> with <math>n</math> marked points that represent the class <math>A</math> forms a smooth, oriented [[orbifold]]

:<math>M_{g, n}^{J, \nu}(X, A)</math>

of dimension given by the [[Atiyah-Singer index theorem]],

:<math>d := \dim_{\mathbb{R}} M_{g, n}(X, A) = 2 c_1^X(A) + (\dim_{\mathbb{R}} X - 6)(1 - g) + 2 n.</math>-->

== 安定写像コンパクト化 == 
<!--- ==The stable map compactification== -->

この写像の[[モジュライ空間]]は、曲線の列が特異な曲線へ退化することができるので、[[コンパクト空間|コンパクト]]ではない。この特異な曲線は、ここで定義したモジュライ空間の中にはない。例えば、このことは、<math>f</math> の'''エネルギー'''（微分の[[Lp空間|L<sup>2</sup>-ノルム]]のこと）が、領域のある点に集中することを意味する。集中した点の周りで写像をりスケールすることでエネルギーを捉えることができる。この効果は、もとの領域の集中した点に'''バブル'''と呼ばれる球(sphere)を付けて、写像を球を横切るように拡張することになる。リスケールされた写像は、ひとつ以上の点にエネルギーを集中しているかもしれず、その場合は逐次的にリスケールせねばならない。結局、完全な'''バブルツリー'''を元の領域に貼り付け、新しい領域の各々の滑らかな成分の上で写像がうまく振る舞うようにすることができる。
<!---This [[moduli space]] of maps is not [[compact space|compact]], because a sequence of curves can degenerate to a singular curve, which is not in the moduli space as we've defined it. This happens, for example, when the '''energy''' of <math>f</math> (meaning the [[Lp space|''L''<sup>2</sup>-norm]] of the derivative) concentrates at some point on the domain. One can capture the energy by rescaling the map around the concentration point. The effect is to attach a sphere, called a '''bubble''', to the original domain at the concentration point and to extend the map across the sphere. The rescaled map may still have energy concentrating at one or more points, so one must rescale iteratively, eventually attaching an entire '''bubble tree''' onto the original domain, with the map well-behaved on each smooth component of the new domain.-->

詳細には、'''安定写像'''を最も悪いノード（二重結節点）として特異点を持つリーマン面の上の擬正則写像であるように定義すると、高々有限個の写像の自己同型となる。具体的には、次のことを意味する。ノードを持つリーマン面の滑らかな成分は、高々有限個のマークされた点とノードを保存する自己同型が存在するときに、'''安定'''という。すると安定写像は少なくとも一つは、安定な領域成分を持つ擬正則写像である。そして、各々の他の成分に対して、
*写像がその成分の上で非コンパクトか、または
*成分が安定である
ということとなる。安定写像の領域が安定曲線を必要としないことは重要である。しかしながら、（その場合でも）不安定成分を（逐次的に）縮小して安定曲線を作り出すことが可能であり、このことを曲線 <math>C</math> の'''安定化''' <math>\mathrm{st}(C)</math> という。
<!---In order to make this precise, define a '''stable map''' to be a pseudoholomorphic map from a Riemann surface with at worst nodal singularities, such that there are only finitely many automorphisms of the map. Concretely, this means the following. A smooth component of a nodal Riemann surface is said to be '''stable''' if there are at most finitely many automorphisms preserving its marked and nodal points. Then a stable map is a pseudoholomorphic map with at least one stable domain component, such that for each of the other domain components
*the map is nonconstant on that component, or
*that component is stable.
It is significant that the domain of a stable map need not be a stable curve. However, one can contract its unstable components (iteratively) to produce a stable curve, called the '''stabilization''' <math>\mathrm{st}(C)</math> of the domain <math>C</math>.-->

<math>n</math> 個のマークされた点を持ち、種数が <math>g</math> であるリーマン面からの安定写像の全体の集合は、次のモジュライ空間を形成する。
 
:<math>\bar M_{g, n}^{J, \nu}(X, A).</math>

トポロジーは、次の条件であるときに限り、安定写像の列が収束することとして定義される。
*列が、（安定な）領域が{{仮リンク|曲線のドリーニュ・マンフォードモジュライ空間|en|Deligne–Mumford moduli space of curves}} <math>\bar M_{g, n}</math> で収束する
*列が、ノード（二重結節点）から離れたコンパクトな成分の上のどのような微分でも統一的に収束する
*任意の点に集中するエネルギーが、極限的な写像の点についているバブルツリーのエネルギーに等しい
<!---The set of all stable maps from Riemann surfaces of genus <math>g</math> with <math>n</math> marked points forms a moduli space
 
:<math>\bar M_{g, n}^{J, \nu}(X, A).</math>

The topology is defined by declaring that a sequence of stable maps converges if and only if
*their (stabilized) domains converge in the [[Deligne–Mumford moduli space of curves]] <math>\bar M_{g, n}</math>,
*they converge uniformly in all derivatives on compact subsets away from the nodes, and
*the energy concentrating at any point equals the energy in the bubble tree attached at that point in the limit map.-->

安定写像のモジュライ空間はコンパクトである。つまり、安定写像の任意の列が安定写像へ収束する。このことを示すために、逐次的に写像の列をリスケールする。逐一、新しい極限の領域が存在して、特異点を持ってもよいが、ひとつ前の逐次列よりも低いエネルギーの集中になっている。このステップで、シンプレクティック形式 <math>\omega</math> は決定的な方法で入ってくる。ホモロジー類 <math>B</math> を表す任意の滑らかな写像のエネルギーは、'''シンプレクティック領域''' <math>\omega(B)</math> により下に有界である。

:<math>\omega(B) \leq \frac{1}{2} \int |df|^2,</math>

この式の等号は、写像が擬正則写像のとき、とのときに限り成立する。このことの意味は、リスケールの各々の逐次段階で現れるエネルギーを有界とするので、高々有限個のリスケールでエネルギーをすべて捉えることに必要とするだけである。結局、新しい極限領域での極限写像は安定となる。

コンパクト化された空間は再び、滑らかで向きづけられたオービフォールドである。非自明な自己同型を持つ写像はオービフォールドの中のイソトロピー<ref>等方性。イソトロピック多様体とは、幾何学が方向に依存しない多様体を言う。形式的には、Riemann多様体 (M,g) がイソトロピックとは、任意の点  p ∈ M と単位ベクトル v,w ∈ T<sub>p</sub>M に対して、M の[[等長写像]] φ で φ(p)=p でかつ、φ<sub>*</sub>(v)=w となるものが存在する。任意のイソトロピックな多様体は等質である。つまり、任意の p,q ∈ M に対し、M の等長写像 φで φ(p)=q となるものが存在する。これは測地線 γ:[0,2] → M で p から q へ移すものがあり、γ(1) が存在し γ'(1) から γ'(1) へ移す写像が存在することを意味する。</ref>を持つ点に対応する。
<!---The moduli space of stable maps is compact; that is, any sequence of stable maps converges to a stable map. To show this, one iteratively rescales the sequence of maps. At each iteration there is a new limit domain, possibly singular, with less energy concentration than in the previous iteration. At this step the symplectic form <math>\omega</math> enters in a crucial way. The energy of any smooth map representing the homology class <math>B</math> is bounded below by the '''symplectic area''' <math>\omega(B)</math>,

:<math>\omega(B) \leq \frac{1}{2} \int |df|^2,</math>

with equality if and only if the map is pseudoholomorphic. This bounds the energy captured in each iteration of the rescaling and thus implies that only finitely many rescalings are needed to capture all of the energy. In the end, the limit map on the new limit domain is stable.

The compactified space is again a smooth, oriented orbifold. Maps with nontrivial automorphisms correspond to points with isotropy in the orbifold.-->

==グロモフ・ウィッテン擬サイクル==
<!--- ==The Gromov–Witten pseudocycle== -->

グロモフ・ウィッテン不変量を構成するためには、'''評価写像'''(evaluation map)により安定写像のモジュライ空間を定める。

:<math>M_{g, n}^{J, \nu}(X, A) \to \bar M_{g, n} \times X^n,</math>

:<math>((C, j), f, (x_1, \ldots, x_n)) \mapsto (\mathrm{st}(C, j), f(x_1), \ldots, f(x_n))</math>

そして、適当な条件の下に、[[有理数|有理]]ホモロジー類

:<math>GW_{g, n}^{X, A} \in H_d(\bar M_{g, n} \times X^n, \mathbb{Q}).</math>

を得ることができる。有理数係数であることは、モジュライ空間がオービフォールドとなるために必須である。評価写像により定義されたホモロジー類は、一般的な <math>\omega</math>-tame <math>J</math> や摂動 <math>\nu</math> の選択には依存しない。このホモロジー類のことを与えられたデータ <math>g</math>、<math>n</math><math>A</math> に対する <math>X</math> の'''グロモフ・ウィッテン(GW)不変量'''という。コボルディズムの議論を使い、このホモロジー類がイソトピー同値<ref>ホモトピー同値</ref>を除き <math>\omega</math> の選択に依存しないことを示すことができる。このようして、グロモフ・ウィッテン不変量はシンプレクティック多様体のシンプレクティックイソトピー類の不変量であることが示される。
<!---To construct Gromov–Witten invariants, one pushes the moduli space of stable maps forward under the '''evaluation map'''

:<math>M_{g, n}^{J, \nu}(X, A) \to \bar M_{g, n} \times X^n,</math>

:<math>((C, j), f, (x_1, \ldots, x_n)) \mapsto (\mathrm{st}(C, j), f(x_1), \ldots, f(x_n))</math>

to obtain, under suitable conditions, a [[rational number|rational]] homology class

:<math>GW_{g, n}^{X, A} \in H_d(\bar M_{g, n} \times X^n, \mathbb{Q}).</math>

Rational coefficients are necessary because the moduli space is an orbifold. The homology class defined by the evaluation map is independent of the choice of generic <math>\omega</math>-tame <math>J</math> and perturbation <math>\nu</math>. It is called the '''Gromov–Witten (GW) invariant''' of <math>X</math> for the given data <math>g</math>, <math>n</math>, and <math>A</math>. A cobordism argument can be used to show that this homology class is independent of the choice of <math>\omega</math>, up to isotopy. Thus Gromov–Witten invariants are invariants of symplectic isotopy classes of symplectic manifolds.-->

上記の『適当な条件』が微妙で、第一には、写像の中の多重度（領域の[[分岐被覆]]を通して分解する多重度）が期待している次元よりも大きく形成することができるからである。

これを扱うもっとも単純な方法は、ある意味で対象である多様体 <math>X</math> が'''半正'''(semipositive)もしくは'''[[ファノ多様体]]'''であることを前提にすることである。この前提は、多重度を持つ被覆写像のモジュライ空間がちょうど多重度を持たない被覆写像で少なくとも余次元2を持つように選ぶことである。すると、評価写像のイメージは{{仮リンク|擬サイクル|en|pseudocycle}}(pseudocycle)を形成し、期待された次元の[[well-defined]]なホモロジー類を引き起こす。

グロモフ・ウィッテン不変量を半正値のいくつかの種類の前提なしで定義することは、'''仮想モジュライサイクル'''として知られている難しいテクニカルな構成を必要とする。
<!---The "suitable conditions" are rather subtle, primarily because multiply covered maps (maps that factor through a [[branched covering]] of the domain) can form moduli spaces of larger dimension than expected.

The simplest way to handle this is to assume that the target manifold <math>X</math> is ''semipositive'' or ''[[Fano variety|Fano]]'' in a certain sense. This assumption is chosen exactly so that the moduli space of multiply covered maps has codimension at least two in the space of non-multiply-covered maps. Then the image of the evaluation map forms a [[pseudocycle]], which induces a well-defined homology class of the expected dimension.

Defining Gromov–Witten invariants without assuming some kind of semipositivity requires a difficult, technical construction known as the '''virtual moduli cycle'''.-->

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
<references/>

==参考文献==
* Dusa McDuff and Dietmar Salamon, ''J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology'', American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
* {{Cite journal |first1=Maxim |last1=Kontsevich | title=Enumeration of rational curves via torus actions | year=1995 | journal=Progr. Math. 129, Birkhauser, Boston (1995) ¨ 335–368 MR1363062 |ref=harv }}
* 深谷賢治, 「シンプレクティック幾何学」, 岩波書店, 岩波講座 現代数学の展開 8, 1999. ISBN 4-00-010658-9

{{デフォルトソート:あんていしやそう}}
[[Category:シンプレクティック幾何学]]
[[Category:シンプレクティックトポロジー]]
[[Category:複素多様体]]
[[Category:モジュライ理論]]
[[Category:弦理論]]
[[Category:数学に関する記事]]