完備化 (環論)のソースを表示

[[抽象代数学]]において、'''完備化'''（かんびか、{{lang-en-short|completion}}）とは、[[環 (数学)|環]]や[[環上の加群|加群]]上の[[関手]]であって、完備な[[位相環]]や加群になるような任意のものである。完備化は[[環の局所化|局所化]]と類似しており、これらは[[可換環]]を解析する最も基本的な手法である。完備可換環は一般の環よりも単純な構造をもっており、[[ヘンゼルの補題]]が適用される。<!--一方だけあるのは変だと思うのでコメントアウト
Geometrically, a completion of a commutative ring ''R'' concentrates on a '''formal neighborhood''' of a point or a [[Zariski topology|Zariski closed]] [[algebraic variety|subvariety]] of its [[spectrum of a ring|spectrum]] Spec ''R''.-->
<!--- this appears to be incorrect: most completions are *defined* using projective limits, not Cauchy seq.
In [[algebra]], the completion of an ''R''-[[module]] ''M'', relative to a [[topology]] of a certain prescribed form defined on ''M'', is, in rough terms, an ''R''-module <math>\hat M</math> defined in a way analogous to the completion of a metric space using Cauchy sequences.
-->
<!-- 加群 ''M'' のフィルター {''M''<sub>''n''</sub>} による位相によって ''M'' が完備（:⇔すべてのCauchy列すなわち ∀''n'', ∃''m'', ∀''i'', ''j'' > ''m'', ''x''<sub>''i''</sub> - ''x''<sub>''j''</sub>∈''M''<sub>''n''</sub> となる ''M'' の元の列 (''x''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''&ge;0</sub> が収束）であることと、自然な準同型 <math>M\to\hat{M}</math> が同型であることは同値である。（堀田良之『可換環と体』岩波書店，p.112）-->

また特に環Rが[[超距離空間|非アルキメデス距離]]について距離空間であるときは、距離空間としての完備化と環としての完備化は一致する。

== 一般的な構成 ==
''E'' を部分群の減少[[フィルター (数学)|フィルター]]
: <math> E = F^0{E} \supset F^1{E} \supset F^2{E} \supset \cdots \, </math>
をもった[[アーベル群]]として、（このフィルターに関する）完備化を[[逆極限]]
: <math> \hat{E}=\varprojlim (E/F^n{E}) \, </math>
として定義する{{sfn|Eisenbud|1995|p={{google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=181|181}}}}。

これは再びアーベル群である。通常 ''E'' は ''加法的な'' アーベル群である。''E'' がフィルターと両立する付加的な代数的構造をもっていれば、例えば ''E'' が{{仮リンク|フィルター付き環|en|filtered algebra}}、フィルター付き[[環上の加群|加群]]、フィルター付き[[ベクトル空間]]であれば、その完備化は、フィルターによって決定される位相において再び完備である同じ構造をもった対象である。この構成は可換環にも非可換環にも適用できる。期待される通り、完備[[位相環]]が得られる。

== クルル位相 ==
[[可換環論]]において、[[可換環]] ''R'' の真の[[イデアル]] ''I'' のベキによるフィルターは、''R'' 上の（[[Wolfgang Krull]] にちなんで）'''{{仮リンク|クルル位相|en|Krull topology}}'''あるいは ''I''-進位相（''I''-adic topology）を決定する。[[極大イデアル]] <math>I=\mathfrak{m}</math> の場合が特に重要である。''R'' の 0 の[[基本近傍系]]はイデアルのベキ ''I''<sup>''n''</sup> によって与えられる。これは入れ子になっており ''R'' の減少フィルターをなす。
:<math> R = I^0 \supset I^1 \supset I^2 \supset \cdots</math>
完備化は[[商環]]の[[逆極限]]である。
: <math> \hat{R}_I=\varprojlim (R/I^n) </math>
（「アールアイハット」と読む。文脈から ''I'' が明らかなときには単に <math>\hat{R}</math> と書くこともある。）環から完備化への自然な写像 ''&pi;'' の核は ''I'' のベキの共通部分である{{sfn|Atiyah|MacDonald|1969|p=105}}。したがって ''&pi;'' が単射であることと共通部分が環の零元のみからなることは同値である。たとえば、[[整域]]か[[局所環]]である可換[[ネーター環]]は[[クルルの交叉定理]]よりその完備化に埋め込める。

''R''-加群にも同様の位相があり、これもクルル位相や ''I''-進位相と呼ばれる。加群 ''M'' の点 ''x'' における基本近傍系は ''x'' + ''I<sup>n</sup> M'' の形をした集合によって与えられる。''R''-加群 ''M'' の完備化は商加群の逆極限である。
: <math> \hat{M}_I=\varprojlim (M/I^n{M}). </math>
この手続きによって ''R'' 上の任意の加群は <math>\hat{R}_I</math> 上の完備{{仮リンク|位相加群|en|topological module}}になる。

== 例 ==
* [[p進数|''p'' 進整数]]環 '''''Z'''''<sub>''p''</sub> は[[整数環]] '''''Z''''' を[[素イデアル]] (''p'') において完備化することによって得られる{{sfn|Eisenbud|1995|p=182}}。

* ''R'' = ''K''[''x''<sub>1</sub>,…,''x''<sub>''n''</sub>] を体 ''K'' 上の ''n'' 変数[[多項式環]]とし、<math>\mathfrak{m}=(x_1,\ldots,x_n)</math> を変数によって生成された極大イデアルとする。このとき完備化 <math>R_{\mathfrak{m}}</math> は ''K'' 上の ''n'' 変数[[形式的冪級数]]環 ''K''[[''x''<sub>1</sub>,&hellip;,''x''<sub>''n''</sub>]] である{{sfn|Eisenbud|1995|p={{google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=179|179}}}}。

== 性質 ==

1. 完備化は関手的操作である。位相環の連続写像 ''f'':&nbsp;''R''&nbsp;→&nbsp;''S'' はそれらの完備化の写像に持ちあがる。

: <math> \hat{f}: \hat{R}\to\hat{S}. </math>

さらに、''M'' と ''N'' が同じ位相環 ''R'' 上の2つの加群であり ''f'':&nbsp;''M''&nbsp;→&nbsp;''N'' が加群の連続な写像であれば、''f'' は一意的にその完備化の写像に拡張する。

: <math> \hat{f}: \hat{M}\to\hat{N},\quad </math> ただし <math>\hat{M},\hat{N}</math> は <math>\hat{R}</math> 上の加群。

2. [[ネーター環]] ''R'' の完備化は ''R'' 上[[平坦加群]]である{{sfn|Eisenbud|1995|p={{google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=183|183}}|loc=Theorem 7.2}}。

3. ネーター環 ''R'' 上の有限生成加群 ''M'' の完備化は''係数拡大''によって得ることができる{{sfn|Eisenbud|1995|p={{google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=183|183}}|loc=Theorem 7.2}}。
:<math> \hat{M}=M\otimes_R \hat{R}. </math>
直前の性質と合わせて、有限生成 ''R''-加群の完備化の関手は[[完全関手|完全]]であることがわかる。それは[[短完全列]]を保つ。

4. '''{{仮リンク|コーエンの構造定理|en|Cohen structure theorem}}'''（等標数 (equicharacteristic) のケース）．''R'' を完備[[局所環|局所]]ネーター可換環で極大イデアルが <math>\mathfrak{m}</math> で[[剰余体]]が ''K'' とする。''R'' がある体を含めば、

: <math> R\simeq K[[x_1,\ldots,x_n]]/I </math>

がある ''n'' とあるイデアル ''I'' に対して成り立つ{{sfn|Eisenbud|1995|p={{google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=189|189}}|loc=Theorem 7.7 (Cohen Structure Theorem)}}。

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{citation
| last1 = Atiyah
| first1 = M. F. 
| authorlink1 = マイケル・アティヤ
| last2 = MacDonald
| first2 = I. G.
| title = Introduction To Commutative Algebra
| url = {{google books|HOASFid4x18C|plainurl=yes}}
| series = Addison-Wesley Series in Mathematics
| publisher = Addison-Wesley
| year = 1969
| mr = 0242802
| zbl = 0175.03601
| isbn = 0-201-00361-9
}}
* {{citation
| last = Eisenbud
| first = David
| title = Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry
| url = {{google books|xDwmBQAAQBAJ|plainurl=yes}}
| series = Graduate Texts in Mathematics
| volume = 150
| publisher = Springer-Verlag
| year = 1995
| mr = 1322960
| zbl = 0819.13001
| doi = 10.1007/978-1-4612-5350-1
}}

== 関連項目 ==
* [[p進数]]

{{デフォルトソート:かんひか}}
[[Category:可換環論]]
[[Category:数学に関する記事]]