完全不連結空間のソースを表示

[[位相空間論]]やそれに関わる分野において、'''完全不連結空間'''（かんぜんふれんけつくうかん、totally disconnected space）は非自明な[[連結空間|連結]]部分集合を持たないという意味で最も不連結な[[位相空間]]である。すべての位相空間において空集合と1点集合は連結である。完全不連結空間においてはこれら''しか''連結部分集合がない。

完全不連結空間の重要な例の1つは[[カントール集合]]である。別の例は[[p進数| ''p''-進数体]] '''Q'''<sub>''p''</sub> で、[[代数的整数論]]において重要な役割を果たす。

== 定義 ==
位相空間 {{mvar|X}} は、{{mvar|X}} の[[連結成分]]が一点集合であるときに、'''完全不連結''' (totally disconnected) であるという。

== 例 ==
以下は完全不連結空間の例である。
* [[離散空間]]
* [[有理数]]全体
* [[無理数]]全体
* [[p進数|''p'' 進数]]全体や ''p'' 進整数全体、より一般に、[[射有限群]]
* [[カントール集合]]
* [[ベール空間 (集合論)|ベール空間]]
* {{仮リンク|ゾルゲンフライ直線|en|Sorgenfrey line}}
* [[0次元空間|0次元]] [[T1空間|T<sub>1</sub> 空間]]
* {{仮リンク|extremally disconnected space|en|extremally disconnected space|label=extremally disconnected}} なハウスドルフ空間
* [[ストーンの表現定理#ストーン空間|ストーン空間]]
* {{仮リンク|Knaster–Kuratowski fan|en|Knaster–Kuratowski fan}} は連結空間であるが、一点を取り除くと完全不連結空間になる
* {{仮リンク|エルデシュ空間|en|Erdős space}} <math>\ell^p(\mathbb{Z}) \cap \mathbb{Q}^{\omega}</math> は次元 0 でない完全不連結空間である

== 性質 ==
*完全不連結空間の[[誘導位相|部分空間]]、[[積位相|積]]、[[非交和 (トポロジー)|余積]]は完全不連結である。
*完全不連結空間は、一元集合が閉であるので、[[T1空間|T<sub>1</sub> 空間]]である。
*完全不連結空間の連続像は完全不連結であるとは限らない。実際、すべての[[コンパクト空間|コンパクト]][[距離空間]]は[[カントール集合]]の連続像である。
*[[局所コンパクト]][[ハウスドルフ空間]]が [[0次元空間|0 次元]] であることと完全不連結であることは同値である。
*すべての完全不連結コンパクト距離空間は、[[離散空間]]の[[可算]]個の積の部分集合に[[同相]]である。
*すべての開集合が閉集合でもあるということは一般には正しくない。
*すべての開集合の閉包が開であるということは一般には正しくない、つまり、すべての完全不連結ハウスドルフ空間が [[extremally disconnected]] であるわけではない。

==不連結空間を構成==
{{mvar|X}} を任意の位相空間とする。関係 ～ を {{math|''x'' ～ ''y''}} ⇔ {{math|''y'' &isin; conn&thinsp;(''x'')}} によって定める。（{{math|conn&thinsp;(''x'')}} は {{mvar|x}} を含む最大の連結部分集合を表す。）これは明らかに同値関係である。{{math|''X''&thinsp;/&thinsp;～}} に[[商位相空間|商位相]]、すなわち、写像 <math>m\colon x\mapsto \mathrm{conn}(x)</math> が連続になる最も細かい位相を与える。少し考えれば {{math|''X''&thinsp;/&thinsp;～}} が完全不連結であることが分かる。さらに次の[[普遍性]]が成り立つ。<math>f \colon X\to Y</math> が完全不連結空間への連続写像であれば、一意的な連続写像 <math>\breve{f}\colon(X/\sim)\rightarrow Y</math> によって <math>f=\breve{f}\circ m</math> と分解する。

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
* {{Citation | last1=Willard | first1=Stephen | title=General topology | publisher=[[Dover Publications]] | isbn=978-0-486-43479-7 |mr=2048350 | year=2004}} (reprint of the 1970 original, {{MR|0264581}})

== 関連項目 ==
* [[完全不連結群]]

{{DEFAULTSORT:かんせんふれんけつくうかん}}
[[Category:位相空間]]
[[Category:位相空間の性質]]
[[Category:数学に関する記事]]