完全不連結群のソースを表示

[[数学]]において、'''完全非連結群'''(totally disconnected group)とは完全非連結な[[位相群]]のことである。 完全非連結群は[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]である。

[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]]な完全非連結群（'''td-型の群'''{{sfn||Cartier|1979|loc=§1.1}}、 局所副有限群{{sfn|Bushnell|Henniart|2006|loc=§1.1}}'''、t.d.群'''{{sfn|Borel|Wallach|2000|loc=Chapter X}}, TDLC群<ref>[http://www.math.kobe-u.ac.jp/publications/rlm04.pdf p 進体上の簡約代数群の admissible 表現論入門] </ref>などと呼ばれる)は興味深い対象である。完全非連結群が[[コンパクト空間|コンパクト]]である場合、すなわち[[副有限群]]である場合については十分に研究されてきたが、長い間その一般的な場合である局所コンパクトな完全非連結群についてはあまり知られていなかった。1930年代では「局所コンパクトな完全非連結群はコンパクト開[[部分群]]をもつ」という[[David van Dantzig|van Dantzig]]の定理が知られているのみであった。 局所コンパクトな完全非連結群に関する画期的な業績は1994年になされた;[[George Wills]]は、任意の局所コンパクト完全非連結群は"整然部分群"と、"スケール関数"と呼ばれる整然部分群の自己同型写像上の特殊な関数（定義は後述）を持つことを示し、これによって局所的な完全非連結群の構造に関する知識が向上した。完全非連結群の大域的な構造に関する進歩は2011年にCapraceとMonodによって得られ、その中でも[[特性単純群]]とその[[ネーター群]]の分類は際立ったものである。

== 局所コンパクトの場合 ==
{{main|{{ill2|完全不連結局所コンパクト群|en|Locally profinite group}}}}
局所コンパクト完全非連結群において、単位元の任意の近傍はコンパクト開部分群を含む。逆に、位相群''G''が「単位元の任意の近傍がコンパクト開部分群を含む」という条件を満たすとき、''G''は局所コンパクト完全非連結群である。

=== 整然部分群 ===
''Gを局所コンパクト完全非連結群''、''U''を''G''のコンパクト開部分群、自己同型とする。

次のように定める:
:<math>U_{+}=\bigcap_{n\ge 0}\alpha^n(U)</math>
:<math>U_{-}=\bigcap_{n\ge 0}\alpha^{-n}(U)</math>
:<math>U_{++}=\bigcup_{n\ge 0}\alpha^n(U_{+})</math>
:<math>U_{--}=\bigcup_{n\ge 0}\alpha^{-n}(U_{-})</math>
''U'' が整然 (tidy) であるとは、<math>U=U_{+}U_{-}=U_{-}U_{+}</math>と<math>U_{++}</math>と<math>U_{--}</math>が閉であることをいう。

=== スケール関数 ===
<math>U_{+}</math>における<math>\alpha(U_{+})</math>の指数は有限であり、その値は<math>\alpha</math>に関して整然なUの取り方によらない。したがってスケール関数<math>s(\alpha)</math>をその指数と定める。内部自己同型写像への制限は興味深い性質をもつG上の関数を与える。
特に、G上の<math>x</math>の内部自己同型を<math>\alpha_{x}</math>として<math>s(x):=s(\alpha_{x})</math>によってG上の関数<math>s</math>を与えると次の性質をもつ。

==== 性質 ====
* <math>s</math>は連続である。
* xがGのコンパクト元ならば<math>s(x)=1</math>である。
* <math>n</math>が非負整数ならば<math>s(x^n)=s(x)^n</math>が成り立つ。
* G上のモジュラー関数は<math>\Delta(x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}</math>で与えられる。

=== 計算と応用 ===
スケール関数はHofmannとMukherjaによる予想の証明やHelge Glöcknerによるp進リー群や局所斜体上の線形群の明示的な計算に用いられた。

== 注記 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation|title=Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups|year=2000|last=Borel|last2=Wallach|first=Armand|first2=Nolan|author2-link=Nolan Wallach|series=Mathematical surveys and monographs|volume=67|edition=Second|location=Providence, Rhode Island|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0-8218-0851-1|ISBN=978-0-8218-0851-1|mr=1721403|MR=1721403}}
* {{Citation|title=The local Langlands conjecture for GL(2)|year=2006|last1=Bushnell|last2=Henniart|first1=Colin J.|first2=Guy|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]|volume=335|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|doi=10.1007/3-540-31511-X|DOI=10.1007/3-540-31511-X|isbn=978-3-540-31486-8|ISBN=978-3-540-31486-8|mr=2234120|MR=2234120}}
* {{Citation|title=Decomposing locally compact groups into simple pieces|year=2011|last1=Caprace|last2=Monod|first1=Pierre-Emmanuel|first2=Nicolas|journal=Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.|volume=150|pages=97–128|doi=10.1017/S0305004110000368|DOI=10.1017/S0305004110000368|mr=2739075|MR=2739075}}
* {{Citation|title=Automorphic Forms, Representations, and L-Functions|year=1979|last=Cartier|first=Pierre|url=http://www.ams.org/online_bks/pspum331/pspum331-ptI-7.pdf|series=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics|volume=33, Part 1|pages=111–155|contribution=Representations of <math>\mathfrak{p}</math>-adic groups: a survey|publication-place=Providence, Rhode Island|publisher=[[American Mathematical Society]]|editor1-last=Borel|editor2-last=Casselman|editor1-first=Armand|editor2-first=William|editor1-link=Armand Borel|editor2-link=William Casselman (mathematician)|isbn=978-0-8218-1435-2|ISBN=978-0-8218-1435-2|mr=0546593|MR=0546593}}
* G.A. Willis - [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=167209 The structure of totally disconnected, locally compact groups], [[Mathematische Annalen]] 300, 341-363 (1994)

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