完全体のソースを表示

[[代数学]]において、[[可換体|体]] ''k'' は以下の同値な条件の1つが成り立つときに'''完全'''（{{lang-en-short|perfect}}）と呼ばれる。
* ''k'' 上のすべての[[既約多項式]]は相異なる[[多項式の根|根]]をもつ。
* ''k'' 上のすべての既約多項式は[[分離多項式|分離的]]である。
* ''k'' のすべての[[有限次拡大]]は[[分離拡大|分離的]]である。
* ''k'' のすべての[[代数拡大]]は分離的である。
* ''k'' は[[標数]] 0 であるかまたは標数 ''p'' > 0 かつ''k'' のすべての元は ''p'' ベキである。
* ''k'' は標数 0 であるかまたは標数 ''p'' > 0 かつ[[フロベニウス自己準同型]] ''x''→''x''<sup>''p''</sup> が ''k'' の[[同型写像]]。
* ''k'' の[[分離閉包]]は[[代数的閉体]]である。
* すべての[[被約環|被約]]可換 ''k''-多元環 ''A'' は [[分離多元環]]である、すなわち、<math>A \otimes_k F</math> はすべての[[体の拡大]] ''F''/''k'' に対して被約である。（下記参照）
そうでなければ、''k'' は'''不完全'''（{{lang-en-short|imperfect}}）と呼ばれる。

とくに、標数 0 のすべての体とすべての[[有限体]]は完全である。

完全体は重要である、なぜならば完全体上の[[ガロワ理論]]は単純になるからだ、というのも体拡大が分離的であるという一般的なガロワの仮定はこれらの体では自動的に満たされるからである（上の3つ目の条件を見よ）。

より一般的に、標数が素数 ''p'' の[[環 (数学)|環]]はフロベニウス自己準同型が自己同型のときに'''完全'''と呼ばれる<ref>{{harvnb|Serre|1979}}, Section II.4</ref>。（これは整域上で上の条件「''k'' のすべての元は ''p''ベキである」と同値である。）

== 例 ==

完全体の例を挙げる。
* 標数 0 のすべての体、例えば、[[有理数]]体や[[複素数]]体
* すべての[[有限体]]、例えば、''p'' を[[素数]]として、体 '''F'''<sub>''p''</sub> = '''Z'''/''p'''''Z'''
* すべての[[代数的閉体]]
* 拡大で全順序付けられた完全体の和集合
* 完全体上代数的な体

実は、実際問題として現れるたいていの体は完全である。不完全体は主に正標数の代数幾何学で現れる。すべての不完全体は[[素体 (数学)|素体]]（最小の部分体）上[[体の拡大#代数性・超越性|超越的]]である必要がある、なぜならば素体は完全だからだ。不完全体の例は
* 不定元 <math>X</math> 上のすべての有理関数からなる体 <math>k(X)</math> ただし ''k'' の標数は ''p''>0 （なぜなら ''X'' は ''k''(''X'') において ''p''乗根をもっていない）。

== 完全体上の体拡大 ==
完全体上の任意の有限生成体拡大は分離生成される<ref>Matsumura, Theorem 26.2</ref>。

== 完全閉包と完全化 ==
同値条件の1つによると、標数 ''p'' のとき、すべての ''p''<sup>''r''</sup> 乗根 (<math>r\ge1</math>) を添加した体は完全である。これは ''k'' の'''完全閉包'''（perfect closure）と呼ばれ、通常  <math>k^{p^{-\infty}}</math> と表記される。

完全閉包は分離性をテストするために使うことができる。正確には、可換 ''k''-多元環 ''A'' が分離的であるのは <math>A \otimes_k k^{p^{-\infty}}</math> が被約であるとき、かつそのときに限る<ref>{{harvnb|Cohn|2003|loc=Theorem 11.6.10}}</ref>。

[[普遍性]]の言葉で言えば、標数 ''p'' の環 ''A'' の '''完全閉包''' は標数 ''p'' の完全環 ''A<sub>p</sub>'' であって以下の性質をもつ[[環準同型]] ''u'' : ''A'' → ''A<sub>p</sub>'' をもつものである。標数 ''p'' の任意の他の完全環 ''B'' と準同型 ''v'' : ''A'' → ''B'' に対し、一意的な準同型 ''f'' : ''A<sub>p</sub>'' → ''B'' が存在して、''v'' は ''u'' を通して分解する（すなわち ''v'' = ''fu''）。完全閉包はつねに存在する。その証明は体のときと同様に「''A'' の元の ''p'' 乗根を添加する」ことを含む<ref>{{harvnb|Bourbaki|2003}}, Section V.5.1.4, page 111</ref>。

標数 ''p'' の環 ''A'' の '''perfection'''（完全化）は（この用語は完全閉包に対して使われることもあるが）双対概念である。言い換えると、''A'' の perfection ''R''(''A'') は標数 ''p'' の完全環であって以下の写像 θ : ''R''(''A'') → ''A'' をもつものである。標数 ''p'' の任意の完全環 ''B'' と写像 φ : ''B'' → ''A'' に対し、一意的な写像 ''f'' : ''B'' → ''R''(''A'') が存在し、φ は θ を通して分解する（すなわち <math>\phi=\theta f</math>）。''A'' の perfection は次のように構成することができる。[[射影極限|射影系]]
:<math>\cdots\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow\cdots</math>
を考えよ、ただし各写像はフロベニウス自己準同型である。この系の[[逆極限]]は ''R''(''A'') であり、すべての ''i'' に対し <math>x_{i+1}^p=x_i</math> となるような ''A'' の元の列 (''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ... ) からなる。写像 θ : ''R''(''A'') → ''A'' は (''x<sub>i</sub>'') を ''x''<sub>0</sub>に送る<ref>{{harvnb|Brinon|Conrad|2009}}, section 4.2</ref>。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|p環|en|p-ring}}
*{{仮リンク|準有限体|en|Quasi-finite field}}

==脚注==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Citation
| last=Bourbaki
| first=Nicolas
| author-link=Nicolas Bourbaki
| title=Algebra II
| isbn=978-3-540-00706-7
| publisher=Springer
| year=2003
}}
*{{Citation
| last=Brinon
| first=Olivier
| last2=Conrad
| first2=Brian
| author2-link=Brian Conrad
| title=CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory
| url=http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf
| year=2009
| accessdate=2010-02-05
}}
*{{Citation
| last=Serre
| first=Jean-Pierre
| author-link=Jean-Pierre Serre
| title=[[Local Fields (book)|Local fields]]
| year=1979
| edition=2
| publisher=[[Springer-Verlag]]
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| volume=67
| mr=554237
| isbn=978-0-387-90424-5
}}
*{{citation
|last=Cohn
|first =P.M.
|year=2003
|title=Basic Algebra: Groups, Rings and Fields
}}
*{{citation
|last=Matsumura
|first =H
|year=2003
|title=Commutative ring theory
|series=Translated from the Japanese by M. Reid. [[Cambridge Studies in Advanced Mathematics]]
|volume=8
|edition=2nd
}}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Perfect field|urlname=Perfect_field}}

{{デフォルトソート:かんせんたい}}
[[Category:環論]]
[[Category:体論]]
[[Category:数学に関する記事]]