完全微分形式のソースを表示

[[微分位相幾何学]]における[[微分形式]]が'''完全''' (''exact'') である、または'''完全微分形式'''（かんぜんびぶんけいしき、{{lang-en-short|''exact differential form''}}）、短く'''完全形式''' (''exact form'') であるとは、別の微分形式でその[[外微分]]がもとの微分形式に一致するものが存在するときに言う。すなわち、完全形式は[[可積分]]である。短くまとめると、微分形式 {{mvar|ω}} が完全とは、微分形式 {{mvar|Q}} が存在して
: <math display="inline">\int_i^f\omega=Q(f)-Q(i)</math> が積分路のとり方に依らず {{mvar|i, f}} のみによって決まる
ようなものである。[[シュヴァルツの定理]]により、{{math|''C''{{exp|1}}}}-{{仮リンク|正則性の等級|fr|Classe de régularité|label=級}}の任意の完全形式は[[閉微分形式]]である。[[ポワンカレの補題]]はその部分的な[[逆]]を保証する。

== 一次微分形式の場合 ==
[[開集合]] {{mvar|U}} 上定義された[[1-形式]] {{mvar|ω}} が完全とは、{{mvar|U}} 上定義された[[可微分函数]] {{mvar|F}} が存在して {{math|1=''ω'' = ''dF''}} となるときを言う。言い換えれば、{{mvar|ω}} による[[ベクトル場]]が[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]場との[[スカラー積]]となる。

[[ポワンカレの補題]]によれば、[[単連結]]開集合上の {{math|''C''{{exp|1}}}}-級微分 1-形式が完全となるのは、それが[[閉微分形式|閉]]となるとき（かつそのときに限る）である。

== 参考文献 ==
* {{cite book | first= P. |last= Perrot |title= A to Z of Thermodynamics | location= New York | publisher= Oxford University Press | year= 1998}}
* {{cite book | first= D. | last= Zill | title= A First Course in Differential Equations | edition= 5th | location= Boston | publisher= PWS-Kent Publishing | year= 1993}}

== 関連項目 ==
* [[完全微分]]
* {{ill2|完全微分方程式|en|exact differential equation}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=ExactDifferential|title=Exact Differential}}
* {{MathWorld|urlname=InexactDifferential|title=Inexact Differential}}
* {{en icon}} ''[http://www.chem.arizona.edu/~salzmanr/480a/480ants/e&idiff/e&idiff.html Exact and Inexact Differentials]'' sur le site de W. R. Salzman, au département de chimie de l'[[université d'Arizona]]
* {{en icon}} ''[http://farside.ph.utexas.edu/teaching/sm1/lectures/node36.html Exact and Inexact Differentials]'' sur le site de Richard Fitzpatrick, professeur de physique à l'[[université du Texas à Austin]]

{{portal|数学}}

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