完全数のソースを表示

[[File:Perfect number Cuisenaire rods 6 exact.svg|thumb|完全数の一つである6の図解]]
'''完全数'''（かんぜんすう、{{Lang-en-short|perfect number}}）とは、自分自身を除く正の[[約数]]の和が自分自身に等しくなる[[自然数]]のことである。完全数は[[素数]]ではあり得ず、[[合成数]]に限られる。完全数の最初の4個は {{math2|1=[[6]] (= 1 + 2 + 3)}}、{{math2|1=[[28]] (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)}}、{{math2|1=[[496]] (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248)}}、{{math2|1=[[8128]] (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064)}} である。

「完全数」は「万物は数なり」と考えた[[ピタゴラス]]が名付けた数の一つであることに由来する<ref name="retsuden">「高数・数学者列伝」[[吉永良正]]『高校への数学』vol.20、1995年8月号</ref>が、彼がなぜ「完全」と考えたのかについては何も書き残されていないようである<ref name="retsuden" />。紀元[[1世紀]]ごろは、全ての数は[[過剰数]]と[[不足数]]と完全数の3種類に分けられて、道徳的な意味付けが真剣に考えられた<ref>{{仮リンク|コンスタンス・レイド|en|Constance Reid}}『ゼロから無限へ』芹沢正三訳　[[講談社]][[ブルーバックス]] 1971年 ISBN 978-4061177772 p133</ref>。[[中世]]の『[[聖書]]』の研究者は、「{{math|6}} は『神が世界を創造した（[[天地創造]]）6日間』、{{math|28}} は『[[月]]の[[公転周期]]』で、これら2つの数は地上と天界における神の完全性を象徴している」<ref name="retsuden" />と考えたとされる<ref>[[淡中忠郎]]「メルセンヌ数物語」『数学セミナー』、1973年9月号。[[#数学セミナー編集部1982|数学セミナー編集部(1982)]]、65-67頁に再録されている。</ref>。[[古代ギリシア]]の数学者は他にもあと2つの完全数 ({{math|496, 8128}}) を知っていた<ref name="retsuden" />。以来、完全数はどれだけあるのかの探求が2500年以上のちの現在まで続けられている。

完全数の定義は、正の約数の総和が自分自身の2倍に等しいことと同値である。すなわち、{{mvar|N}} が完全数であるとは、[[約数関数]] {{math|σ}} に対して {{math|σ(''N'') {{=}} 2''N''}} が成り立つことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が {{math|2}} であると表現することもできる。

== 歴史 ==
完全数に関する[[数学]]上の最初の成果は[[紀元前3世紀]]ごろの[[エウクレイデス|ユークリッド]]によってもたらされた。彼は『[[ユークリッド原論|原論]]』（第9巻、命題36）で、「{{math|2{{sup|''n''}} &minus; 1}} が[[素数]]ならば、{{math|2{{sup|''n''&minus;1}}(2{{sup|''n''}} &minus; 1)}} は完全数である」ということを証明した{{refnest|group=注釈|『[[ユークリッド原論]]』第9巻、命題36は以下の通り。
{{Quotation|もし単位から始まり順次に1対2の比をなす任意個の数が定められ，それらの総和が素数になるようにされ，そして全体が最後の数にかけられてある数を作るならば，その積は完全数であろう。|[[エウクレイデス]]|『[[#共立版原論|ユークリッド原論]]』第9巻、命題36}}すなわち
:{{math|1 + 2 + 2<sup>2</sup> + 2<sup>3</sup> + ... + 2<sup>''n''-1</sup> {{=}} ''M<sub>n</sub>''}} が素数ならば {{math|''M<sub>n</sub>'' × 2<sup>''n''-1</sup> }} は完全数である。}}。{{math|2{{sup|''n''}} &minus; 1}} で表される数を[[メルセンヌ数]]といい、それが素数である場合を'''[[メルセンヌ数#メルセンヌ素数|メルセンヌ素数]]'''という。

古代から、6、28、496、8128の4つの数が完全数であることは知られており、[[ニコマコス|ゲラサのニコマコス]]の『[[算術入門]]』には4つの完全数に関する記述が存在する<ref>{{Cite book|洋書|title=Introduction to Arithmetic|year=1926|publisher=The Macmillan Company|pages=207&ndash;212|ref={{Harvid|Nicomachus|1926}}|author=Nicomachus of Gerasa|url=https://archive.org/details/NicomachusIntroToArithmetic|others=Martin Luther D'Oge (trans)}}</ref>。

ユークリッドの公式は2以上の {{math|''n''}} に対して偶数の完全数しか生成しない（1のときは唯一の[[倍積完全数|1倍完全数]]である1になる）が、逆に偶数の完全数が全て {{math|2{{sup|''n''&minus;1}}(2{{sup|''n''}} &minus; 1)}} の形で書けるかどうかは[[18世紀]]までは未解決であった。[[レオンハルト・オイラー]]は偶数の完全数がこの形に限ることを証明した<ref name="Hardy and Wright.p317" /><ref name="Wada1981">{{Harvnb|和田|1981|pp=59-61}}</ref>{{Refnest|{{Harvtxt|Euler|1849}}は. 1747年2月23日にベルリン・アカデミーにより査読され、オイラーの死後の1849年に出版された。特に 88頁の§8を参照<ref>{{Harvtxt|Dickson|2005|p=19}}</ref>。|name=Euler1849|group=注釈}}。

メルセンヌ素数の探索は、[[エドゥアール・リュカ]]と{{仮リンク|デリック・ヘンリー・レーマー|en|Derrick Henry Lehmer}}によってメルセンヌ数が素数であるかどうかの効率的な判定法が考案され、[[1950年代]]から[[コンピュータ]]が使われるようになる。現在では[[分散コンピューティング]] [[GIMPS]] による探求が行われていて、{{As of|2024|11}}で判明している最大のメルセンヌ素数は4102万4320桁の数である<ref>{{Cite press release|title=GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>136,279,841</sup>-1|publisher=[[GIMPS]]|date=2024-10-21|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841|language=en|accessdate=2024-11-21|archiveurl=https://web.archive.org/web/20241119142707/https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841|archivedate=2024-11-19}}</ref>。{{Unsolved|数学上|偶数の完全数は無数にあるか。また、奇数の完全数は存在するか。}}{{As of|2024|11}}発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく52個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「[[偶数]]の完全数は無数に存在するか？」「[[奇数]]の完全数は存在するか？」という問題は未解決である。

== 概要 ==
完全数は、小さい順に
:{{math|[[6]], [[28]], [[496]], [[8128]], [[33550336]], 8589869056, …}}（{{OEIS|A000396}}）
である。

各完全数の正の約数の総和は
:{{math|[[12]], [[56]], [[992]], 16256, 67100672, 17179738112, …}}（{{OEIS|A139256}}）
隣り合う完全数の差は
:{{math|[[22]], [[468]], 7632, 33542208, 8556318720, …}}（{{OEIS|A139228}}）
完全数の総和の列は
:{{math|[[6]], [[34]], [[530]], [[8658]], [[33558994]], …}}（{{OEIS|A092336}}）
である。

{{math|6}} と {{math|28}} がなぜ「完全」であるかは[[中世]]の学者の議論の対象になり、{{math|6}} は神が創造した1週間（日曜日は神が[[天地創造]]を終えて休んだ安息日で、[[キリスト教]]ではこれを除外する）、{{math|28}} は「[[月]]の[[公転周期]]」とされた<ref name = "retsuden"/>。[[カンタベリーのアウグスティヌス|聖アウグスティヌス]]（? - [[604年]]）はこれとは一線を画し、「{{math|6}} はそれ自体完全な数である。神が万物を6日間で創造したから {{math|6}} が完全なのでなく、むしろ逆が真である」としている<ref name = "retsuden"/>。

偶数の完全数 {{math|2{{sup|''p''&minus;1}}(2{{sup|''p''}} &minus; 1) {{=}} {{sfrac|(''M''{{sub|''p''}}+1)''M''{{sub|p}}|2}}}} は {{math|''M''{{sub|''p''}}}} 番目の[[三角数]]であり、{{sfrac|''M''{{sub|''p''}}+1|2}} 番目の[[六角数]]でもある。

== 完全数の分類 ==
=== 偶数の完全数 ===
偶数の完全数は、{{math|''M{{sub|p}}'' {{=}} 2{{sup|''p''}} &minus; 1}} が[[素数]]のときの {{math|2{{sup|''p''&minus;1}}''M{{sub|p}}''}} に限る（ユークリッド、オイラー）。

==== ユークリッドの証明 ====
{{math|2{{sup|''p''&minus;1}}''M{{sub|p}}''}} が完全数であることの証明：<ref>{{Harvnb|ハーディ|ライト|2001|p=316}}</ref>
{{math proof|title = ユークリッドの証明|1=
{{math|''M{{sub|p}}'' {{=}} 2{{sup|''p''}} &minus; 1}} は奇数になるから、{{math|2{{sup|''p''&minus;1}}}} と {{math|''M{{sub|p}}''}} は[[互いに素 (整数論)|互いに素]]になる。

よって、{{math|σ(''n'')}} を[[約数関数]]とすると、約数関数は[[乗法的関数|乗法的]]なので、{{math|''N'' {{=}} 2{{sup|''p''&minus;1}}''M{{sub|p}}''}} の[[約数]]の[[総和]] {{math|σ(''N'')}} は、
:<math>\sigma(N) = \sigma(2^{p-1})\sigma(M_p).</math>
このとき、
:<math>\sigma(2^{p-1}) = \sum_{k=0}^{p-1} 2^k = 2^p - 1 = M_p.</math>

{{math|''M{{sub|p}}''}} は素数なので、
:<math>\sigma(M_p) = M_p + 1 = 2^p.</math>
したがって、
:<math>\sigma(N) = M_p 2^p = 2N.</math>
すなわち、{{mvar|N}} の約数の総和が {{math|2''N''}} に等しくなるので、{{mvar|N}} は完全数である。[[Q.E.D.]]
|drop=yes}}

==== オイラーの証明 ====
偶数の完全数は {{math|2{{sup|''p''&minus;1}}''M{{sub|p}}''}} の形に限ることの証明<ref name="Hardy and Wright.p317">{{Harvnb|ハーディ|ライト|2001|p=317}}</ref><ref name="Wada1981" /><ref group="注釈" name="Euler1849" />：
{{math proof|title = オイラーの証明|1=
{{mvar|N}} を偶数の完全数とする。{{mvar|N}} を {{math|2}} で割り切る最大回数を {{mvar|n}} とすると、{{math|''N'' {{=}} 2{{sup|''n''}}''K''}}（{{mvar|n}} は自然数、{{mvar|K}} は奇数）とおける。{{math|2{{sup|''n''}}}} と {{mvar|K}} は[[互いに素 (整数論)|互いに素]]であるので、{{math|σ(''n'')}} を[[約数関数]]とすると、約数関数は[[乗法的関数|乗法的]]なので、{{mvar|N}} の正の約数の総和 {{math|σ(''N'')}} は以下のようになる。
:<math>\begin{align} 
\sigma \left( N\right) &=\sigma \left( 2^n \right) \ \sigma \left( K\right) = \left(\sum_{k=0}^n 2^k\right) \sigma(K) \\ &=\left( 2^{n+1} -1 \right) \ \sigma \left( K \right)
\end{align}</math>
{{mvar|N}} は完全数であるため、
{{math|σ(''N'') {{=}} 2''N'' {{=}} 2{{sup|''n''+1}}''K''}} なので
:<math>\left( 2^{n+1} -1\right) \sigma \left( K\right) =2^{n+1}K</math>
が導かれる。{{math|2{{sup|''n''+1}} &minus; 1}} は奇数なので {{math|2}} で割り切れず、式が成立するためには、{{math|σ(''K'')}} は {{math|2{{sup|''n''+1}}}} で割り切れなければならない。
{{math|σ(''K'') {{=}} 2{{sup|''n''+1}}''a''}} とおき、上の式に代入して両辺を {{math|2{{sup|''n''+1}}}} で割れば
:<math>\left( 2^{n+1} -1\right) a=K</math>
となる。

もし {{math|''a'' ≠ 1}} なら、{{math|1}}、 {{math|''a''}}、 {{math|(2{{sup|''n''+1}} &minus; 1)''a''}} は {{mvar|K}} の相異なる約数のため、
:<math>\sigma \left( K\right) \geqq 1+a+\left( 2^{n+1} -1\right) a=2^{n+1} a+1=\sigma \left( K\right) +1</math>
となり矛盾する。ゆえに、{{math|''a'' {{=}} 1}} でなければならない。したがって、{{mvar|N}} が偶数の完全数であるためには、
:<math>K=2^{n+1} -1</math>　かつ <math>\sigma \left( K\right) =2^{n+1} =K+1</math>
でなければならない。{{math|σ(''K'') {{=}} ''K'' + 1}} より、{{mvar|K}} は {{mvar|K}} と {{math|1}} 以外に約数がない素数でなければならない。

ゆえに、{{mvar|N}} が偶数の完全数であるのは、
{{math|''N'' {{=}} 2{{sup|''n''}}(2{{sup|''n''+1}} &minus; 1)}}（ただし {{math|2{{sup|''n''+1}} &minus; 1}} は素数）の形のときに限られる。[[Q.E.D.]]
|drop=yes}}

==== 偶数の完全数の性質 ====
偶数の完全数を {{math|''N'' {{=}} {{math|2{{sup|''p''&minus;1}}(2{{sup|''p''}} &minus; 1)}}}}（{{math|2{{sup|''p''}} &minus;1}} は素数）とする。
*{{mvar|N}} の正の約数の個数は {{math|''d''(''N'') {{=}} 2''p''}} である（{{mvar|d}} は約数の個数を表す[[約数関数]]）。このうち半数は [[2の冪|{{math|2}} の累乗]]であり、残り半数はこれに[[メルセンヌ数#メルセンヌ素数|メルセンヌ素数]]を乗じた数である。
*{{mvar|N}} の正の約数の[[調和平均]]は {{mvar|p}}、ゆえに {{mvar|N}} は[[調和数]]である。
*{{math|6}} 以外の偶数の完全数は、{{math|1}} から連続する正の奇数の[[立方和]]で表せる。式で表すと
:<math>N=\sum_{k=1}^{2^{\frac{p-1}{2}}} (2k-1)^3 \quad (p\geqq 3)</math>
:例：
:{{math|28 {{=}} 1{{sup|3}} + 3{{sup|3}}, 496 {{=}} 1{{sup|3}} + 3{{sup|3}} + 5{{sup|3}} + 7{{sup|3}}, 8128 {{=}} 1{{sup|3}} + 3{{sup|3}} + 5{{sup|3}} + 7{{sup|3}} + 9{{sup|3}} + 11{{sup|3}} + 13{{sup|3}} + 15{{sup|3}}}}
:{{math|1}} から連続する正の奇数の立方和で表せる数の列は
:{{math|[[1]], '''[[28]]''', [[153]], '''[[496]]''', [[1225]], 2556, 4753, '''[[8128]]''', …}}（{{OEIS|A002593}}）
*{{math|2{{sup|''n''&minus;1}}(2{{sup|''n''}} &minus; 1)}}（{{mvar|n}} は自然数）の列は
:{{math|[[1]], '''[[6]]''', '''[[28]]''', [[120]], '''[[496]]''', [[2016]], '''[[8128]]''', 32640, …}}（{{OEIS|A006516}}）
:''この数列で完全数にならない数の数列は {{OEIS|A144858}} を参照''
*{{math|''n'' × σ(''n'')}} は {{math|''n'' {{=}} 2{{sup|''p''&minus;1}}}} のとき偶数の完全数になる。ただし {{math|σ}} は[[約数関数]]である。この数列は
:{{math|[[1]], '''[[6]]''', [[12]], '''[[28]]''', [[30]], [[72]], [[56]], [[120]], [[117]], [[180]], [[132]], [[336]], [[182]], [[336]], [[360]], '''[[496]]''', [[306]], [[702]], [[380]], [[840]], …}}（{{OEIS|A064987}}）
*偶数の完全数は、{{math|1}} からメルセンヌ素数まで連続する正の整数の和で表せる。式で表すと
:<math>N=\sum_{k=1}^{2^{p}-1} k \quad (p\geqq 2)</math>
:例：{{math|6 {{=}} 1 + 2 + 3 , 28 {{=}} 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 , 496 {{=}} 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... + 28 + 29 + 30 + 31}}
:言い換えると、{{mvar|N}} は {{math|2{{sup|''p''}} &minus; 1}} 番目の[[三角数]]である。偶数の三角数の列は
:{{math2|'''[[6]]''', [[10]], '''[[28]]''', [[36]], [[66]], [[78]], [[120]], [[136]], [[190]], [[210]], [[276]], [[300]], [[378]], [[406]], '''[[496]]''', [[528]], [[630]], [[666]], [[780]], [[820]], [[946]], 990, …}}（{{OEIS|A014494}}）
*偶数の完全数は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て[[六角数]]でもある。
:<math>N=\sum_{k=1}^{2^{p-1}} (4k-3) \quad (p\geqq 2)</math>
:例：{{math|6 {{=}} 1 + 5 , 28 {{=}} 1 + 5 + 9 + 13 , 496 {{=}} 1 + 5 + 9 + 13 + ... + 57 + 61}}
:言い換えると、{{mvar|N}} は {{math|2{{sup|''p'' &minus; 1}}}} 番目の六角数である。
六角数の列は 
:{{math|[[1]], '''[[6]]''', [[15]], '''[[28]]''', [[45]], [[66]], [[91]], [[120]], [[153]], [[190]], [[231]], [[276]], [[325]], [[378]], [[435]], '''[[496]]''', [[561]], …}}（{{OEIS|A000384}}）
*知られている完全数は全て 4''n'' &minus; 1 番目の三角数でもあるので偶数の六角数であり、偶数番目の六角数である。{{mvar|n}} 番目の六角数は {{math|''n''(2''n'' &minus; 1)}} なので、偶数の六角数は {{math|2''n''(4''n'' &minus; 1)}} で表される。偶数の六角数の列は
:{{math|'''[[6]]''', '''[[28]]''', [[66]], [[120]], [[190]], [[276]], [[378]], '''[[496]]''', [[630]], [[780]], [[946]], …}}（{{OEIS|A014635}}）
*{{math|6}} 以外の完全数は[[中心つき九角数]]に含まれる。この数の列は
:{{math|[[1]], [[10]], '''[[28]]''', [[55]], [[91]], [[136]], [[190]], [[253]], [[325]], [[406]], '''[[496]]''', [[595]], [[703]], [[820]], [[946]], …}}（{{OEIS|A060544}}）
*{{mvar|N}} を[[十進法]]表示したとき、一の位は {{math|6}} または {{math|8}} である。

==== 偶数の完全数の未解決問題 ====
偶数の完全数は無数に存在するか、つまり {{math|''M{{sub|p}}'' {{=}} 2{{sup|''p''}} &minus; 1}} が素数となる素数 {{mvar|p}} は無数に存在するかどうかは未解決である。

=== 奇数の完全数 ===
奇数の完全数が存在するか否かは未解決であるが、[[約数関数]]は[[数論的関数#乗法的関数|乗法的]] ({{Lang-en-short|multiplicative}}) であることから、二平方数の和であることが古くから知られていた。もし奇数の完全数 {{mvar|N}} が存在すれば、{{mvar|N}} は以下の各条件を満たさなければならないことが知られている。

*{{mvar|N}} の[[素因数分解]]は {{math|''q''{{sup|α}}''p''{{sub|1}}{{sup|2''e''{{sub|1}}}} … ''p{{sub|k}}''{{sup|2''e{{sub|k}}''}}}} の形である。ここで {{math|''q'', ''p''{{sub|1}} < ''p''{{sub|2}} < … < ''p{{sub|k}}''}} は相異なる素数で {{math|''q'' ≡ α ≡ 1 (mod 4)}} を満たす{{refnest|group="注釈"|オイラーが証明した<ref>{{Harvtxt|Dickson|2005|p=98}}</ref>。}}。
**{{math|''N'' < 2{{sup|4{{sup|''k''+1}}}}}} である<ref name="Nielsen2003">{{cite journal | last=Nielsen | first=Pace P. | title=An upper bound for odd perfect numbers | journal=Integers | year=2003 | volume=3 | pages=A14 | url=http://math.colgate.edu/~integers/vol3.html }}</ref>。
**{{math|''p''{{sub|1}} < {{sfrac|2|3}}''k'' + 2}} である<ref name="Grün1952">{{cite journal | last=Grün | first=Otto | title=Über ungerade vollkommene Zahlen | journal=Mathematische Zeitschrift | year=1952 | volume=55 | issue=3 | pages=353--354 | doi=10.1007/BF01181133 }}</ref>。また {{math|2 ≤ ''i'' ≤ 6}} のとき {{math|''p{{sub|i}}'' < 2{{sup|2{{sup|''i''&minus;1}}}}(''k'' &minus; ''i'' + 1)}} である<ref>M. Kishore, "On odd perfect, quasiperfect, and odd almost perfect numbers", Math. Comp. 36 (1981), 583-586.</ref>。
**{{math|''e''{{sub|1}} ≡ ''e''{{sub|2}} ≡ … ≡ ''e{{sub|k}}'' ≡ 1 (mod 3)}} ではない<ref>W. L. McDaniel, "The non-existence of odd perfect numbers of a certain form", Arch. Math. (Basel) 21 (1970), 52-53.</ref>。
**{{math|''e''{{sub|1}} ≡ ''e''{{sub|2}} ≡ … ≡ ''e{{sub|k}}'' ≡ 2 (mod 5)}} ではない<ref name="FletcherNielsenOchem2012">{{cite journal | last1=Fletcher | first1=S. Adam | last2=Nielsen | first2=Pace P. | last3=Ochem | first3=Pascal | title=Sieve methods for odd perfect numbers | journal=Mathematics of Computation | volume=81 | issue=279 | year=2012 | pages=1753--1776  | doi=10.1090/S0025-5718-2011-02576-7 | url=http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/OPNS_Adam_Pace.pdf | mr=2904601 | issn=0025-5718 }}</ref>.
**{{math|''e''{{sub|1}} {{=}} ''e''{{sub|2}} {{=}} … {{=}} ''e{{sub|k}}'' {{=}} β}} とすると、{{math|β}} は {{math|1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 17, 18, 24, 62}} ではない<ref>W. L. McDaniel and P. Hagis Jr., "Some results concerning the non-existence of odd perfect numbers of the form ''p''{{sup|''a''}}''M''{{sup|2β}}", Fibonacci Quart. 13 (1975), 25-28.</ref><ref>G. L. Cohen, R. J. Williams, "Extensions of some results concerning odd perfect numbers", Fibonacci Quart. 23 (1985), 70-76.</ref>。さらに{{math|''k'' ≤ 2β{{sup|2}} + 8β + 2}} である<ref name="Yamada2019">{{cite journal | last1=Yamada | first1=Tomohiro | title=A new upper bound for odd perfect numbers of a special form | journal=Colloquium Mathematicum | volume=156 | year=2019 | issue=1 | pages=15--21 | doi=10.4064/cm7339-3-2018 | issn=1730-6302 }}</ref>。
**{{math|''N'' ≡ 1 (mod 12)}} または {{math|''N'' ≡ {{sfrac|1|2}} ・ 3{{sup|2''e''{{sub|1}}}}(3{{sup|2''e''{{sub|1}}+1}} &minus; 1) (mod 2 ・ 3{{sup|2''e''{{sub|1}}}}(3{{sup|2''e''{{sub|1}}+1}} &minus; 1))}} である<ref>J. Touchard, "On prime numbers and perfect numbers", Scripta Math. 19 (1953), 53-59.</ref><ref>M. Satyanarayana, "Odd perfect numbers", Math. Student 27 (1959), 17-18.</ref><ref>J. A. Holdener, "A theorem of Touchard on the form of odd perfect numbers".  Amer. Math. Monthly, 109 (2002), 661-663.</ref><ref> T. Roberts, "On the Form of an Odd Perfect Number", Australian Mathematical Gazette, 35:4 (2008), 244</ref>。
*{{math|''N'' > 10{{sup|1500}}}} である<ref name="OchemRao2012">{{cite journal | last1=Ochem | first1=Pascal | last2=Rao | first2=Michaël | title=Odd perfect numbers are greater than 10<sup>1500</sup> | journal=Mathematics of Computation | year=2012 | volume=81 | issue=279 | pages=1869--1877 | doi=10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 | url=http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf | mr=2904606 | zbl=1263.11005 | issn=0025-5718 }}</ref>。
** これは1991年に示された<ref>R. P. Brent, Graeme L. Cohen, H. J. J. te Riele, "Improved techniques for lower bounds for odd perfect numbers", Math. Comp. 57 (1991), 857-868</ref>を約20年ぶりに改良したものである。
*{{mvar|N}} は少なくとも10個の相異なる素因数を持つ<ref name="Nielsen2015">{{cite journal | last=Nielsen | first=Pace P. | title=Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds|journal=Mathematics of Computation | year=2015 | volume=84 | issue=295 | pages=2549--2567 | url=https://math.byu.edu/~pace/BestBound_web.pdf | doi=10.1090/S0025-5718-2015-02941-X | mr=3356038 | issn=0025-5718 }}</ref>。
**これは2015年に発表されたものであるが、「9個以上」を示した2006年の結果<ref name="Nielsen2007">{{cite journal | last=Nielsen | first=Pace P. | title=Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors | journal=Mathematics of Computation | year=2007 | volume=76 | issue=260 | pages=2109--2126 | url=https://math.byu.edu/~pace/NotEight_web.pdf | doi=10.1090/S0025-5718-07-01990-4 | arxiv=math/0602485 | mr=2336286 | issn=0025-5718 }}</ref>を改良したものである。「7個」の場合は1972年までに[[カール・ポメランス]]によって示され、「8個」の場合は1980年ごろに Chein<ref>J. E. Z. Chein, "An odd perfect number has at least 8 prime factors", Doctoral Thesis, Pennsylvania State University, 1979.</ref>と Hagis<ref>P. Hagis Jr., "Outline of a proof that every odd perfect number has at least eight prime factors", Math. Comp. 35 (1980) 1027-1032.</ref>によってほぼ同時に示されており、その後多くの数学者の努力<ref>G. L. Cohen, R. M. Sorli, "On the number of distinct prime factors of an odd perfect number", J. Discrete Algorithms 1 (2003), 21-35.</ref>にもかかわらず、26年もの間「9個」の場合は示されなかった。
*{{mvar|N}} が {{math|3}} で割り切れない場合は、少なくとも12個の素因数を持つ<ref name="Nielsen2007" />。{{math|3}} でも {{math|5}} でも割り切れない場合は15個以上の、{{math|3}} でも {{math|5}} でも {{math|7}} でも割り切れない場合は27個以上の相異なる素因数を持つ<ref>K. K. Norton, "Remarks on the number of factors of an odd perfect number", Acta Arith., 6 (1960/1961), 365-374.</ref>。
*{{mvar|N}} は重複も数えて少なくとも101個の素因数を持つ<ref name="OchemRao2012"/><ref>75個以上であることを示した、以前の結果は K. G. Hare, "New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number", Math. Comp. 76. (2007), 2241-2248. [http://www.math.uwaterloo.ca/~kghare/Preprints/PDF/P20_OPN.pdf preprint]</ref>。
*{{mvar|N}} は {{math|10{{sup|8}}}} より大きい素因数を持つ<ref>T. Goto and Y. Ohno, "Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10{{sup|8}}", Math. Comp. 77 (2008), 1859-1868. "[http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/html/perfect-j.html 奇数の完全数の最大素因子について]" - preprint を入手可能。</ref>。
**これは2006年に発表されたものであるが、より古い下界としては2003年の {{math|10{{sup|7}}}}<ref>P. M. Jenkins, "Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10{{sup|7}}", Math. Comp. 72 (2003), 1549-1554.</ref>や、1998年の {{math|10{{sup|6}}}}<ref>P. Hagis, Jr. and G. L. Cohen, "Every odd perfect number has a prime factor which exceeds 10{{sup|6}}", Math. Comp. 67 (1998), 1323-1330.</ref>などがある。
*{{mvar|N}} の2番目に大きな素因数は {{math|10{{sup|4}}}} より大きい<ref>D. E. Iannucci, "The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand", Math. Comp. 68 (1999), 1749-1760.</ref>。
*{{mvar|N}} の3番目に大きな素因数は {{math|100}} より大きい<ref>D. E. Iannucci, "The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred", Math. Comp. 69 (2000), 867-879.</ref>。
*{{mvar|N}} は {{math|10{{sup|62}}}} より大きい素数冪因数を持つ<ref name="OchemRao2012"/>。
*{{mvar|2N}}（{{mvar|N}}の約数の和） は[[単偶数]]の3倍完全数となる（未発見。[[倍積完全数]]を参照。）。

=== その他の性質 ===
*完全数は、正の約数の個数が偶数、正の約数の逆数和が {{math|2}} なので、[[調和数]]である。この数の列は
:{{math|[[1]], '''[[6]]''', '''[[28]]''', [[140]], [[270]], '''[[496]]''', [[672]], 1638, 2970, 6200, '''[[8128]]''', 8190, …}}（{{OEIS|A001599}}）

*完全数は素数ではないが、約数の和が自分自身（の1倍）に等しい唯一の数である {{math|[[1]]}} との関係において、2個の約数を持つ素数が1個の約数を持つ唯一の数である {{math|1}} に対するのと似た関係を持つ。

== 関連する数 ==
約数の和や積を考えることで特徴付けられる数の種類には他にも次のようなものがある。完全数と併せて、これらの名称には古代ギリシアの[[数秘術|数秘学]]の影響が見られる。

=== 完全数の拡張 ===
; [[倍積完全数]] (multiperfect number)<ref>{{MathWorld|title=Multiperfect Number|urlname=MultiperfectNumber}}</ref>
:正の約数の和が自分自身の倍数である自然数を'''倍積完全数'''という。特に、それが{{mvar|k}}倍に等しいものを'''{{mvar|k}}倍完全数'''という。{{math|1}}は唯一の{{math|1}}倍完全数であり、完全数とは{{math|2}}倍完全数のことである。
:{{math|[[1]], '''[[6]]''', '''[[28]]''', [[120]], '''[[496]]''', [[672]], '''[[8128]]''', [[30240]], …}}（{{OEIS|A007691}}）
; [[ハイパー完全数]] (hyperperfect number)
:{{mvar|n}} が {{mvar|k}} -ハイパー完全数であるとは、
:{{math|''n'' {{=}} 1 + ''k''(σ(''n'') &minus; ''n'' &minus; 1)}}（ただし{{mvar|k}} は自然数）（{{math|σ}} は[[約数関数]]）
:を満たすことと定義される。完全数は {{math|1}}-ハイパー完全数である。
:{{mvar|k}} -ハイパー完全数の列は
:{{math|'''[[6]]''', [[21]], '''[[28]]''', [[301]], [[325]], '''[[496]]''', [[697]], [[1333]], 1909, 2041, 2133, 3901, '''[[8128]]''', …}}（{{OEIS|A034897}}）
; [[超完全数]] (superperfect number)
:{{mvar|n}} が {{math|(''m'', ''k'')}}-完全数であるとは、
:{{math|σ{{sup|''m''}}(''n'') {{=}} ''kn''}}（ただし {{mvar|k}} は自然数）（{{math|σ}} は約数関数）
:を満たすときと定義される。完全数は {{math|(1, 2)}}-完全数、倍積完全数は {{math|(1, ''k'')}}-完全数、超完全数は {{math|(2, 2)}}-完全数である。
; [[擬似完全数]] (semiperfect number)
:自分自身を除くいくつかの約数の総和が元の数に等しい自然数を'''擬似完全数'''という。

=== 不完全数 ===
完全数でない自然数を'''不完全数''' (imperfect number) という。
; [[不足数]] (deficient number)<ref>{{MathWorld|title=Deficient Number|urlname=DeficientNumber}}</ref>
:自分自身以外の正の約数の和より大きい自然数
; [[過剰数]] (abundant number)<ref>{{MathWorld|title=Abundant Number|urlname=AbundantNumber}}</ref>
:自分自身以外の正の約数の和より小さい自然数。過剰数であって擬似完全数でない数を'''[[不思議数]]'''という。
; [[友愛数]] (amicable pair)<ref>{{MathWorld|title=Amicable Pair|urlname=AmicablePair}}</ref>
:自分自身以外の正の約数の和が互いに他方に等しい2つの自然数の組。
; [[社交数]] (sociable numbers)<ref>{{MathWorld|title=Sociable Numbers|urlname=SociableNumbers}}</ref>
:友愛数と同様の関係が成立する3個以上の自然数の組。
; {{仮リンク|準完全数|en|Quasiperfect number|preserve=1}} (quasiperfect number)<ref>{{MathWorld|title=Quasiperfect Number|urlname=QuasiperfectNumber}}</ref>
:{{mvar|n}} が'''準完全数'''であるとは、正の約数の和が {{math|2''n'' + 1}} に等しいことと定義される。過剰数の一種。そのような数はいまだに見つかっていないが、存在するならばそれは奇数の平方数で {{math|10{{sup|35}}}} より大きく、少なくとも7つの約数を持つということが示されている。
; {{仮リンク|概完全数|en|Almost perfect number|preserve=1}} (almost perfect number)<ref>{{MathWorld|title=Almost Perfect Number|urlname=AlmostPerfectNumber}}</ref>
:{{mvar|n}} が'''概完全数'''であるとは、正の約数の和が {{math|2''n'' &minus; 1}} に等しいことと定義される。不足数の一種。{{math|2{{sup|''k''}} ({{=}} 1, 2, 4, 8, 16, …)}} の形の自然数はこの条件を満たしているが、この形の自然数以外の概完全数が存在するのかどうかは知られていない。

=== その他 ===
; 乗法的完全数 (multiplicative perfect number)<ref>{{MathWorld|title=Multiplicative Perfect Number|urlname=MultiplicativePerfectNumber}}</ref>
:正の約数の積が自分自身の自乗（2乗）に等しい数を'''乗法的完全数'''という。乗法的完全数の列は、
:{{math|[[1]], [[6]], [[8]], [[10]], [[14]], [[15]], [[21]], [[22]], …}}（{{OEIS|A007422}}）

== エピソード ==
[[小川洋子]]の小説『[[博士の愛した数式]]』（2003年）では登場人物の「博士」が[[阪神タイガース]]の[[江夏豊]]投手のファンであったことの理由として江夏の背番号が'''28'''であったことを挙げ、その際に完全数の説明がなされている。

江夏ではないが、[[日本のプロ野球]]で初めて[[完全試合]]が達成されたのは月・日とも完全数の1950年'''6'''月'''28'''日だった。[[6月28日]]は「完全」の意味を持つ食べ物「[[パフェ]]の日」にもなっている。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注釈"}}

=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書
|editor = 数学セミナー編集部
|date = 1982-09-30
|title = 数の世界
|series = 数学セミナー増刊 数学セミナー・リーディングス
|publisher = 日本評論社
|location = 東京
|ref = 数学セミナー編集部1982
}}
*{{Cite book|和書|last1=ハーディ|first1=G.H.|authorlink1=ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|last2=ライト|first2=E.M.|translator=[[示野信一]]・[[矢神毅]]|date=2001-07|title=数論入門 I|publisher=丸善出版|series=シュプリンガー数学クラシックス8 |isbn=978-4-621-06226-5 |ref={{Harvid|ハーディ|ライト|2001}}}}
*{{Cite book|和書
|editor1=ハイベア|editor1-link=ヨハン・ルードウィッヒ・ハイベア|editor2=メンゲ|editor2-link=ハインリッヒ・メンゲ
|others = [[中村幸四郎]]・[[寺阪英孝]]・[[伊東俊太郎]]・[[池田美恵]]訳・解説
|title = ユークリッド原論
|publisher = [[共立出版]]
|ref = 共立版原論
}}
**（ハードカバー）1971年7月。ISBN 4-320-01072-8
**（縮刷版）1996年6月。ISBN 4-320-01513-4
**（追補版）2011年5月。ISBN 978-4-320-01965-2
*{{Cite book|和書
|editor = ハイベア・メンゲ
|others = [[斎藤憲]] 訳・解説
|date = 2015-08-31
|title = 原論VII－X
|series = エウクレイデス全集
|volume = 第2巻
|publisher = [[東京大学出版会]]
|pages = 43f, VII 定義23, IV 命題36

|isbn = 978-4-13-065302-2
|ref = {{Harvid|ハイベア|メンゲ|斎藤|2015}}
}}
*{{Cite book |和書 |author=和田秀男|authorlink=和田秀男 |date=1981-07-10 |title=数の世界　整数論への道 |publisher=岩波書店 |series=岩波科学ライブラリー |isbn=978-4-00-005500-0 |ref={{Harvid|和田|1981}} }}
*{{Citation
|las t= Dickson
|first = Leonard Eugene
|author-link = レオナード・E・ディクソン
|year = 2005
|title = History of the theory of numbers
|volume = Vol. I: Divisibility and primality
|publisher = Dover Publications
|location = New York
|edition = paperback
|isbn = 0-486-44232-2
|url = {{Google books|FYWn8XWrAI0C|History of the theory of numbers
|page = 3
|plainurl = yes}}
}}
*{{citation|first=Leonhard|last=Euler|authorlink=レオンハルト・オイラー|chapter=De numeris amicibilibus|trans-chapter=On amicable numbers|language=la|contribution-url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E798.html|title=Commentationes arithmeticae|volume=2|year=1849|pages=627–636}}
*{{Citation
|last = Guy
|first = Richard K.
|author =
|author-link =
|year = 2004
|title = Unsolved Problems in Number Theory
|publisher = Springer-Verlag
|location = New York
|edition = 3rd
|isbn = 0-387-20860-7
|ref = Guy2004
}} ({{Google books|QJ4XUdLgEYnqlAWbu4H4Dg|online book}})
**{{Cite book|和書
|author= リチャード・ガイ|authorlink=リチャード・ガイ
|others = [[一松信]]ほか 訳
|date = 1983-01
|title = 数論における未解決問題集
|publisher = Springer-Verlag Tokyo
|isbn = 4-87573-101-9
|ref = {{Harvid|ガイ|一松|1983}}
}} - 原タイトル：''Unsolved problems in number theory.''
**{{Cite book|和書
|author = リチャード・K・ガイ
|others = [[金光滋]] 訳
|date = 2010-11-05
|title = 数論〈未解決問題〉の事典
|publisher = 朝倉書店
|isbn = 978-4-254-11129-3
|ref = {{Harvid|ガイ|金光|2010}}
}} - 原タイトル：''Unsolved problems in number theory. 3rd ed.''
*{{Citation
|last1 = Sándor
|first1 = J.
|last2 = Crstici
|first2 = B.
|year = 2004
|title = Handbook of number theory
|publisher = Kluwer Academic Publishers
|location = Dordrecht, Netherlands
|volume = II
|isbn=1-4020-2546-7
|ref = Sándor&Crstici2004
}} ({{Google books|L6AXUZmkNYfskgWAkoCoBg|online book}})

* 高木貞治：「初等整数論講義」第2版、（1971）。

== 関連項目 ==<!--項目の50音順-->
{{Div col}}
*[[拡大友愛数]]
*[[婚約数]]（準友愛数）
*[[三角数]]
*[[社交数]]
*[[メルセンヌ数]]
*[[メルセンヌ素数と完全数の一覧]]
*[[友愛数]]
* [[友愛的三対]] - 友愛数を社交数とは別の方向に拡張したもの。
*[[アリコット数列]]{{Div col end}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|完全数|2=[[足立恒雄]]}}
*{{高校数学の美しい物語|883|完全数の一覧と性質}}
*{{MathWorld|title=Perfect Number|urlname=PerfectNumber}}
*{{MathWorld|title=Odd Perfect Number|urlname=OddPerfectNumber|last=Greathouse |first=Charles |last2=Weisstein |first2=Eric W.}}
{{Divisor classes}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:かんせんすう}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]