完全環のソースを表示

{{about| Hyman Bass によって導入された完全環|完全体を一般化した標数 ''p'' の完全環|完全体}}

[[環論]]という[[抽象代数学]]の分野において、'''左完全環''' (left perfect ring) はすべての左[[環上の加群|加群]]が[[射影被覆]]をもつような[[環 (数学)|環]]のことである。右完全環も同様に定義される。条件は左右対称でない、つまり、一方の側で完全だがもう一方では完全でないような環が存在する。完全環は {{harv|Bass|1960}} で導入された。

'''半完全環''' (semiperfect ring) はすべての[[有限生成加群|有限生成]]左加群が射影被覆をもつような環である。この性質は左右対称的である。

== 完全環 ==
=== 定義 ===
左完全環 ''R'' の以下の同値な定義は {{harv|Anderson,Fuller|1992, p.315}} にある。
* すべての左 ''R'' 加群は射影被覆をもつ。
* ''R''/J(''R'') は[[半単純加群]]であり J(''R'') は'''左 T-冪零''' (left T-nilpotent)（つまり、J(''R'') の元のすべての無限列に対して、ある ''n'' が存在して、最初の ''n'' 項の積が 0 である）、ただし J(''R'') は ''R'' の[[ジャコブソン根基]]である。
* ('''Bass' Theorem P''') ''R'' は主右イデアルについて[[降鎖条件]]を満たす。（間違っていない。''右''主イデアルについてのこの条件は環が''左''完全であることと同値である。）
* すべての[[平坦加群|平坦]]左 ''R''-加群は[[射影加群]]である。
* ''R''/J(''R'') は半単純でありすべての 0 でない左 ''R'' 加群は[[極大部分加群]]を含む。
* ''R'' は[[冪等元]]の無限直交集合を含まず、すべての 0 でない右 ''R'' 加群は極小部分加群を含む。

=== 例 ===
* 右あるいは左[[アルティン環]]や[[ホプキンス・レヴィツキの定理|半準素環]]は右かつ左完全環であることが知られている。
* 以下は（Bass により）右完全だが左完全でない[[局所環]]の例である。''F'' を体とし、''F'' 上の[[行列#無限次行列|無限次行列]]からなるある環を考える。
:'''N'''×'''N''' で添え字づけられた成分をもつ無限次行列であって対角線より上には有限個しか零でないようなものがないもの全体の集合をとり、この集合を ''J'' と表記する。また、対角線上にすべて 1 が並んだ行列 <math>I\,</math> をとり、集合
::<math>R=\{f\cdot I+j\mid f\in F, j\in J \}\,</math>
:を作る。''R'' は単位元をもつ環であり、その[[ジャコブソン根基]]は ''J'' であることを示すことができる。さらに、''R''/''J'' は体なので、''R'' は局所環であり、''R'' は右完全だが左完全ではない。 {{harv|Lam|2001|pp=345-346}}

=== 性質 ===
左完全環 ''R'' に対して
* 上記の同値性から、すべての左 ''R'' 加群は極大部分加群と射影被覆をもち、平坦左 ''R'' 加群は射影左加群と一致する。
* [[入射加群#Baerの判定法|Baerの判定法]]の類似が射影加群に対しても成り立つ{{Citation needed|date=July 2011}}。

== 半完全環 ==
=== 定義 ===
 
''R'' を環とする。このとき ''R'' は以下の同値な条件のうちいずれでもが成り立てば半完全である。

* ''R''/J(''R'') は[[半単純加群]]であり[[冪等元]]は J(''R'') を法として持ち上がる、ただし J(''R'') は ''R'' の[[ジャコブソン根基]]。
* ''R'' は冪等元の完全直交系 ''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub> をもち、各 ''e''<sub>''i''</sub> ''R e''<sub>''i''</sub> は[[局所環]]。
* すべての[[単純加群|単純]]左（右）''R''-加群は[[射影被覆]]をもつ。
* すべての[[有限生成加群|有限生成]]左（右）''R''-加群は射影被覆をもつ。
* 有限生成射影 <math>R</math>-加群の圏は{{仮リンク|クルル・シュミット圏|en|Krull–Schmidt category}}である。

=== 例 ===

半完全環の例は以下を含む。
* 左（右）完全環
* [[局所環]]
* 左（右）[[アルティン環]]
* [[ハメル次元|有限次元]][[体上の多元環|''k''-代数]]

=== 性質 ===

環 ''R'' が半完全であることとすべての[[単純加群|単純]]左''R''-[[環上の加群|加群]]が射影被覆をもつことは同値なので、半完全環に[[森田同値]]なすべての環はまた半完全である。

== 参考文献 ==
*{{Citation|last = Anderson|first = Frank W|coauthors = Fuller, Kent R|title = Rings and Categories of Modules|publisher = Springer|year = 1992|isbn = 0-387-97845-3|url = https://books.google.co.jp/books?id=PswhrD_wUIkC&redir_esc=y&hl=ja | pages=312–322}}
* {{Citation | last1=Bass | first1=Hyman | title=Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings | doi=10.2307/1993568 | jstor=1993568 | mr=0157984  | year=1960 | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9947 | volume=95 | issue=3 | pages=466–488}}
*{{cite book|first=T. Y. |last=Lam  |title=A first course in noncommutative rings  |series=Graduate Texts in Mathematics   |volume=131   |edition=2   |publisher=Springer-Verlag   |place=New York   |year=2001   |pages=xx+385   |isbn=0-387-95183-0   |mr=1838439 |harv=ref }}


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