完全系列のソースを表示

[[File:Illustration of an Exact Sequence of Groups.svg|thumb|350px|完全列の図]]
[[ホモロジー代数]]における'''完全系列'''（かんぜんけいれつ、{{lang-en-short|''exact sequence''}}）あるいは'''完全列'''（かんぜんれつ）とは、[[環上の加群]]や[[群 (数学)|群]]などの系列で各射の像空間が次の射の核空間と正確に合致するものをいう。

== 定義 ==
R 加群 ''X''<sub>''i''</sub> と写像 ''f''<sub>''i''</sub>: ''X''<sub>''i''</sub> &rarr; ''X''<sub>''i''+1</sub> (''i'' &isin; '''Z''') からなる（有限または無限）系列
: <math>\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}{{}\longrightarrow{}}X_n
\stackrel{f_n}{{}\longrightarrow{}}X_{n+1} \to \cdots</math>

において、<math>{\rm Im\,} f_{n-1} = {\rm Ker}\, f_n</math> となるとき、系列は ''X''<sub>''n''</sub> において'''完全（exact）'''であるという。特に、次の事実が成り立つ<ref>{{Cite book|洋書|title=Introduction to commutative algebra|url=https://www.worldcat.org/oclc/7491|publisher=Addison-Wesley Pub. Co|date=1969|location=Reading, Mass.,|isbn=0-201-00361-9|oclc=7491|others=|first=Michael Francis|last=Atiyah|last2=MacDonald|first2=I. G.}}</ref>：

* 系列 <math>0\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M</math> が完全であることは、{{Mvar|f}} が単射であることと同値。
* 系列 <math>M\xrightarrow{g}M''\xrightarrow{}0</math> が完全であることは、{{Mvar|g}} が全射であることと同値。
* 系列 <math>0\xrightarrow{}M'\xrightarrow{f}M\xrightarrow{g}M''\xrightarrow{}0</math> が完全であることは、{{Mvar|f}} が単射かつ {{Mvar|g}} が全射であり、さらに {{Mvar|g}} が同型 <math>M/f(M')\xrightarrow{\simeq}M''</math> を誘導することと同値。

系列がすべての R 加群 ''X''<sub>''i''</sub> において完全であるとき、その系列を'''完全系列（exact sequence）'''と呼び、
: <math>\cdots \to X_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}{{}\longrightarrow{}}X_n
\stackrel{f_n}{{}\longrightarrow{}}X_{n+1} \to \cdots\quad\text{(exact)}</math>
などと表記する。なお、系列が ''X''<sub>''n''</sub> において完全であるならば、その定義から明らかに
:<math>f_{n}\circ f_{n-1}(x) = 0_{n+1} \;\; \forall \, x \in X_{n-1}</math> （ただし、<math>0_{n+1}</math> は <math>X_{n+1}</math> の零元）
が成り立つ（逆は一般に成り立たない）。

== 例 ==
例えば、アーベル群の系列
: <math>0 \hookrightarrow \mathbb{Z} \stackrel{f}{{}\hookrightarrow{}} \mathbb{Z} \stackrel{p}{{}\twoheadrightarrow{}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\twoheadrightarrow 0 </math>
で、''f'': '''Z''' &rarr; '''Z''' が 2 倍写像 (''x'' &rarr; 2''x''), ''p'' を標準射影とすると、これは完全である。実際、2''x'' = 0 となる ''x'' は 0 であり、かつ 0 に限られる（''f'' は単射である）ので 0 &rarr; '''Z''' は完全である。また、''f'', ''p'' はアーベル群の準同型で、im(''f'') = 2'''Z''' = ker(''p'') であることは明らかである。最後に '''Z'''/2'''Z''' &rarr; 0 は '''Z'''/2'''Z''' の全ての元を 0 とする準同型で、その核は '''Z'''/2'''Z''' 全体となるが、''p'' は全射であるからこれも完全である。

一般に、考えているアーベル圏における[[零対象]]を 0 であらわすとき、
: <math>0 \to A\stackrel{f}{{}\to{}}B,\quad A\stackrel{g}{{}\to{}}B\to 0</math>
が完全であることはそれぞれ ''f'' が[[単射 (圏論)|単射]]、''g'' が[[全射 (圏論)|全射]]であることと同値である。''f'': ''A'' &rarr; ''B'' がアーベル圏の射（たとえば群の圏における群準同型、加群の圏における準同型など）であるとき
: <math>0\to \ker f \to A \stackrel{f}{{}\to{}} B\to\mathrm{coker\,}f \to 0</math>
は完全列である。

1 を単位群とし、群 ''G'' に対し、Aut(''G'') をその自己同型群、''Z''(''G'') を[[群の中心|中心]]、Inn(''G'') を内部自己同型群、Out(''G'') = Aut(''G'')/Inn(''G'') を外部自己同型群とすると
: <math>1\to Z(G)\hookrightarrow G\stackrel{\text{Ad}}{{}\to{}}\mathrm{Aut\,}G\twoheadrightarrow\mathrm{Out\,}G\to 1</math> 
なる完全列を得る。

== 短完全列 ==
特に、0 &rarr; ''A'' &rarr; B &rarr; C &rarr; 0 あるいは同じことだが
: <math>A \stackrel{f}{{}\hookrightarrow{}} B \stackrel{g}{{}\twoheadrightarrow{}} C</math>
なるかたちの完全系列を'''短完全列''' {{lang|en|(short exact sequence)}} と呼ぶ。このとき、''A'' は ''B'' の部分対象と同一視され、''C'' は商対象 ''B''/''A'' と同一視される。短完全列が分裂するあるいは分解するとは、'''切断'''あるいは'''断面''' {{lang|en|(''section'')}} と呼ばれる写像 ''s'': ''C'' &rarr; ''B'' で
:<math>g\circ s = {\rm id}_C</math>
となるものが存在することを言う。

== 長完全列 ==
[[チェイン複体]]の短完全列に[[蛇の補題]]あるいは[[ジグザグ補題]]を適用すれば、ホモロジーの間の'''長完全列'''（自然数で添え字づけられた完全列）が得られる。

== 脚注 ==
<references/>

== 関連項目 ==
* [[アーベル圏]]
* [[群の拡大]]
* [[Ext関手]]
* [[完全関手]]
* [[指数完全系列]]

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2015年10月}}
* {{Cite book |author=B.Mitchell |title=Theory of Categories |year=1965 |url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/mitchell.pdf|和書 |publisher=Academic Press}}
* {{cite book|和書|author=河田敬義|title=ホモロジー代数I,II|publisher=岩波書店|year=1977|}}
* {{Cite book|和書|author=松坂和夫 |title=集合・位相入門|year=1968|publisher=岩波書店}}
* {{Citation | author=S.MacLane <!--MacLane, Saunders-->| year=1950 |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=56 |issue=6 |pages=485-516 |publisher=American Mathematical Society |url=https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-56/issue-6/Duality-for-groups/bams/1183515045.full}}
* {{cite book|author=H.Cartan, S.Eilenberg, With an appendix by David A. Buchsbaum|title=Homological algebra|publisher=Princeton University Press|year=1956|url=http://www.math.sunysb.edu/~mmovshev/BOOKS/homologicalalgeb033541mbp.pdf}}
* {{Citation | author=D. A. Buchsbaum |year=1955 |title=Exact Categories and Duality |url=http://www.jstor.org/stable/1993003 |journal=Transactions of the American Mathematical Society |ISSN=00029947 |volume=80 |issue=1 |pages=1-34 |publisher=American Mathematical Society |doi=10.2307/1993003}}
* {{Citation | author=A.Grothendieck |year=1957| title=Sur quelques points d'algèbre homologique | url=http://matematicas.unex.es/~navarro/res/tohoku.pdf}} 英訳：[https://www.math.mcgill.ca/barr/papers/gk.pdf Some aspects of homological algebra]
* {{Citation | author=Peter Freyd |year=1964| title=Abelian Categories | url=http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3.pdf}}
* {{Cite journal|和書|author=米田信夫 |date=1955 |title=Exact categoryとそのコホモロジー理論について |url=https://doi.org/10.11429/sugaku1947.6.193 |journal=数学 |ISSN=0039470X |publisher=日本数学会 |volume=6 |issue=4 |pages=193-208 |doi=10.11429/sugaku1947.6.193}}


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