完全関係のソースを表示

{{Expand English|Connected relation|date=2024年5月}}
'''完全関係'''（[[英語|英]]: '''Total relation'''）とは、[[数学]]における[[二項関係]]の一種。[[集合]] ''X'' における二項関係 ''R'' が「完全」であるとは、''X'' に属する全ての ''a'' および ''b'' について、''aRb'' か''bRa'' が成り立つ（あるいは両方成り立つ）ことをいう。

数学的に記述すると次のようになる。
:<math>\forall a, b \in X,\ a R b \lor b R a.</math>

これには[[反射関係]]が含まれる点に注意されたい。

例えば、「- 以下」という関係は実数の集合において完全関係である。なぜなら、任意の2つの実数を選んだとき、前者が後者以下となるか、後者が前者以下となるかのどちらかが必ず成り立つからである。一方、「- 未満」は完全関係ではない。同じ数を選んだとき、両者には「- 未満」という関係は（どちらの順序でも）成り立たないためである。順序関係については、詳しくは[[順序集合]]を参照されたい。「（A は B の）真部分集合である」という関係も完全関係ではない。

完全関係について、「比較可能性; comparability」があるということもある。

[[推移関係]]が完全関係でもあるとき、[[全擬順序]]（total preorder）と呼ぶ。[[順序集合|半順序]]が完全関係でもあるとき、[[全順序]]と呼ぶ。

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