定常過程のソースを表示

{{Expand English|Stationary process|date=2024年5月}}
{{読み仮名|'''定常過程'''|ていじょうかてい|{{lang-en-short|stationary process}}}}は時間や位置によって[[確率分布]]が変化しない[[確率過程]]である。

== 概要 ==
定常過程では[[平均]]や[[分散 (確率論)|分散]]も（もしあれば）時間や位置によって変化しない。例えば、[[ホワイトノイズ]]は定常的である。しかし、[[シンバル]]を鳴らしたときの音は定常的ではなく、時間と共に音が弱まっていく。

定常性（Stationarity）は[[時系列]]の解析でも重要であり、時系列データを定常的なものに変換することがよく行われる。例えば、[[経済学|経済]]的データは季節による変動があったり、価格レベルに依存する。ある定常過程と1つ以上の過程に[[傾向推定|傾向]]（トレンド）が認められるとき、これら過程を「傾向定常的; trend stationary」であるという。このようなデータから定常的成分だけを抜き出して分析することを「傾向除去; de-trending」と呼ぶ。

[[離散信号|離散時間]]の定常過程で、標本値も離散的（とりうる値が ''N'' 個に限定されている）な場合を[[ベルヌーイ系]]（Bernoulli scheme）と呼ぶ。''N'' = 2 の場合を特に[[ベルヌーイ過程]]（Bernoulli process）と呼ぶ。

== 弱い定常性 ==
{{読み仮名|'''弱い定常性'''|よわいていじょうせい|{{lang-en-short|weak-sense stationarity}}}}は「平均と分散が時刻に依存しない」という[[確率過程]]の性質である。{{読み仮名|'''広義定常性'''|こうぎていじょうせい|{{lang-en-short|wide-sense stationarity}}}}、{{要出典範囲|{{読み仮名|'''共分散定常性'''|きょうぶんさんていじょうせい|{{lang-en-short|covariance stationarity}}}}|date=2025年2月}}とも。

弱い定常性は確率過程の各時刻における期待値が時刻に依存せず、かつ、相関関数が時間差のみに依存するという条件で定義付けられる（⇒ [[#弱い定常性の定義]]、[[#弱い定常性の解釈]]）。

弱い定常性をもつ無作為信号を[[線型性|線型]]で[[時不変系|時不変]]な（[[LTIシステム理論|LTI]]）[[フィルタ回路|フィルタ]]で処理するとき、相関関数を[[線型写像]]と考える。2つの引数の差にのみ依存するため、それは[[巡回行列|巡回]]演算子であり、その[[固有関数]]は[[フーリエ級数|フーリエ]][[指数関数|複素指数]]である。さらに、LTI演算子の[[固有関数]]も[[指数関数|複素指数]]であり、弱い定常性をもつ無作為信号のLTI処理は非常に扱いやすい。全ての計算は[[周波数領域]]で実行できる。このため、弱い定常性仮定は[[信号処理]]アルゴリズムによく使われている。[[平均]]と[[共分散]]のある狭義の定常過程も弱い定常性をもつ。

=== 弱い定常性の定義 ===
弱い定常性の定義にあたり、以下のように記号を置く：

* 時刻 <math>t</math>
* 確率過程 <math>x(t)</math>
* 平均関数 <math>m_x(t)</math> : 確率過程 <math>x(t)</math> の各時刻における期待値（=平均）
* 相関関数 <math>R_x(t_1, t_2)
</math> : 時刻 <math>t_1</math> と <math>t_2</math> のあいだの[[相関]]

弱い定常性をもつ確率過程は次の2つの条件を満たす：
:* <math>\mathbb{E}\{x(t)\} = m_x(t) = m_x(t + \tau) \,\, \forall \, \tau \in \mathbb{R}</math>
:* <math>\mathbb{E}\{x(t_1)x(t_2)\} = R_x(t_1, t_2) = R_x(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \,\, \forall \, \tau \in \mathbb{R}</math>

=== 弱い定常性の解釈 ===
弱い定常性は確率過程の平均と分散が時不変であることを意味する。

定義の第一条件は平均関数が定数であること <math>m_x(t) = \mu</math> を意味している。すなわち時刻に依らず期待値が一定である。定義の第二条件は相関関数が時間差のみに依存し時刻に依存しないことを意味している。従って弱い定常性をもつ確率過程の相関関数は時間差 <math>\tau = t_1 - t_2
</math> を用いて <math>R_x(\tau)</math> とも表記される。

{{確率論}}
{{DEFAULTSORT:ていしようかてい}}

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[[Category:確率過程]]
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