定符号二次形式のソースを表示

[[数学]]において[[実数|実]][[ベクトル空間]] ''V'' 上で定義された[[二次形式]] ''Q'' が'''定符号'''（ていふごう、{{lang-en-short|''definite''}}）であるとは、''V'' の任意の非零ベクトルに対して ''Q'' が同じ[[正の数と負の数|符号]]をもつことを言う。定符号二次形式は、至る所正となるか、または至る所負となるかに従ってさらに、'''正の定符号'''（''positive definite''; '''正値'''、'''正定値'''）または'''負の定符号'''（''negative definite''; '''負値'''、'''負定値'''）に分けられる。

'''半定符号''' (''semidefinite'') 二次形式も、至る所「正」および「負」としていたところを、至る所「負でない」および「正でない」に置き換えて、それぞれ'''半正定値'''（''positive semi-definite''; '''正半定値'''）と'''半負定値'''（''negative semi-definite''; '''負半定値'''）と定義される。正の値も負の値も取るような二次形式は'''不定符号''' (''indefinite''; '''不定値''') であると言う。

より一般に、二次形式の定符号性を[[順序体]]上のベクトル空間において考えることもできる<ref>Milnor & Husemoller (1973) p.61</ref>。

== 同伴対称双線型形式 ==
ベクトル空間 ''V'' 上の二次形式の全体と、同じ空間上の[[対称双線型形式]]の全体との間には、一対一の対応が存在する。ゆえに対称双線型形式に対しても、対応する二次形式を考えることにより、定符号性や半定符号性などを考えることができる。二次形式 {{math|''Q''}} とそれに同伴する対称双線型形式 {{math|''B''}} との間には
:<math>\begin{align}
Q(x) &= B(x,x)\\
B(x,y) &= B(y,x) = \frac{Q(x + y) - Q(x) - Q(y)}{2}
\end{align}</math>
なる関係が成り立つ。

== 例 ==
例えば {{math|1=''V'' = ℝ<sup>2</sup>}} で二次形式
:<math>Q(x)=c_1{x_1}^2+c_2{x_2}^2\quad(x = (x_1, x_2),\, c_1,c_2\in \mathbb{R})</math>
を考える。
* {{math|1=''c''<sub>1</sub> > 0}} かつ {{math|1=''c''<sub>2</sub> > 0}} のとき、この二次形式 {{math|''Q''}} は正値である。
* 係数の一方が正で他方が零のとき {{math|''Q''}} は半正値になる。
* {{math|1=''c''<sub>1</sub> > 0}} かつ {{math|1=''c''<sub>2</sub> < 0}} とすれば {{math|''Q''}} は不定符号になる。

== 関連項目 ==
* [[非等方二次形式]]
* {{仮リンク|正の定符号函数|label=正値函数|en|Positive definite function}}
* {{仮リンク|正値行列|en|Positive definite matrix}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* Nathanael Leedom Ackerman (2006) [http://math.berkeley.edu/~nate/teaching/UPenn/2006/fall/math_371/lectures/week_3/lecture_4/lecture_4.pdf Lecture notes Math 371], Positive definite bilinear form is definition 0.5.0.7, weblink from [[University of California, Berkeley]].
* {{cite book | last=Kitaoka | first=Yoshiyuki | title=Arithmetic of quadratic forms | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=106 | publisher=Cambridge University Press | year=1993 | isbn=0-521-40475-4 | zbl=0785.11021 }}
* {{Lang Algebra | edition=3r2004|page=578}}
* {{cite book | first1=J. | last1=Milnor | author1-link=John Milnor| first2=D. | last2=Husemoller | title=Symmetric Bilinear Forms | series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]] | volume=73 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1973 | isbn=3-540-06009-X | zbl=0292.10016 }}

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