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'''実二次正方行列'''（じつ2じせいほうぎょうれつ、{{lang-en-short|''{{gaps|2|×|2}} real matrix''}}; '''二行二列実行列'''）とは、[[数学]]の[[線型代数学]]において、成分が[[実数]]である {{math|2}}次[[正方行列]]のことである。

[[行列]]の演算をもつ。すなわち、{{仮リンク|行列の和|en|matrix addition}}が定義される。さらに、[[正方行列]]の演算をもつ。すなわち、[[行列の積]]が定義される。したがって、実二次正方行列全体は[[行列環]]をなし、記号で {{math|''M''(2,&thinsp;'''R''')}} と表す。

実二次正方行列
: <math>q =\begin{bmatrix}
a &b \\
c &d
\end{bmatrix}</math>
に対して[[対合]]
: <math>q^* =\begin{bmatrix}
d &-b \\
-c &a
\end{bmatrix}</math>
が定義され、
:{{math|1=''qq''* = ''q''*&thinsp;''q'' = (''ad'' &minus; ''bc'')''I''}}
が成り立つ（ここで {{mvar|I}} は {{math|2}}次[[単位行列]]、{{math|''ad'' &minus; ''bc''}} は {{mvar|q}} の[[行列式]]である）。従って {{math|''ad'' &minus; ''bc'' ≠ 0}} ならば {{mvar|q}} は[[正則行列]]で、その[[逆行列]]が
: <math>q^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\,q^*</math>
で与えられる。

正則行列全体の成す集合は[[一般線型群]] {{math|''GL''(2,&thinsp;'''R''')}} である。[[抽象代数学]]の観点からは、{{math|''GL''(2,&thinsp;'''R''')}} は実2次正方行列環 {{math|''M''(2,&thinsp;'''R''')}} に付随する加法および乗法に関して[[環 (数学)|環]]の[[単元群]]である。また {{math|''M''(2,&thinsp;'''R''')}} は実数体上[[次元 (線型代数学)|四次元]]の[[ベクトル空間]]でもあり、結局実数体上の[[結合多元環]]として理解できる。{{math|''M''(2,&thinsp;'''R''')}} は{{仮リンク|分解型四元数|en|coquaternion}}の全体と[[環同型]]になるが、その[[部分環|平面部分環]]族 (profile) は異なる。

各実{{math|2}}次正方行列 {{math|[{{subsup||{{gaps|''c''|''d''}}|{{gaps|''a''|''b''}}}}]}} は二次元の[[数ベクトル空間]]からそれ自身への[[線型写像]]
: <math>\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}ax + by \\ cx + dy\end{bmatrix}</math>
と[[全単射|一対一対応]]する。

== 平面部分環の族 ==
{{math|''M''(2, '''R''')}} 内で、[[スカラー行列]]（つまり[[単位行列]] {{mvar|I}} の任意の実数倍）の全体は[[実数直線]]と見なすことができる。この実数直線は、以下に述べる可換[[部分環]] {{mvar|P{{sub|m}}}} の全てが共有する:

{{math|''m''{{sup|2}} ∈ {{mset|&minus;''I'', 0, ''I''}}}} なる {{gaps|2|×|2}} 実行列 {{mvar|m}} に対して、「平面」{{math|1=''P{{sub|m}}'' = {{mset|''xI'' + ''ym'' | ''x'', ''y'' ∈ '''R'''}}}} と置けば、{{mvar|P{{sub|m}}}} は {{math|''M''(2,&thinsp;'''R''')}} の可換部分環で {{math|1=''M''(2, '''R''') = {{underset|''m'': ''m''{{sup|2}} ∈ {{mset|&minus;''I'', 0, ''I''}}|{{big|'''∪'''}}}} ''P{{sub|m}}''}} を満たす。ただし、和は {{math|''m''{{sup|2}} ∈ {{mset|&minus;''I'', 0, ''I''}}}} なる {{mvar|m}} すべてにわたってとる。

そのような {{mvar|m}} を同定するために、{{mvar|I}} でも {{math|0}} でもない一般の {{gaps|2|×|2}} 実行列 {{math|[{{subsup||{{gaps|''c''|''d''}}|{{gaps|''a''|''b''}}}}]}} を平方すれば
: <math>\begin{bmatrix}
aa+bc &ab+bd \\
ac+cd &bc+dd
\end{bmatrix}</math>
である。{{math|1=''a'' + ''d'' = 0}} ならばこれは[[対角行列]]となるから、上記の可換部分環を成す {{mvar|m}} を求めるに際して {{math|1=''d'' = &minus;''a''}} を仮定することができる。
{{ordered list
|1=
{{math|1=''mm'' = &minus;''I''}} となるとき、{{math|1=''bc'' = &minus;1 &minus; ''aa''}} であり、この方程式は助変数 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} の空間上の[[双曲放物面]]を記述するものである。またこのような {{mvar|m}} は[[虚数単位]]の役割を果たすから、この場合の {{mvar|P{{ind|m}}}} は通常の[[複素数]]体に同型である。
|2=
{{math|1=''mm'' = +''I''}} となるとき、{{mvar|m}} は{{仮リンク|対合行列|en|involutory matrix}}であるという。このとき {{math|1=''bc'' = +1 &minus; ''aa''}} であり、これもまた双曲放物面を与える方程式である。任意の[[冪等行列]]は、この種の適当な {{mvar|m}} に対する {{mvar|P{{ind|m}}}} に属す。またこの場合の {{mvar|P{{msub|m}}}} は[[分解型複素数]]環に[[環同型]]である。
|3=
{{math|1=''mm'' = 0}} すなわち[[冪零行列|複零]]となるとき、これは {{mvar|b, c}} の何れか一方のみが零かつ他方が非零である場合に生じる。この場合の可換部分環 {{mvar|P{{ind|m}}}} は[[二重数]]平面のコピーを含む。
}}
{{math|''M''(2, '''R''')}} に適当な[[基底変換]]を施せば、この平面部分環族は、{{mvar|I}} と {{math|&minus;''I''}} が[[双曲面]]のように対称な形をとる{{仮リンク|分解型四元数|en|split-quaternions}}の平面部分環族に書きなおすことができる。

== 等積変換行列 ==
{{main|{{仮リンク|等積変換|en|Equiareal map}}}}
まず微分ベクトルの変換
:<math>
\begin{bmatrix}du \\ dv \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p & r\\ q & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix}dx \\ dy \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}p\, dx + r\, dy \\  q\, dx + s\, dy\end{bmatrix} 
</math>
を行ったとき、[[面積]]は「密度」を込めて[[2-形式|微分 2-形式]] {{math|''dx'' ∧ ''dy''}}（楔積 {{math|∧}} は[[外積代数]]も参照）で測られるから、この変換の密度
: <math>du \wedge dv = (\det g)\ dx \wedge dy</math>
に注意すれば、等積変換の全体は行列式 {{math|1}} の行列からなる[[特殊線型群]] {{math|1=[[SL2(R)|''SL''(2, '''R''')]] = {{mset|1=''g'' ∈ ''M''(2, '''R''') {{!}} det(''g'') = 1}}}} と同一視できる。前節のごとく平面部分環族 {{mvar|P{{ind|m}}}} を取れば、各 {{math|''g'' &isin; ''SL''(2, '''R''')}} は適当な {{mvar|m}} に対する可換部分環 {{mvar|P{{ind|m}}}} に入り、また {{math|1=''gg''* = ''I''}} であるから、以下の三者択一:
{{ordered list
|1= {{math|1=''mm'' = &minus;''I''}} であり、{{mvar|g}} は[[円周]]上で定義された[[回転 (数学)|ユークリッド回転]]; 
|2= {{math|1=''mm'' = ''I''}} であり、{{mvar|g}} は[[双曲線]]上定義された{{仮リンク|圧搾変換|en|squeeze mapping}};
|3= {{math|1=''mm'' = 0}} であり、{{mvar|g}} は直線上定義された[[剪断変換]]。
}}が成り立つ。
[[アフィン群|平面アフィン群]]について {{harvtxt|Artzy|1965}} ''Linear Geometry'' は平面線型写像に関する同様の三分律に関して書いている。

== 行列変数の函数 ==
{{seealso|行列値関数}}
{{math|''M''(2, '''R''')}} の可換部分環族は、この行列環の函数論を決定する。特に三種類の平面部分環がそれぞれ持つ代数構造は、代数的な式の値を決めるものである。以下に述べるように平方根函数や対数函数を考えることは、部分平面 {{mvar|P{{ind|m}}}} の各々が持つ特別な性質に従って課される制約条件について詳らかにする。{{mvar|P{{ind|m}}}} の[[単元群]]の{{仮リンク|単位成分|en|identity component}}（単位元の属する連結成分）の概念は、各単元群における{{仮リンク|極分解|en|polar decomposition}}:
{{ordered list
|1= {{math|1=''mm'' = &minus;''I''}} ならば {{math|1=''z'' = ''ρ''&thinsp;exp(''θm'')}};
|2= {{math|1=''mm'' = 0}} ならば {{math|1=''z'' = ''ρ''&thinsp;exp(''sm'')}} または {{math|1=''z'' = &minus;''ρ''&thinsp;exp(''sm'')}}
|3= {{math|1=''mm'' = &nbsp;''I''}} ならば {{math|1=''z'' = ''ρ''&thinsp;exp(''am'')}} または {{math|1=''z'' = &minus;''ρ''&thinsp;exp(''am'')}} または {{math|1=''z'' = ''mρ''&thinsp;exp(''am'')}} または {{math|1=''z'' = &minus;''mρ''&thinsp;exp(''am'')}}
}}を導く。一つ目（複素数）の場合 {{math|1=exp(''θm'') = cos(''θ'') + ''m''sin(''θ'')}} であり、二つ目（二重数）の場合 {{math|1=exp(''sm'') = 1 + ''sm''}} である。三つ目（分解型複素数）の場合は単元群が四つの連結成分に分解され、単位成分は {{mvar|ρ}} および {{math|1=exp(''am'') = cosh(''a'') + ''m''&thinsp;sinh(''a'')}} でパラメータ付けされる。
 
ここで式の上では部分平面 {{mvar|P{{ind|m}}}} の別なく {{math|1={{sqrt|&rho;&thinsp;exp(''am'')}} := {{sqrt|&rho;}}&thinsp;exp(''am''/2)}} と「平方根函数」を定義するが、この函数の引数は {{mvar|P{{ind|m}}}} それぞれの単元群の単位成分から取るものとする（つまり、二重数平面の場合はその半分の半平面を考えず、分解型複素数平面の場合にはその3/4の部分を取り除かねばならない）。

同様に、{{math|''ρ''&thinsp;exp(''am'')}} が平面 {{mvar|P{{ind|m}}}} の単元群の単位成分の元であるときには、それを「対数函数」で写した値を {{math|log(''ρ'') + ''am''}} と定義する。対数函数の定義域は上記の平方根函数の場合と同一の制約を抱えている（つまり、{{math|1=''mm'' = 0}} または {{math|1=''mm'' = ''I''}} のそれぞれの場合において {{mvar|P{{ind|m}}}} の半分または3/4を除外しなければならない）。

更なる函数論の詳細については、[[複素函数論]]（複素変数の場合）および{{仮リンク|分解型複素変数|en|motor variable|label=分解型複素函数論}}（分解型複素変数の場合）を参照せよ。

== 実数体の二次拡大環として ==
{{main|二元数}}
各 {{gaps|2|×|2}} 実行列は三種類の一般化された複素数<ref>Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) [http://people.rit.edu/harkin/research/articles/generalized_complex_numbers.pdf Geometry of Generalized Complex Numbers], [[Mathematics Magazine]] 77(2):118–29</ref>（つまり、通常の[[複素数]]、[[二重数]]、[[分解型複素数]]）のひとつとして解釈できる。上述のように、二次の実正方行列環は、これら一般化された複素数平面の（同じ実軸を共有する）合併として記述され、各平面 {{mvar|P{{ind|m}}}} は各々[[可換環|可換]][[部分環]]として表されるのであった。以下に示すように、任意に与えられた二次正方行列が、どの一般化複素平面に属するのかを決定して、平面を表す一般化複素数の種類を分類することができる。

以下、与えられた二次正方行列
: <math> z = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>
に対して {{mvar|z}} を含む平面 {{mvar|P{{ind|m}}}} を決定する。

先に述べたように、行列 {{mvar|z}} の平方が対角行列となるのは {{math|1=''a'' + ''d'' = 0}} のときであるから、行列 {{mvar|z}} は[[単位行列]] {{mvar|I}} の実数倍と[[超平面]] {{math|1=''a'' + ''d'' = 0}} に属する行列との和に表されなければならない。{{mvar|z}} を {{math|'''R'''{{msup|4}}}} のこれら部分空間へ[[射影作用素|射影]]したものを考えれば
: <math> z = x I + n ,\quad(x = \frac{a + d}{2}, \quad n = z - x I)</math>
と書けて、
: <math>n^2=pI \quad(p=\frac{(a-d)^2}{4}+bc)</math>
を得る。これにより {{mvar|z}} に関する三分律を得る。
{{ordered list
|1= {{math|''p'' < 0}} のとき、{{mvar|z}} は通常の[[複素数]]:
: {{math|1=''q'' := 1/{{sqrt|&minus;''p''}}, ''m'' := ''qn''}} と置けば、{{math|1=''m''{{exp|2}} = &minus;''I''}} で {{math|1=''z'' = ''xI'' + ''m''{{sqrt|&minus;''p''}}}}.
|2= {{math|1=''p'' = 0}} のとき、{{mvar|z}} は[[二重数]]: {{math|1=''z'' = ''xI'' + ''n''}}. 
|3= {{math|''p'' > 0}} のとき、{{mvar|z}} は[[分解型複素数]]:
: {{math|1=''q'' := 1/{{sqrt|''p''}}, ''m'' := ''qn''}} と置けば、{{math|1=''m''{{exp|2}} = +''I''}} で {{math|1=''z'' = ''xI'' + ''m''{{sqrt|''p''}}}}.
}}

同様に、{{gaps|2|×|2}} 行列を（先述の極分解によって）極座標で表すことができる（無論、二重数の場合に連結成分が二つ存在すること、および分解型四元数の場合に連結成分が四つ存在することに注意せねばならない）。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* Rafael Artzy (1965) ''Linear Geometry'', Chapter 2-6 Subgroups of the Plane Affine Group over the Real Field, p.&nbsp;94, [[Addison-Wesley]].
* Helmut Karzel & Gunter Kist (1985) "Kinematic Algebras and their Geometries", found in
** ''Rings and Geometry'', R. Kaya, P. Plaumann, and K. Strambach editors, pp.&nbsp;437–509, esp 449,50, [[D. Reidel]] ISBN 90-277-2112-2 .
* Svetlana Katok (1992) ''Fuchsian groups'', pp.&nbsp;113ff, [[University of Chicago Press]] ISBN 0-226-42582-7 .
* {{cite book|author=Garret Sobczyk|title=New Foundations in Mathematics: The Geometric Concept of Number|year=2012|publisher=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-8384-9|chapter=Chapter 2: Complex and Hyperbolic Numbers}}

{{DEFAULTSORT:しつにしせいほうきようれつ}}
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[[Category:線型代数学]]
[[Category:超複素数系]]
[[Category:多元環]]
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[[Category:行列]]
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