実効値のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年1月6日 (金) 11:27 (UTC)}}
[[File:Sine voltage.svg|thumb|正弦波。③が実効値]]
'''実効値'''（じっこうち、{{lang-en|effective value, root mean square value, '''RMS'''}}）は、[[交流]]の[[電圧]]又は[[電流]]の表現方法の一種である。ある[[電気抵抗]]に[[交流]]電圧を加えた場合の1周期における平均[[電力]]と、同じ抵抗に[[直流]]電圧を加えた場合の電力が、互いに等しくなるときに、この交流電圧と交流電流の実効値はそれぞれ,、その直流電圧と直流電流と同じ値であると定義される。交流電力の計算に使用される電圧・電流は、通常は実効値で表示される。

[[音]]（[[音波]]）に関する物理量の計算や表現においても、値が時間的に正負の間を変動する量の変動の大きさの実際を表すために、瞬時値の[[二乗平均平方根|2乗平均の平方根]]（RMS; [[:en:root mean square|root mean square]]の頭文字）で表される実効値が一般に用いられる。例えば[[音圧]]では、ある時間内の瞬時音圧のRMSとして算定される実効音圧（音圧の実効値）を指して一般に音圧という。平均をとる時間については音波の周期の整数倍もしくは周期に対して充分に長い時間をとる<ref name="建築音響p9">{{cite|和書|author=阪上公博|title=建築音響|year=2019|publisher=コロナ社|isbn=978-4-339-01363-4|page=9}}</ref><ref name="機械音響工学p13">{{cite|和書|author=大野進一|author2=山崎徹|title=機械音響工学|publisher=森北出版|year=2010|isbn=978-4-627-66751-8|page=13}}</ref>。（→「[[音圧#音圧の実効値]]」を参照。）

== 正弦交流の最大値との関係 ==
''t'' を時刻とする。[[電気抵抗]]を ''R'' [&Omega;]、その両端に加える電圧の瞬時値を ''v''(''t'') [V]、その最大値（振幅）を ''V<sub>m</sub>'' [V]、実効値を ''V<sub>e</sub>'' [V]、流れる電流の瞬時値を ''i''(''t'') [A]、その最大値を ''I''<sub>m</sub> [A]、実効値を ''I''<sub>e</sub> [A]、[[電力#有効電力 (effective power)|電力]]の瞬時値を ''P''(''t'') [W]、その平均値を ''P<sub>R</sub>'' (W)、[[交流]]の[[角速度]]（角振動数または角周波数）を ''&omega;'' [rad/s]、周期を ''T'' [s]とする。これらの定義より,

:<math>\begin{align}
i(t) &= I_{\mathrm{m}} \sin \omega t \\
v(t) &= V_{\mathrm{m}} \sin \omega t
\end{align}</math>

これらを[[オームの法則]]<math>v(t) = R i(t)</math>に代入すると, <math>V_{\mathrm{m}} = R I_{\mathrm{m}}</math>を得る。

また, 電力は電流と電圧の積であるから,
<math>P(t) = i(t) v(t) = I_{\mathrm{m}} V_{\mathrm{m}} \sin^2 \omega t = R {I_{\mathrm{m}}}^2 \sin^2 \omega t = \frac{1}{2} R {I_{\mathrm{m}}}^2 (1 - \cos 2 \omega t)</math>
となる。

この''P''(''t'') は[[周期関数]]であるので、1[[周期]]にわたって[[積分]]し周期 ''T'' で割れば平均電力が求まる:

:<math> P_R = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} R {I_{\mathrm{m}}}^2 (1 - \cos 2 \omega t) dt = \frac{R {I_{\mathrm{m}}}^2}{2T}\left[t - \frac{1}{2 \omega}\sin 2 \omega t\right]_0^T = R\left(\frac{I_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{R} \left(\frac{V_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\right)^2</math>

よって、実効値と最大値の関係は次のようになる。
{{Indent|
<math>V_{\mathrm{e}} = V_{\mathrm{m}} / \sqrt{2}</math><br />
<math>I_{\mathrm{e}} = I_{\mathrm{m}} / \sqrt{2}</math>
}}
また、最大値/実効値を波高率という。

== 正弦交流の平均値と実効値の関係 ==
正弦交流の電圧と電流のそれぞれについて, 絶対値の平均を「正弦交流の平均値」という。それぞれを''V''<sub>av</sub> [V], ''I''<sub>av</sub> [A]とする。これらは,電流や電圧の値が正である範囲の半周期にわたってそれぞれを積分し, 半周期 ''T''/2 で割れば求まる:

{{Indent|<math> V_{\mathrm{av}} = \frac{2 V_{\mathrm{m}}}{T}\int_0^{T/2} \sin \omega t dt = \frac{2 V_{\mathrm{m}}}{\omega T}\left[- \cos \omega t\right]_0^{T/2}</math>}}

''ωT''/2 = ''π''であるので、次のようになる。

{{Indent|<math> V_{\mathrm{av}} = \frac{2 V_{\mathrm{m}}}{\pi} =\frac{2\sqrt{2} V_{\mathrm{e}}}{\pi} </math>}}

また、電流は次のようになる。

{{Indent|<math> I_{\mathrm{av}} = \frac{2 I_{\mathrm{m}}}{\pi} =\frac{2\sqrt{2} I_{\mathrm{e}}}{\pi} </math>}}

また、実効値/平均値を波形率という。

== 非正弦波交流の実効値 ==
一般的な周期的電流波形 <math>i(t) </math> [A] の実効値 <math> I_{\mathrm{rms}} </math> [A]を、

「瞬時値　<math> i(t) </math>　を2乗して 平均した値の 平方根(root mean square)」と定義する。

平均は、1[[周期]]にわたって[[積分]]して周期 ''T'' で割った値なので、次式<math> I_{\mathrm{rms}} </math>が実効値となる。

{{Indent|<math> I_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{T} i(t)^2 dt }</math>}}

== 真の実効値表示 ==

交流電圧計、交流電流計は、正弦交流では実効値を表示する。しかし厳格には、
平均値の定数倍
{{Indent|<math> \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} I_{\mathrm{av}} = \frac{\pi}{2 \sqrt{2}}  \frac{1}{T}\int_0^{T} |i(t)| dt </math>}}
を表示するタイプと、
真の実効値<math> I_{\mathrm{rms}} </math>を表示するタイプがある。正弦交流を計測する場合、
これらは一致するので、区別する必要はない(一致するよう、平均値を定数倍している)。
しかし、非正弦波交流を計測する場合、表示された値がどちらの意味かを区別する必要がある。

アナログ電圧計、電流計では、整流器形は平均値指示、可動鉄片形は真の実効値指示である。
デジタル電圧計、電流計では「真の実効値表示」ができる機種で、特に明記することが多い。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
*[[二乗平均平方根]]
*[[交流]] / 三相交流 - [[単相交流]] - [[交流回路]]
*[[電力]] - [[電力#有効電力 (effective power)|有効電力]]・[[電力#無効電力 (reactive power)|無効電力]]・[[電力#皮相電力|皮相電力]]
*[[電圧]]
*[[電流]]

{{DEFAULTSORT:しつこうち}}
[[Category:電気工学]]
[[Category:電磁気学]]
[[Category:電気理論]]
[[Category:無線工学]]