実効記述集合論のソースを表示

'''実効記述集合論'''（じっこうきじゅつしゅうごうろん、''Effective descriptive set theory''）は[[記述集合論]]で[[細字]]の定義をもつ[[集合]]や[[実数]]を扱う分野である; それはすなわち、定義にいかなる実数パラメータも要さないものである (Moschovakis 1980)。つまり実効記述集合論は、記述集合論と[[再帰理論]]を組み合わせたものである。

==構成==
===実効ポーランド空間===
{{main|実効ポーランド空間}}

'''実効ポーランド空間'''とは計算可能な表現([[:en:computable presentation]])を持つ[[完備距離空間|完備]][[可分空間|可分]][[距離空間]]のことである。このような空間は、実効記述集合論と[[構成的解析学]]の両方で研究されている。 特に、[[実数直線]]、[[カントール集合]]、[[ベール空間 (集合論)|ベール空間]]などのポーランド空間の標準的な例は全て実効ポーランド空間である。

===算術的階層===
{{main|算術的階層}}
[[算術的階層]]、または[[スティーヴン・コール・クリーネ|クリーネ]]-[[アンジェイ・モストフスキ|モストフスキ]]階層は、ある[[集合]]を、それらを定義する式の複雑さに基づいて分類する。そのような分類を受けた集合は「算術的」と呼ばれる。

より正式には、算術的階層は[[ペアノの公理|一階算術]]の言語における論理式に分類を割り当てる。分類は自然数''n''（0を含む）に対して<math>\Sigma^0_n</math>と<math>\Pi^0_n</math>と表される。ここでのギリシャ文字は[[細字]]記号であり、論理式に集合パラメータが含まれていないことを意味する。

論理式 <math>\phi</math> が[[有界量化子]]のみを持つ論理式に[[論理的に同値]]であるとき <math>\phi</math> は分類 <math>\Sigma^0_0</math> と <math>\Pi^0_0</math> を両方割り当てる。

0より大きい各自然数 ''n'' に対する <math>\Sigma^0_n</math>, <math>\Pi^0_n</math> は次のように帰納的に定義される:
*<math>\phi</math> が <math>\exists n_1 \exists n_2\cdots \exists n_k \psi</math>（ただし、<math>\psi</math> は <math>\Pi^0_n</math> 式）の形の式と論理的に同値であるとき、<math>\phi</math> には分類 <math>\Sigma^0_{n+1}</math> を割り当てる。
*<math>\phi</math> が <math>\forall n_1 \forall n_2\cdots \forall n_k \psi</math>（ただし、<math>\psi</math> は <math>\Sigma^0_n</math> 式）の形の式と論理的に同値であるとき、<math>\phi</math> には分類 <math>\Pi^0_{n+1}</math> を割り当てる。

==参考文献==
* {{cite book | title = Recursive Aspects of Descriptive Set Theory | last1 = Mansfield | first1 = Richard | last2 = Weitkamp | first2 = Galen | publisher = Oxford University Press | year = 1985 | pages = [https://archive.org/details/recursiveaspects0000mans/page/124 124–38] | mr = 786122 | isbn = 978-0-19-503602-2 | url = https://archive.org/details/recursiveaspects0000mans/page/124 }}
* {{cite book | authorlink=Yiannis N. Moschovakis | author=Moschovakis, Yiannis N. | title=Descriptive Set Theory | url=https://archive.org/details/descriptivesetth0000mosc | url-access=registration | publisher=North Holland | year=1980 |isbn=0-444-70199-0}} [https://www.math.ucla.edu/~ynm/books.htm Second edition available online]

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[[Category:実効記述集合論]]
{{settheory-stub|date=November 2005}}
[[Category:数学に関する記事]]