実数の連続性のソースを表示

{{参照方法|date=2019年6月7日 (金) 14:29 (UTC)}}
'''実数の連続性'''（じっすうのれんぞくせい、continuity of real numbers）とは、[[実数]]の[[集合]]がもつ性質である。[[有理数]]はこの性質を持たない。

実数の連続性は、'''実数の完備性''' ([[:en:completeness of the real numbers|completeness of the real numbers]]) とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば'''実数の公理'''と記述する場合もある。

なお、ここで言う連続性は、[[連続 (数学)|関数の連続性]]とは別の概念である。

== 実数の連続性と同値な命題 ==
実数の連続性と同値な命題は多数存在する。[[順序体]]（位相は[[順序位相]]を入れる）において、実数の公理は
#[[#デデキントの公理|デデキントの公理]]
#[[#上限性質|上限性質]]を持つ
#[[有界]][[単調収束定理#単調実数列の収束|単調数列の収束定理]]
#[[アルキメデスの性質|アルキメデス性]]と[[区間縮小法の原理]]を満たす
#[[ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理]]
#次の２条件を満たす
#*[[アルキメデス性]]を持つ
#*[[コーシー列#実数におけるコーシー列|コーシー列]]は収束する
#[[中間値の定理]]
#[[最大値の定理]]
#[[ロルの定理]]
#[[平均値の定理#ラグランジュの平均値の定理|ラグランジュの平均値の定理]]
#[[平均値の定理#コーシーの平均値の定理|コーシーの平均値の定理]]
#[[ハイネ・ボレルの定理]]
と同値である。

[[赤摂也]]『実数論講義』 には、これらの命題を含めて22個の同値な命題とその証明が記されている。

== デデキントの公理 ==
{{main|デデキント切断}}
* (A,B)を実数の集合<math>\mathbb{R}</math>の[[デデキント切断|切断]]とすれば、Aに最大元があってBに最小元がないか、Bに最小元があってAに最大元がないかのいずれかである。

[[リヒャルト・デーデキント]]が提示した。

== 上限性質 ==
* <math>\mathbb{R}</math>は上限性質 (least upper bound property) をもつ。つまり、<math>\mathbb{R}</math>の空でない上に[[有界]]な部分集合は[[順序集合#順序集合の例|上限]]を持つ。
これは[[双対性]]の原理から次と同値である。
* <math>\mathbb{R}</math>は下限性質 (greatest lower bound property) をもつ。つまり、<math>\mathbb{R}</math>の空でない下に有界な部分集合は下限を持つ。
これらの上限性質をもつ（つまり、下限性質をもつ）ことを[[カール・ワイエルシュトラス|ワイエルシュトラス]]の公理を満たすともいう。

== 有界単調数列の収束定理 ==
上に有界な単調増加数列は収束する。同様に、下に有界な単調減少数列は収束する。

== 関連項目 ==
* [[実数]]
* [[有理数]]
* [[無理数]]
* [[デデキント切断]]
* [[完備性]]
* [[順序体]]
* [[アルキメデス性]]
* [[線型連続体]]

== 参考文献 ==
{{No footnotes|date=2019年6月7日 (金) 14:29 (UTC)|section=1}}
*{{Cite book|和書|author=赤摂也|authorlink=赤摂也|title=実数論講義|publisher=SEG出版|isbn=978-4872430455}}
**上記の命題が同値であることの証明が書かれている。
*{{Cite book|和書|author=斎藤正彦|authorlink=斎藤正彦|title=数学の基礎|publisher=東京大学出版会|isbn=978-4130629096}}
*{{Cite book|和書|author=松坂和夫|authorlink=松坂和夫|title=代数系入門|publisher=岩波書店|isbn=4000056344}}
** 第六章において詳しい

== 外部リンク ==
*[https://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Number/RealNumber.htm 実数の定義] 数学についてのWebノート
*[https://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Number/RealNumberDedekindAxiomContinuity.htm デデキントの連続性公理] 同上
*[https://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Limit/LimitOfSequence/Theorem2.htm#ThrBoundedMonotonusSqcConverge 単調有界数列の収束定理] 同上

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{{DEFAULTSORT:しつすうのれんそくせい}}
[[Category:公理]]
[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]