実閉体のソースを表示

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[[数学]]における'''実閉体'''（じつへいたい、{{lang-en-short|''real closed field''}}）は[[実数]]体と一階の性質が同じである[[可換体|体]]を言う。実数体、実代数的数体、[[超実数]]体などがその例を与える。

== 定義 ==
与えられた体 {{mvar|F}} が実閉体であるとは、以下のたがいに同値な条件の何れか、したがって全部を満足するときに言う:

# {{mvar|F}} は実数の全体と{{ill2|初等同値|en|elementarily equivalent}}である。別な言い方をすれば、実数体と同じ一階の性質を持つこと、つまり一階言語で書ける任意の文が {{mvar|F}} において真となるための必要十分条件はそれが実数体において真となることである。(代数型 (signature) の選択は重要でない)
# {{mvar|F}} 上の[[全順序]]が存在して {{mvar|F}} は[[順序体]]となり、かつその順序に関する {{mvar|F}} の任意の正元が {{mvar|F}} 内に平方根を持つこと、および任意の[[多項式の次数|奇数次]] {{mvar|F}}-係数[[多項式]]が少なくとも一つの[[多項式の根|根]]を {{mvar|F}} 内に持つことが真である。
# {{mvar|F}} は[[形式的に実|実体]]であって、任意の奇数次 {{mvar|F}}-係数多項式が {{mvar|F}} 内に少なくと一つの根を持ち、かつ各 {{math|''a'' ∈ ''F''}} に対して適当な {{math|''b'' ∈ ''F''}} が存在して {{math|1=''a'' = ''b''{{exp|2}}}} または {{math|1=''a'' = −''b''{{exp|2}}}} が成り立つ。
# {{mvar|F}} は[[代数閉体|代数閉]]でないがその代数閉包は[[有限次拡大]]として得られる。
# {{mvar|F}} は代数閉でないが[[拡大体]] {{math|''F''({{sqrt|&minus;1}})}} は代数閉である。
# {{mvar|F}} の[[順序体|順序付け]]で {{mvar|F}} の真の[[代数拡大]]上の如何なる順序付けにも延長することができないものが存在する。
# {{mvar|F}} は実体であって、かつその真の代数拡大で形式的に実となる体は存在しない。(すなわち、そのような体は代数閉包において形式的に実という性質に関して極大なものである) 
# {{mvar|F}} 上の適当な順序付けが存在して {{mvar|F}} は順序体となり、かつその順序に関する意味で {{mvar|F}} 上の次数 {{math|≥ 0}} なる任意の多項式に対して[[中間値の定理]]が満足される。
# {{mvar|F}} は{{ill2|実閉環|en|real closed ring}}である。

[[順序体]]に対する'''{{vanc|アルティン–シュライヤーの定理}}'''は、1926年に[[エミール・アルティン]]および{{ill2|オットー・シュライヤー|en|Otto Schreier}}が証明したことに名を因む。
; 定理 (Artin&ndash;Schreier){{sfn|Rajwade|1993|pp=222–223}}
: {{mvar|F}} が順序体ならば、{{mvar|F}} の'''実閉包'''と呼ばれる代数拡大体 {{mvar|K}} が存在して、{{mvar|K}} は実閉体かつ {{mvar|F}} の順序の延長となる適当な順序に関して順序体となり、かつそのような {{mvar|K}} は {{mvar|F}} 上自明となる体の[[同型を除いて]]一意である。
{{efn|実閉体の間の任意の[[環準同型]]は自動的に[[順序同型|順序を保つ]]ことに注意せよ。なんとなれば {{math|1=''x'' ≤ ''y'' [[必要十分条件|⇔]] ∃''z'' s.t. ''y'' = ''x'' + ''z''{{exp|2}}}} と書けるから}} 例えば、有理数全体の成す順序体の実閉包は実[[代数的数]]体 {{math|'''R'''{{sub|alg}}}} である。

順序体 {{math|(''F'',''P'')}} と {{mvar|F}} の[[ガロワ拡大]] {{mvar|E}} に対し、{{mvar|E}} の部分体 {{mvar|M}} と {{mvar|P}} の延長となる {{mvar|M}} 上の順序 {{mvar|Q}} からなる拡大順序体 {{math|(''M'', ''Q'')}} で包含関係に関して極大なものが（[[ツォルンの補題]]を適用することにより）存在する。この順序体 {{math|(''M'', ''Q'')}}（あるいは短く {{mvar|M}}）は {{math|(''F'', ''P'')}}（あるいは短く {{mvar|F}}）の {{mvar|E}} における'''（相対）実閉包'''と呼ぶ。{{mvar|M}} がちょうど {{mvar|F}} に一致するとき、{{math|(''F'',''P'')}} は {{mvar|E}} に'''対して実閉'''であるという。また {{mvar|E}} が {{mvar|F}} の[[代数閉包]]のとき、{{mvar|E}} における {{mvar|F}} の相対実閉包は、実際に上で述べたところの {{mvar|F}} の実閉包となる{{sfn|Efrat|2006|p=177}}。

{{mvar|F}} が単に体である（体の演算と両立する順序の存在も仮定しないし、{{mvar|F}} が順序付け可能とも仮定しない）ときでも、やはり {{mvar|F}} は実閉包（それはもはや体ではないかもしれない）を持ち、それは{{ill2|実閉環|en|real closed ring}}として得られる。例えば、[[二次体]] {{math|'''Q'''({{sqrt|2}})}} の実閉包は、実閉環 {{math|'''R'''{{sub|alg}} × '''R'''{{sub|alg}}}} である（{{math|'''R'''{{sub|alg}}}} のコピーが二つあるのは、{{math|'''Q'''({{sqrt|2}})}} の二つの順序付けに対応している）。他方、{{math|'''Q'''({{sqrt|2}})}} を {{mathbf|R}} の部分順序体と考えるときの、その実閉包はふたたび {{math|'''R'''{{sub|alg}}}} となる。

== モデル理論: 決定可能性および量限定子消去 ==
実閉体の理論は初めは代数学の中で発展したものだけれども、重要な示唆は[[モデル理論]]からもたらされた。[[順序体]]の公理系に
* 任意の正元が平方根を持つことを要請する公理
* 任意の奇数次多項式が少なくとも一つの根を持つことを要請する公理図式
を加えることにより、[[一階述語論理|一階の理論]]が得られる。{{harvtxt|Tarski|1951}} は、{{ill2|半順序環|en|partially ordered ring}}に関する一階の言語（[[二項述語]]記号 "{{math|1==}}", "{{math|≤}}", 加法、減法、乗法の演算および定数記号 {{math|0, 1}} からなる）において、実閉体の理論が {{ill2|量限定子消去|en|elimination of quantifiers}}を許すことを示した。このことのもっとも重要なモデル理論的帰結は、実閉体の理論が{{ill2|完全理論|en|Complete theory|label=完全}}、{{ill2|o極小理論|en|o-minimal theory|label=o-極小}}かつ[[決定可能性|決定可能]]なることである。

決定可能性が意味するのは少なくとも一つの[[決定手順]]が存在すること、すなわち実閉体に関する一階言語で書かれた文が真であるかどうかを決定するための[[well-defined]]なアルゴリズムが存在することである。[[ユークリッド幾何学]]（角度の決定可能性は除く）もまた実体の公理のモデルであって<ref>{{nlab|id=Euclidean+geometry#TarskiAxioms|title=Euclidean geometry#TarskiAxioms}}</ref>、したがって決定可能である。

この決定手順が「実用的」であるかは問わない。実閉体に対する決定手順は何れも[[計算量]]が極めて大きいことが知られているから、非常に単純な問題を除けば実際の実行時間は極めて長くなりうる。

タルスキーのアルゴリズムは{{ill2|量限定子消去|en|quantifier elimination}}が複雑性クラス {{ill2|NONELEMENTARY|en|NONELEMENTARY}} に属する可能性を示唆している。つまり、問題の大きさを {{mvar|n}} とするとき、アルゴリズムの実行時間を上から評価するような冪の塔 <math display="inline">2^{2^{\,\cdot^{\,\cdot^{\,\cdot^{\,n}}}}}</math> は存在しない。{{harvtxt|Davenport|Heintz|1988}} は量限定子消去が実は（少なくとも）[[二重指数函数|二重指数的]]であることを示した。つまり、[[ランダウの記法|{{math|Ω}} 漸近記法]]を用いれば、{{mvar|n}} 個の量限定子を持つ式の族 {{math|Φ{{sub|n}}}} で長さ {{math|''O''(''n'')}} のものと一定の次数が存在して、{{math|Φ{{sub|n}}}} に同値な量限定子を持たない任意の式が次数 {{math|2{{exp|2{{exp|Ω(''n'')}}}}}} かつ長さ {{math|2{{exp|2{{exp|Ω(''n'')}}}}}} の多項式を必ず含む。{{harvtxt|Ben-Or|Kozen|Reif|1986}} は実閉体の理論が [[EXPSPACE]] において（したがって二重指数時間で）決定可能であることを示した。

Basu and [[Marie-Françoise Roy|Roy]] (1996){{full|date=2017年7月}} は {{math|∃''x''{{sub|1}}, …, ∃''x{{sub|k}}''; ''P''{{sub|1}}(''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|k}}'') ⋈ 0 ∧ ⋯ ∧ ''P{{sub|s}}''(''x''{{sub|1}}, …, ''x{{sub|k}}'') ⋈ 0}} なる式（ただし、{{math|⋈}} は {{math2|"<", ">", "{{=}}"}} の何れか）が真かを決定するためのよく振る舞うアルゴリズムで、算術演算 {{math|''s''{{sup|''k''+1}}''d''{{sup|''O''(''k'')}}}} の複雑性に属するものが存在することを示した。実は{{ill2|実数の存在理論|en|existential theory of the reals}}は [[PSPACE]] で決定できる。

追加の函数記号（例えば正弦函数 {{math|sin}} や指数函数 {{math|exp}}）を加えて、{{ill2|実数の一階理論の決定可能性|en|Decidability of first-order theories of the real numbers|label=理論の決定可能性を変更}}することができる。

まだほかにも、実閉体の重要なモデル理論的性質として、それが{{ill2|弱o極小構造|en|weakly o-minimal structure|label=弱 o-極小構造}}を持つことが挙げられる。逆に、任意の弱 o-極小順序体は実閉でなければならない{{sfn|Macpherson|Marker|Steinhorn|1998}}。

== 順序論的性質 ==
実数体の著しく重要な性質は、それが[[アルキメデス体]]であること、つまり任意の実数に対して[[絶対値]]がそれより大きい整数が存在するというアルキメデスの性質をもつことである。任意の実数に対してそれよりも大きい整数と小さい整数の両方が存在する、と言っても同じことである。アルキメデス的でない実閉体は[[非アルキメデス順序体]]である。例えば、[[超実数]]からなる任意の体は実閉かつ非アルキメデスである。

アルキメデスの性質は[[共終数]]の概念と関係がある。順序集合 {{mvar|F}} に含まれる集合 {{mvar|X}} が {{mvar|F}} において共終であるとは、各 {{math|''y'' ∈ ''F''}} に対し {{math|''x'' ∈ ''X''}} が存在して {{math|''y'' < ''x''}} となることである。つまり、{{mvar|X}} は {{mvar|F}} における非有界列を成す。{{mvar|F}} の共終数は、最小の共終集合の大きさ（つまり、非有界列を与えることのできる集合の最小濃度）である。例えば自然数は実数全体の成す順序集合において共終であり、したがって実数体の共終数は {{math|ℵ{{sub|0}}}} である。

いま実閉体 {{mvar|F}} の特質を定義する不変量として「{{mvar|F}} の[[濃度 (数学)|濃度]]」と「{{mvar|F}} の共終数」を得た。これに加えて「{{mvar|F}} の重み (weight)」は {{mvar|F}} の[[稠密部分集合]]の大きさの最小値で与えられる。これら三種の基数は、任意の実閉体の順序に関する性質の多くを教えてくれるが、それがどのようなものであるかを発見するのは難しいかもしれない（特に[[連続体仮説|一般化連続体仮説]]を含めない場合には）。成り立つかもしれないし成り立たないかもしれない特定の性質も存在する:
* 体 {{mvar|F}} が'''完備''' (complete) であるとは、{{mvar|F}} を真に含む順序体 {{mvar|K}} で {{mvar|F}} が {{mvar|K}} において稠密となるようなものが存在しないときに言う。{{mvar|F}} の共終数が {{mvar|κ}} のとき、この完備性は {{mvar|κ}} で添字付けられるコーシー列が {{mvar|F}} において収束することと同値である。
* 順序体 {{mvar|F}} が順序数 {{mvar|α}} に対する {{ill2|η集合|en|eta set}}性質 {{mvar|η{{sub|α}}}} を持つとは、{{mvar|F}} の {{mvar|ℵ{{sub|α}}}} より小さい濃度を持つ二つの部分集合 {{mvar|''L'', ''U''}} で {{mvar|L}} の任意の元が {{mvar|U}} の任意の元よりも小さいようなものが任意に与えられたとき、{{mvar|L}} の任意の元より大きくかつ {{mvar|U}} の任意の元より小さい {{math|''x'' ∈ ''F''}} が存在するときに言う。これは{{ill2|飽和モデル|en|saturated model}}であるというモデル理論的性質に近しい関係がある。つまり、任意の二つの実閉体が {{mvar|η{{sub|α}}}} となるための必要十分条件は、それらが {{mvar|ℵ{{sub|α}}}}-飽和となることであり、またさらに言えば二つの {{mvar|η{{sub|α}}}} 実閉体はそれらがともに濃度 {{mvar|ℵ{{sub|α}}}} ならば互いに順序同型である。

== 一般化連続体仮説 ==
実閉体の特徴付けは[[連続体仮説|一般化連続体仮説]]を仮定することを受け入れるならば非常に簡単になる。連続体仮説が満足されるならば、連続体濃度と {{math|''η''{{sub|1}}}}-性質を持つ任意の実閉体は、互いに順序同型である。この意味で一意な実閉体 {{mvar|F}} は[[超積|超冪]]の意味で {{math|'''R'''{{exp|'''N'''}}/'''M'''}} と定義できる（ただし、{{mathbf|M}} は {{mathbf|R}} に順序同型な体を導かない極大イデアルとする）。これが[[超準解析]]においてもっとも一般的に用いられる[[超実数]]体であり、その一意性は連続体仮説に同値である。{{efn|連続体仮説を仮定しない場合でさえ、連続体の濃度が {{math|ℵ{{sub|β}}}} ならば、大きさが {{mvar|η{{sub|β}}}} の {{mvar|η{{sub|β}}}}-体は一意であると言うことはできる。}}

さらに言えば、{{mvar|F}} の構成に超冪が必要というわけでもなく、より構成的に、濃度 {{math|''ℵ''{{sub|1}}}} の {{math|''η''{{sub|1}}}}-群となる全順序可除アーベル群 {{mvar|G}} 上の[[形式冪級数]]体 {{math|'''R'''((''G''))}} の、可算個の例外を除く全ての項が零であるような級数全体の成す部分体として構成することもできる{{sfn|Alling|1962}}。

しかしこの {{mvar|F}} は完備体ではなく、またそれに完備化を施して得られる体 {{mvar|K}} は濃度がより大きいものとなる。{{mvar|F}} が連続体濃度（いま仮定によりそれは {{math|''ℵ''{{sub|1}}}} である）を持てば、その完備化 {{mvar|K}} は濃度 {{math|''ℵ''{{sub|2}}}} で {{mvar|F}} を稠密部分体として含む。これは超冪のでないとはいえ、やはりこれは「超実体」であり、したがって超準解析で用いるに適した体である。これは実数体の高次元版とみることもできる。つまり、濃度が {{math|''ℵ''{{sub|1}}}} でなく {{math|''ℵ''{{sub|2}}}} で、共終数が {{math|''ℵ''{{sub|0}}}} でなく {{math|''ℵ''{{sub|1}}}} で、重みが {{math|''ℵ''{{sub|0}}}} でなく {{math|''ℵ''{{sub|1}}}} であり、{{math|''η''{{sub|0}}}}-性質（これは単に任意の二実数の間に別の実数が存在することを言うもの）の代わりに {{math|''η''{{sub|1}}}}- 性質を満たす。

== 例 ==
{{vanc|実閉体の例}}には以下のようなものが挙げられる:
* 実[[代数的数]]体
* [[計算可能数]]体
* [[定義可能実数]]体
* [[実数]]体
* [[準超実体|準超実数体]]{{sfn|Dales||Woodin|1996}}
* [[超実数]]体
* 実係数{{ill2|ピュイズー級数|en|Puiseux series}}体

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{citation | title= On the existence of real-closed fields that are η<sub>α</sub>-sets of power ℵ<sub>α</sub>. | first= Norman L. | last= Alling | journal= Trans. Amer. Math. Soc. | volume= 103 | year= 1962 | pages= 341–352 | mr= 0146089|doi=10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X | ref= harv}}
* {{citation | first1= Michael | last1= Ben-Or | first2= Dexter | last2= Kozen | first3= John | last3= Reif | url= http://www.cs.duke.edu/~reif/paper/benor/realclosed.pdf | title= The complexity of elementary algebra and geometry | journal= Journal of Computer and Systems Sciences | volume= 32 | year= 1986 | issue= 2 | pases= 251–264 | ref= harv}}.
* {{citation | last1= Dales | first1= H. G. | first2= W. Hugh | last2= Woodin | author2-link = W. Hugh Woodin | year= 1996 | title= ''Super-Real Fields'' | publisher= Oxford Univ. Press. | ref= harv}}
* {{cite journal | last1=Davenport | first1=James H. | author1-link=James H. Davenport | last2=Heintz | first2=Joos | title=Real quantifier elimination is doubly exponential | journal=J. Symb. Comput. | volume=5 | number=1-2 | pages= 29–35 | year=1988 | zbl=0663.03015 | ref= harv}}
* {{cite book | last=Efrat | first=Ido | title=Valuations, orderings, and Milnor ''K''-theory | series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=124 | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2006 | isbn=0-8218-4041-X | zbl=1103.12002 | ref= harv}}
* {{cite book | last1= Macpherson | first1= D. | last2= Marker | first2= D. | last3= Steinhorn | first3= C. | title= Weakly o-minimal structures and real closed fields | series= Trans. of the American Math. Soc. | volume= 352 | issue= 12 | year= 1998 | ref= harv}}
* {{cite book | title=Squares | volume=171 | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | first=A. R. | last=Rajwade | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1993 | isbn=0-521-42668-5 | zbl=0785.11022 | ref= harv}}
* {{citation| first= Alfred | last= Tarski | author-link= Alfred Tarski | year= 1951 | title= A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry | publisher= Univ. of California Press | ref= harv}}

== 関連文献 ==
* Basu, Saugata, [[Richard M. Pollack|Richard Pollack]], and [[Marie-Françoise Roy]] (2003) "Algorithms in real algebraic geometry" in ''Algorithms and computation in mathematics''. Springer. {{ISBN2|3-540-33098-4}} ([http://perso.univ-rennes1.fr/marie-francoise.roy/bpr-ed2-posted1.html online version])
* Caviness, B F, and Jeremy R. Johnson, eds. (1998) ''Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition''. Springer. {{ISBN2|3-211-82794-3}}
* [[Chen Chung Chang]] and [[Howard Jerome Keisler]] (1989) ''Model Theory''. North-Holland.
* {{citation|first= P.|last= Erdös|first2= L.|last2= Gillman|first3= M. |last3=Henriksen|title= An isomorphism theorem for real-closed fields|journal= Ann. of Math. |issue= 2 |volume= 61 |pages= 542–554|mr= 0069161|year=1955}}
* Mishra, Bhubaneswar (1997) "[http://www.cs.nyu.edu/mishra/PUBLICATIONS/97.real-alg.ps Computational Real Algebraic Geometry,]" in ''Handbook of Discrete and Computational Geometry''. CRC Press. 2004 edition, p.&nbsp;743. {{ISBN2|1-58488-301-4}}

== 外部リンク ==
* [http://www.maths.manchester.ac.uk/raag/ ''Real Algebraic and Analytic Geometry Preprint Server'']
* [http://www.logique.jussieu.fr/modnet/Publications/Preprint%20server/ ''Model Theory preprint server'']
* {{nlab|urlname=real+closed+field|title=real closed field}}
* {{SpringerEOM|urlname=Real_closed_field|title=Real closed field|author= Kuhlmann, F.-V.}}

{{DEFAULTSORT:しつへいたい}}
[[Category:体論]]
[[Category:実閉体|*]]
[[Category:実代数幾何]]
[[Category:数学に関する記事]]