密着閉包のソースを表示

[[数学]]の[[可換環論]]における'''密着閉包'''（みっちゃくへいほう、{{lang-en-short|tight closure}}）とは、正[[標数]]の環の[[イデアル_(環論)|イデアル]]に対して定義されるある操作である。{{訳語疑問点範囲
|{{仮リンク|メルビン・ホッシュター|en|Melvin Hochster}}
|date=2021年11月
|Melvin Hochster|cand_prefix=原文
}}と{{訳語疑問点範囲
|{{仮リンク|クレイグ・ハネク|en|Craig Huneke}}
|date=2021年11月
|Craig Huneke|cand_prefix=原文
}}によって考案された<ref>
{{harvs|txt|authorlink=Melvin Hochster|first=Melvin|last= Hochster|first2=Craig |last2=Huneke|author2-link=Craig Huneke|year1=1988|year2= 1990}}
</ref>。

<math>R</math> を可換な[[ネーター環]]で標数 <math>p > 0</math> の[[可換体|体]]（したがって <math>p</math> は[[素数]]）を含むものとする。

<math>I</math> を <math>R</math> のイデアルとする。

<math>I</math> の密着閉包 <math>I^*</math> とは、<math>I</math> を含む <math>R</math> のイデアルで次のように定義されるものである{{sfn|橋本|2008|p=15}}。

: <math>z \in I^*</math> であるのは、<math>R</math> のどの極小素因子にも含まれないある <math>c \in R</math> が存在して、全ての <math>e \gg 0</math> に対して <math>c z^{p^e} \in I^{[p^e]}</math> が成り立つとき、かつそのときに限る。<math>R</math> が[[被約環]]のときは、全ての <math>e > 0</math> に対して、としてもよい。

ここで
<math>I^{[p^e]}</math>
は
<math>I</math> の元の
<math>p^e</math>ベキで生成される
<math>R</math>
のイデアルで、<math>I</math> の
{{訳語疑問点範囲
|<math>e</math> 次[[フロベニウス自己準同型|フロベニウス]]冪
|date=2021年11月
|<math>e</math>th [[Frobenius endomorphism|Frobenius]] power|cand_prefix=原文
}}という。

<math>I = I^*</math> が成り立つとき、このイデアルは'''密着的閉'''（tightly closed）という{{sfn|橋本|2008|p=15}}。
全てのイデアルが密着的閉である環は'''弱 <math>F</math> 正則'''（weakly <math>F</math>-regular, フロベニウス正則の意）という{{sfn|橋本|2008|p=15}}。また、環の任意の局所化が弱 <math>F</math> 正則であるとき '''<math>F</math> 正則'''という{{sfn|橋本|2008|p=15}}<ref name="#1">
{{harvtxt|Brenner|Monsky|2010|p=572}}
</ref>。

かつては密着閉包の操作と[[環の局所化|局所化]]が交換可能かどうかが大きな未解決問題だったが、{{harvtxt|Brenner|Monsky|2010}} が反例を見つけた。しかし、全ての弱 <math>F</math> 正則環が <math>F</math> 正則かどうか、つまり環の全てのイデアルが密着的閉ならばその環の任意の局所化の任意のイデアルもまた密着的閉かどうか、という問題はまだ未解決である<ref name="#1"/>。

==脚注==

{{reflist|2}}

==参考文献==

*{{Citation | last1=Brenner | first1=Holger | last2=Monsky | first2=Paul | title=Tight closure does not commute with localization | arxiv=0710.2913| doi=10.4007/annals.2010.171.571 |mr=2630050 | year=2010 | journal=[[Annals of Mathematics]] |series=Second Series | issn=0003-486X | volume=171 | issue=1 | pages=571–588 | url = https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v171-n1-p15-s.pdf | format = PDF}}
*{{Citation | last1=Hochster | first1=Melvin | last2=Huneke | first2=Craig | title=Tightly closed ideals | doi=10.1090/S0273-0979-1988-15592-9 |mr=919658 | year=1988 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society |series=New Series | issn=0002-9904 | volume=18 | issue=1 | pages=45–48| doi-access=free }}
*{{Citation | last1=Hochster | first1=Melvin | last2=Huneke | first2=Craig | title=Tight closure, invariant theory, and the Briançon–Skoda theorem | doi=10.2307/1990984 |mr=1017784 | year=1990 | journal=[[Journal of the American Mathematical Society]] | issn=0894-0347 | volume=3 | issue=1 | pages=31–116| jstor=1990984 }}
* {{Cite web|和書
 | last= 橋本| first=光靖
 | url = http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hasimoto/paper/morioka-proc.pdf
 | title = 不変式環の環論的性質
 | ref= harv
 | year = 2008
 | format = PDF
 | accessdate =  2021-11-14}}

[[Category:可換環論]]
[[Category:イデアル]]
[[Category:数学に関する記事]]
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