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'''対の公理'''（ついのこうり、'''axiom of pairing'''）は、[[ZF公理系]]を構成する[[公理]]の一つで、任意の二つの元に対し、それら二つのみを要素とする[[集合]]（対、'''pair'''）が[[存在]]することを主張するものである。

== 定義 ==
任意の二つの元x,yに対し、xとyのみを要素とする集合zが存在する。すなわち、
:<math>\forall x \, \forall y \, \exist z \, \forall w \, [ w \in z \iff (w = x \lor w = y)].</math>

あるいは、より弱い主張である
:<math>\forall x \, \forall y \, \exist z \, \, [x \in z \land y \in z]</math>
が公理として採用される場合もある。
こちらは、zがxとyを含むことのみしか要請しないが、[[置換公理]]（あるいはもっと弱く[[分出公理]]）のもとでは集合
:<math> \{ x, y \} = \{\, w \in z \mid w = x \lor w = y \,\} </math>
が存在するため上の定義と同等になる。

== 性質 ==
[[外延性の公理]]により、任意のx,yに対しその対が''一意に''定まる。その集合のことを{x,y}と記す。
また同じく外延性より、x=yの場合における対{x,x}は[[一元集合]]{x}に等しいので、単集合の存在も導くことができる。

対の公理を用いて、[[順序対]]を定義することができる；
:<math> (x, y) = \{ \{ x \}, \{ x, y \} \}.\,</math>
帰納的に、n個の元の順序対('''n組'''、n-tuple) は、
:<math> (x_1, \ldots, x_n) = ((x_1, \ldots, x_{n-1}), x_n).\!</math>
と定義される。

== 他の公理との関係 ==
対の公理はZF公理系の他の公理と[[独立]]ではない。すなわち、置換公理および「[[濃度 (数学)|濃度]]が2以上の集合の存在」から、任意のx,yに対する対{x,y}の存在を導ける（濃度が2以上の集合の存在については、[[無限公理]]、あるいは[[空集合の公理]]と[[冪集合公理|冪集合の公理]]の組み合わせから導くことができる）。
そのため対の公理は、公理系を記述する際に省略されることもある。

== 関連項目 ==
*[[順序対]]
*[[直積集合|直積]]

== 参考文献 ==
* [[ケネス・キューネン]]『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、[[日本評論社]]、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9
*Jech, Thomas, 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''.  Springer.  ISBN 3-540-44085-2.

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