対偶 (論理学)のソースを表示

{{出典の明記|date=2013年8月27日 (火) 12:04 (UTC)}}

'''対偶'''（たいぐう、{{lang-en-short|''Contraposition''}}）とは、「AならばB」という形式の[[命題]]に対して、その命題の仮定と結論をそれぞれその[[否定]]に置き換えた上で両者を入れ替えた命題のことをいう。

== 定義 ==

[[命題]]「AならばB」の'''対偶'''は「BでないならばAでない」である。
論理記号として「ならば (<math>\Rightarrow</math>)」および否定 (<math>\neg</math>) を用いると、命題 <math>A\Rightarrow B</math> の対偶は <math>\neg B\Rightarrow \neg A</math> である。

なお、<math>\neg B\Rightarrow \neg A</math> の対偶は厳密には <math>A\Rightarrow B</math> ではなく、<math>\neg\neg A\Rightarrow \neg\neg B</math> である。

通常の[[数学]]では[[古典論理]]を用いるため、命題「AならばB」とその対偶「BでないならばAでない」の真偽および証明可能性は必ず一致する (すなわち[[真理値]]が等しい）。

数学では、元の命題「AならばB」の[[証明 (数学)|証明]]が難しくても、その対偶「BでないならばAでない」の証明は比較的易しい場合がある。両者の証明可能性は一致するので、対偶「BでないならばAでない」を示すことにより「AならばB」を証明できる。これを'''[[対偶論法]]'''とよぶ。同様に、「BならばAである」を示すことにより「AでないならばBでない」を証明することもできる。

== 証明 ==

対偶論法の正当性を示すためには「<math>\neg B\Rightarrow \neg A</math> が証明可能ならば <math>A\Rightarrow B</math> が証明できること」が必要である。
古典論理におけるこれの証明は、自然演繹を用いると以下のようになる。

{{Indent|<math>
\dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{\neg B\Rightarrow \neg A \quad [\neg B]^1 }{\neg A} \quad \displaystyle{{}\atop{[A]^2}} }{\bot}}{\neg\neg B} (1)}{B}}{A\Rightarrow B} (2)
</math>}}

逆向きについても同様に証明できることから、元の命題と対偶命題の証明可能性が等しいことがわかる。

==関連概念==
命題「AならばB」に対し、
* '''対偶'''：「BでないならばAでない」
* '''逆'''：「BならばA」
* '''裏'''：「AでないならばBでない」
がある。

対偶の場合とは異なり、元の命題「AならばB」が正しくとも[[逆]]・[[裏 (論理学)|裏]]は必ずしも正しいとは限らない（'''逆は必ずしも真ならず'''）。
しかし、逆命題「BならばA」の対偶は、「AならばB」の裏「AでないならばBでない」と一致するので、逆「BならばA」と裏「AでないならばBでない」の真偽は必ず一致する。

自然言語（とくに日常語や文学・比喩表現）では、論理学における論理的関係が常にそのまま適用できるとは限らず、命題と対偶命題が異なる真理値を持つように見えることがある。

==直観主義論理における扱い==
上述の対偶の性質は古典論理におけるそれであり、[[非古典論理]]においては成立しない場合がある。例えば[[直観主義論理]]においては、必ずしも「AならばB」とその対偶「BでないならばAでない」の真偽は一致しない。

直観主義論理の特徴として、[[排中律]]の不成立（あるいは[[二重否定の除去]]の制限）があげられるが、対偶の性質はこの制限の影響を受け成立しない。なお「AならばB」から「BでないならばAでない」は、直観主義論理においても導出可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}

== 関連文献 ==
{{参照方法|date=2018年12月|section=1}}
* {{Cite book|和書|author=前原昭二|authorlink=前原昭二|others=[[安東祐希]] 補足|date=2005-12|title=記号論理入門|edition=新装版|series=日評数学選書|publisher=[[日本評論社]]|isbn=978-4-535-60144-4|ref={{Harvid|前原|2005}}}}
* {{Cite book|和書|author=矢野健太郎|authorlink=矢野健太郎 (数学者)|date=1966-02-21|title=新しい数学|series=[[岩波新書]] 青版 G-8|publisher=[[岩波書店]]|isbn=4-00-416008-1|ref={{Harvid|矢野|1966}}}}

== 関連項目 ==
<!--項目の50音順-->
*[[逆]]
*[[後件肯定]]
*[[前件否定]]
*[[二重否定]]
*[[背理法]]
*[[ヘンペルのカラス]]

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|対偶|2=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}
*{{MathWorld|title=Propositional Calculus|urlname=PropositionalCalculus|last=Sakharov |first=Alex |last2=Weisstein |first2=Eric W.}}

{{デフォルトソート:たいくう}}
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