対合のソースを表示

{{出典の明記| date = 2022年3月}}
{{otheruses|数学用語|生物学用語|減数分裂}}
'''対合'''（たいごう<ref name="入門辞典">{{Cite book
|和書
|author=青本和彦ほか
|title=岩波数学入門辞典
|year=2005
|publisher=[[岩波書店]]
|page=362
|isbn=978-4-00-080209-3
}}</ref>、ついごう<ref name="入門辞典" /><ref>{{Cite book
|和書
|author1=日本数学会編集|authorlink1=日本数学会
|title=岩波数学辞典
|edition=第4版
|year=2007
|publisher=岩波書店
|page=1841
|isbn=978-4-00-080309-0
}}</ref>、{{lang|en|involution}}）は、自分自身をその[[逆写像|逆]]として持つ[[写像]]である。
{{Indent|<math>f^{-1}(x) = f(x), \mbox{ for any }x.</math>}}
これは空間上の[[変換 (数学)|変換]]であって、二回繰り返すと恒等変換となる（元に戻る）という性質
{{Indent|<math>\lambda(\lambda(x)) = x, \mbox{ for any }x</math>}}
を持つものと言ってもよい。ただし、それ自身が恒等変換となるものは通常は除いて考える。またこれは変換群に属する位数 2 の元
{{Indent|<math>\sigma \mbox{ which satisfies } \sigma^2 = \mathrm{identity}</math>}}
を指すと言っても同じことであり、それを理由に一般の[[群論|群]]（抽象群）においても位数 2 の元を対合と呼ぶことがある。

== 例 ==
* [[ユークリッド空間|平面]]上の任意の点 ''x'' を、ある直線 ''l'' に関して対称な点 &phi;(''x'') に写す操作（[[鏡映]]）&phi; は、明らかに &phi;(&phi;(''x'')) = ''x'' を満たすから &phi; は平面上の対合である。
* 集合 ''A'' に対し、普遍集合 ''S'' において ''A'' の補集合 ''A''<sup>''c''</sup> をとる操作は、(''A''<sup>''c''</sup>)<sup>''c''</sup> = ''A'' を満たすから、この変換は ''S'' の[[冪集合]]における対合である。
* [[複素数]] ''z'' に対しその共役複素数 ''z''<sup>*</sup> をとる複素数体 '''C''' 上の変換は、 (''z''<sup>*</sup>)<sup>*</sup> = ''z'' を満たすから対合である。

== 対合つき代数系 ==
群 ''G'' が与えられ、その上の写像 ''I'': ''G'' &rarr; ''G'' が対合であって、次の関係
{{Indent|<math>(gh)^I = h^I g^I, \mbox{ for any } g, h \in G</math>}}
を満たすとき、対合 ''I'' は ''G'' の群構造と両立するといい、組 (''G'', ''I'') を対合付きの群と呼ぶ。群の逆元をとる演算
{{Indent|<math>g \mapsto g^{-1}</math>}}
は ''g'', ''h'' を ''G'' の元とすれば
{{Indent|<math>(g^{-1})^{-1} = g,</math><br />
<math>(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}</math>}}
を満たすので、これは群が標準的に持つ群構造と両立する対合である。

また、環 ''R'' とその上に対合 "*": ''R'' &rarr; ''R'' で
{{Indent|<math>(r + s)^* = r^* + s^*, \mbox{ for any } r,s \in R,</math><br />
<math>(rs)^* = s^* r^*, \mbox{ for any } r,s \in R,</math><br />
<math>1_R^* = 1_R</math>}}
を満たすものの組 (''R'', "*") として対合付き環の概念が得られる。もっと一般に必ずしも可換でないものを含む二項演算（と単項演算、0項演算）のみからなる代数系 ''A'' にその上の対合 &sigma; が存在するとき、&sigma; が A からその逆代数系 ''A''<sup>opp</sup> への準同型となる（つまり、二項演算の順番を逆にし、単項、0 項演算と可換となる）とき、代数系 ''A'' の構造と対合 &sigma; は両立するといい、組 (''A'', &sigma;) を対合つき代数系と呼ぶ。たとえば、''n'' 次全行列環 ''M''<sub>''n''</sub>(''K'') (''K'' は可換環あるいは体)に、行列を[[転置行列|転置]]させる写像 ''t'' を考えたとき、''x'', ''y'' を行列、&lambda; をスカラーとすると
{{Indent|<math>{}^t\!({}^t\!x) = x,</math><br />
<math>{}^t\!(x + y) = {}^t\!x + {}^t\!y</math><br />
<math>{}^t\!(xy) = {}^t\!y{}^t\!x</math><br />
<math>{}^t\!(\lambda x) = \lambda{}^t\!x</math>}}
が満たされるので、(''M''<sub>''n''</sub>(''K''), ''t'') は対合つき多元環である。

[[可換体|体]] ''L'' が対合となる[[準同型|自己同型]] &sigma; を持つとき、&sigma; の固定体を ''F'' とすると、拡大 ''L''/''F'' は二次拡大である。 

== 対合で生成される群 ==
[[鏡映群]]、[[コクセター群]]は、（位数 2 の元という意味での）対合からなる生成系を持つ群である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[*-環]]（*-algebra; 対合つき多元環）
* [[C*-環]](C型対合つき多元環)
* [[コクセター群]]
* [[双対]]

{{DEFAULTSORT:ついこう}}
[[Category:代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]