対応 (数学)のソースを表示

[[数学]]における'''対応'''（たいおう、''Correspondence''）は、古い文献に頻繁に現れていた[[多価函数]]（多値写像）の概念を明確にしたものである。通常の意味の函数（[[写像]]）が[[定義域|定義集合]]の各元に[[値域|値の集合]]の一つの元を値として割り当てるのに対して、多価函数は値の集合の複数の元を割り当てることが許されるのであった。対応の概念を考えるときには、これら複数の函数値を一つの集合（値の集合の部分集合）として割り当てる。言い換えれば、対応とは定義域の各元に終域の部分集合を割り当てることである。

== 定義 ==
集合 {{mvar|A}} から {{mvar|B}} への（'''部分'''）'''対応'''とは、直積集合 {{math|''A'' &times; ''B''}} の部分集合 {{mvar|G}} が与えられたとき、三つ組 {{math|1=''f'' = (''A'', ''B''; ''G'')}} のことをいう。このとき、<math display="block">
  f\colon A\to B,\quad A \stackrel{f}{{}\to{}}B,\quad f\colon A\multimap B
</math> などと表す。{{mvar|A, B, G}} はそれぞれ対応 {{mvar|f}} の'''始域''' (initial set, source)、[[終域]]、{{ill2|関係のグラフ|en|graph of a relation|label=グラフ}}と呼ばれる。グラフの各成分への[[射影 (集合論)|射影]]<math display="block">
  D(f) = \operatorname{dom}(f) := \operatorname{pr}_l(G) = \{a\in A \mid (a,\exists b)\in G\}
</math> は {{mvar|f}} の[[定義域]]といい、<math display="block">
  V(f) = \operatorname{ran}(f) := \operatorname{pr}_r(G) = \{b\in B \mid (\exists a,b)\in G\}
</math> を {{mvar|f}} の[[像 (数学)|像]]または[[値域]]と呼ぶ。{{math|1=''D''(''f'') = ''A''}} であるとき、{{mvar|f}} は（左）'''全域的対応'''あるいは単に対応であるといい、{{math|1=''V''(''f'') = ''B''}} であるとき {{mvar|f}} は[[全射]]あるいは'''右全域的対応'''という。左全域的かつ右全域的であるときに限って対応と呼ぶこともある{{sfn|ProofWiki}}。

対応 {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} が与えられたとき、{{math|dom(''f'')}} の元 {{mvar|a}} に対して、{{mvar|B}} の部分集合（[[空集合]]であってもよい）<math display="block">f(a) := \{b\in B\mid (a,b)\in G\}</math>は、対応 {{mvar|f}} による {{mvar|a}} の'''像'''または'''値''' (value) と呼ばれる。このとき、<math display="block">G(f) = \{(a,b) \mid a\in A,\,b\in f(a)\}</math> は {{mvar|f}} のグラフ {{mvar|G}} に一致する。

== 対応と関係 ==
{{main|二項関係}}
対応 {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} が与えられているとき、{{mvar|A}} の元 {{mvar|a}} と {{mvar|B}} の元 {{mvar|b}} に対して {{math|''a'' ''R''<sub>''f''</sub> ''b'' &hArr; (''a'', ''b'') &isin; ''G''(''f'')}} と置いて得られる {{math|''R''<sub>''f''</sub>}} は[[二項関係]]である。逆に二項関係 {{math|''R'' &sub; ''A'' &times; ''B''}} が与えられたとき、{{math|''a'' &isin; ''A''}} に対して、{{math|1=''f''(''a'') = {{mset|''b'' | ''a'' ''R'' ''b''}}}} を割り当てる対応 {{math|''f{{sub|R}}'': ''A'' &rarr; ''B''}} が定まる。

直積の部分集合を[[グラフ (函数)|グラフ]]として定まるという意味では、対応は[[二項関係]]と同じ概念を表すものと考えることができるが、対応というときはある集合から別な集合へ元を写すというニュアンスが強い。例えば、対応 {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''A''}} に対して、{{math|''a'' &isin; ''f''(''a'')}} となるような {{mvar|A}} の元 {{mvar|a}} を対応 {{mvar|f}} の[[不動点]]という。

対応によって、一つの元に（部分集合に属する）複数の元が割り当てられているとみなすと、[[多価函数]]に近いものと考えることもできるが、対応による像の濃度は元ごとに異なっていてもよいという点で多価函数とは異なる。

== 対応の相等 ==
二つの対応 {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} と {{math|''g'': ''C'' &rarr; ''D''}} が'''相等しい''': {{math|1=''f'' = ''g''}} とは、順序三つ組としての相当をいう。これは、始域、終域を共有し、始域の各元の像が常に等しいこと、すなわち集合として {{math|1=''A'' = ''C'', ''B'' = ''D''}} であって、なおかつどんな {{math|1=''a'' &isin; ''A'' (= ''C'')}} に対しても、{{math|1=''f''(''a'') = ''g''(''a'')}} を満たすことである。

なお、終域を重視しない立場もあり、その場合はグラフの相等 {{math|1=''G''(''f'') = ''G''(''g'')}} を以って対応の相等 {{math|1=''f'' = ''g''}} と定める。{{math|1=''f'' = ''g''}} となるための[[同値|必要十分条件]]は {{math|1=dom(''f'') = dom(''g'')}} かつ {{math|''a'' &isin; dom(''f'')}} ならば {{math|1=''f''(''a'') = ''g''(''a'')}} を満たすことであり、また、{{math|(dom(''f''), ran(''f''), ''G''(''f''))}} と {{math|(dom(''g''), ran(''g''), ''G''(''g''))}} が順序三つ組として相等であることである。

== 逆対応 ==
{{seealso|逆関係|逆写像}}
対応 {{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} が与えられているとき、<math display="block">G(g) = \{(b,a) \in B \times A \mid (a,b) \in G(f)\}</math> をグラフとする対応 {{math|''g'': ''B'' &rarr; ''A''}} を {{mvar|f}} の'''逆対応'''と呼び、{{math|''f''<sup>&minus;1</sup>}} で表す。

== 写像 ==
{{main|部分写像|写像}}
; 定義: 対応 {{math|1=''f'' = (''A'', ''B'', ''G''<sub>''f''</sub>)}} は、<div style="margin: 1ex 2em;">「各元 {{math|''a'' &isin; ''A''}} に対して {{math|(''a'', ''b'') &isin; ''G''<sub>''f''</sub>}} となるような {{math|''b'' &isin; ''B''}} が一つしかない（すなわち、{{mvar|A}} のどの元 {{mvar|a}} についても {{math|''f''(''a'')}} がただ一つの元からなる）」</div>という条件をみたすとき、'''部分写像'''（一意対応）という。特に {{math|1=''D''(''f'') = ''A''}}（全域的）なとき'''写像'''と呼ばれる。
対応 {{mvar|f}} が（部分）写像であるとき、{{math|1=''f''(''a'') = {{mset|''b''}}}} となることを {{math|1=''f''(''a'') = ''b''}} と略記して、この元 {{mvar|b}} を {{mvar|a}} の'''像'''と呼ぶ。

写像の言葉で言えば、集合 {{mvar|A}} から集合 {{mvar|B}} への対応 {{mvar|φ}}とは、{{mvar|A}} から {{mvar|B}} の[[冪集合]] {{math|𝒫(''B'')}} への写像、すなわち[[集合値函数|集合値写像]]<math display="block">\varphi\colon A \to \mathcal{P}(B)</math> として理解できる。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{cite book|和書|author=松坂和夫|title=集合・位相入門|publisher=岩波書店|year=1968|mouth=6|isbn=978-4000054249}}

== 関連項目 ==
* [[集合]]
* [[二項関係]]

== 外部リンク ==
* {{nlab|urlname=correspondence|title=correspondence}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Correspondence|title=Definition:Correspondence}}
* {{SpringerEOM|urlname=Correspondence|title=Correspondence|author=Tsalenko, M.Sh.}}

{{DEFAULTSORT:たいおう}}
[[Category:集合の基本概念]]
[[Category:数学に関する記事]]