対数コーシー分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 = 対数コーシー
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[File:Logcauchypdf.svg|275px|Log-Cauchy density function for values of <math>(\mu, \sigma)</math>]]
|画像/分布関数 = [[File:Logcauchycdf.svg|275px|Log-Cauchy cumulative distribution function for values of <math>(\mu, \sigma)</math>]]
|母数 = <math>\mu</math> （実数）<br><math>\displaystyle \sigma > 0\!</math> （実数）
|台 = <math>\displaystyle x \in (0, +\infty)\!</math>
|確率関数 = <math>f(x) = \frac{1}{\pi x} \frac{\sigma}{(\ln x - \mu)^2 + \sigma^2}</math>
|分布関数 = <math>F(x) = \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{\ln x-\mu}{\sigma}\right)+\frac{1}{2}</math>
|期待値 = ∞
|中央値 = <math>e^{\mu}</math>
|最頻値 = 
|分散 = ∞
|歪度 = (not defined)
|尖度 = (not defined)
|エントロピー = 
|モーメント母関数 = (not defined)
|特性関数 = 
}}

[[確率論]]における'''対数コーシー分布'''（たいすうコーシーぶんぷ、{{Lang-en-short|log-Cauchy distribution}}）とは、[[対数]]をとったものが[[コーシー分布]]に従うような[[確率変数]]が従う[[確率分布]]である。''X'' がコーシー分布
に従うならば ''Y'' = [[指数関数|exp(''X'')]] は対数コーシー分布に従い、同様に ''Y'' が対数コーシー分布に従うなら ''X''&nbsp;=&nbsp;log(''Y'') はコーシー分布に従う<ref name=robust/>。

==定義==

対数コーシー分布は台 <math>(0, \infty)</math> を持ち、[[確率密度関数]]は

:<math>\begin{align}
f(x; \mu,\sigma) 
& = \frac{1}{\pi\sigma x} \frac{1}{1 + \left(\dfrac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)^2} \\
& = \frac{1}{\pi x} \frac{\sigma}{(\ln x - \mu)^2 + \sigma^2}
\end{align}</math>

である。ここで <math> \mu</math> は[[実数]]、<math> \sigma >0</math><ref name=robust>{{cite web|title=Applied Robust Statistics|url=http://www.math.siu.edu/olive/run.pdf|author=Olive, D.J.|date=June 23, 2008|publisher=Southern Illinois University|page=86|accessdate=2011-10-18|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110928191222/http://www.math.siu.edu/olive/run.pdf|archivedate=September 28, 2011|df=}}</ref><ref name=stochastic>{{cite book|title=Statistical analysis of stochastic processes in time|author=Lindsey, J.K.|pages=33, 50, 56, 62, 145|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83741-5}}</ref>。 <math>\sigma</math> が既知のとき、{{仮リンク|尺度母数|en|scale parameter}}は <math>e^{\mu}</math> である<ref name=robust/>：

:<math> f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{e^{\mu}} f(x/e^{\mu}; 0, \sigma)</math>

<math> \mu</math> と <math> \sigma</math> は対応するコーシー分布の{{仮リンク|位置母数|en|location parameter}}と尺度母数である<ref name="robust" /><ref name="hiv">{{cite book|title=Stochastic processes in epidemiology: HIV/AIDS, other infectious diseases|author1=Mode, C.J.  |author2=Sleeman, C.K. |name-list-style=amp |pages=29–37|year=2000|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-4097-4}}</ref>。著者によっては <math> \mu</math> と <math> \sigma</math> をそれぞれ対数コーシー分布の位置・尺度母数と定義することもある<ref name="hiv" />。

<math>\mu = 0</math> かつ <math>\sigma =1</math> のときは標準コーシー分布と対応して、確率密度関数は次のように簡略化される<ref name="life" />。

:<math> f(x; 0,1) = \frac{1}{\pi x (1 + (\ln x)^2)}</math>

また、[[累積分布関数]]は
:<math>F(x; \mu, \sigma)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)</math>
である。

==性質==

<math>\mu = 0</math>, <math>\sigma =1</math> のとき、[[生存関数]]は<ref name=life/>
:<math>S(x; 0, 1)=\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \arctan(\ln x)</math>

{{仮リンク|ハザード率|en|hazard rate}} は<ref name=life/>
:<math> \lambda(x; 0,1) = \left(x\pi \left(1 + \left(\ln x\right)^2\right) \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \arctan(\ln x)\right)\right)^{-1}</math>

である。ハザード率は分布の始端と終端とで減少するが、途中に増加する区間が存在する場合もある<ref name=life/>。

対数コーシー分布は[[裾の重い分布]]の一例である<ref name=small>{{cite book|title=Laws of Small Numbers: Extremes and Rare Events|author=Falk, M.|author2=Hüsler, J.|author3=Reiss, R.|last-author-amp=yes|page=80|year=2010|publisher=Springer|isbn=978-3-0348-0008-2}}</ref>。これを「非常に裾の重い分布（super-heavy tailed distribution）」とする著者もいる。なぜなら、[[パレート分布|パレート型]]ヘヴィーテイルよりも裾が重い（つまり対数関数的にしか減衰しない）ためである<ref name=small/>。コーシー分布と同じく、対数コーシー分布では一切の（非自明）[[モーメント (確率論)|モーメント]]が無限大になる<ref name=life>{{cite book|title=Life distributions: structure of nonparametric, semiparametric, and parametric families|author1=Marshall, A.W.  |author2=Olkin, I. |name-list-style=amp |pages=443–444|year=2007|publisher=Springer|isbn=978-0-387-20333-1}}</ref>。[[期待値|平均]]はモーメントの一種なので対数コーシー分布は有限の平均、および[[標準偏差]]を持たない<ref>{{cite web|title=Moment|url=http://mathworld.wolfram.com/Moment.html|publisher=[[Mathworld]]|accessdate=2011-10-19}}</ref><ref>{{cite journal|title=
Trade, Human Capital and Technology Spillovers: An Industry Level Analysis|author=Wang, Y.|page=14|publisher=Carleton University}}</ref>。

対数コーシー分布はいくつかのパラメータに関してのみ{{仮リンク|無限分解可能分布|en|Infinite divisibility (probability)}}となる<ref>{{cite journal|title=On the Lévy Measure of the Lognormal and LogCauchy Distributions|url=http://resources.metapress.com/pdf-preview.axd?code=gn16hw202rxh4q1g&size=largest|accessdate=2011-10-18|author=Bondesson, L.|journal=Methodology and Computing in Applied Probability|year=2003|pages=243–256|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120425064706/http://resources.metapress.com/pdf-preview.axd?code=gn16hw202rxh4q1g&size=largest|archivedate=2012-04-25|df=}}</ref>。[[対数正規分布]]、{{仮リンク|対数t分布|en|log-t distribution}}、[[ワイブル分布]]と同様に、対数コーシー分布は{{仮リンク|一般化ベータ分布|en|Generalized beta distribution}}の特別な場合である<ref>{{cite book|title=Return distributions in finance|author1=Knight, J.  |author2=Satchell, S. |name-list-style=amp |page=153|year=2001|publisher=Butterworth-Heinemann|isbn=978-0-7506-4751-9}}</ref><ref>{{cite book|title=Market consistency: model calibration in imperfect markets|author=Kemp, M.|page=|year=2009|publisher=Wiley|isbn=978-0-470-77088-7}}</ref>。実は対数コーシー分布は対数t分布の特別な場合であり、これはコーシー分布が自由度1の[[t分布]]のことであるのと同様である<ref>{{cite book|title=Statistical distributions in scientific work: proceedings of the NATO Advanced Study Institute|author=MacDonald, J.B.|chapter=Measuring Income Inequality|page=169|editor=Taillie, C. |editor2=Patil, G.P. |editor3=Baldessari, B.|year=1981|publisher=Springer|isbn=978-90-277-1334-6}}</ref><ref name=kleiber>{{cite book|title=Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Science|author1=Kleiber, C.  |author2=Kotz, S. |name-list-style=amp |pages=101–102, 110|year=2003|publisher=Wiley|isbn=978-0-471-15064-0}}</ref>。

コーシー分布が[[安定分布]]なので対数コーシー分布は対数安定的であり<ref>{{cite journal|title=Distribution function values for logstable distributions|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/089812219390128I|doi=10.1016/0898-1221(93)90128-I|author=Panton, D.B.|accessdate=2011-10-18|date=May 1993|pages=17–24|volume=25|issue=9|journal=Computers & Mathematics with Applications}}</ref>、対数安定分布は x=0 を[[極 (複素解析)|極]]とする<ref name=kleiber/>。

==パラメータの推定==
[[標本 (統計学)|標本]]の自然対数をとったものの[[中央値]]は、<math> \mu</math> の{{仮リンク|ロバストな推定量|en|robust estimator}}（robust estimator）になる<ref name=robust/>。標本の自然対数をとったものの{{仮リンク|中央絶対偏差|en|median absolute deviation}}（median absolute deviation, MAD）は <math>\sigma</math> のロバストな推定量になる<ref name=robust/>。

==利用==
[[ベイズ統計学]]において、対数コーシー分布は{{仮リンク|非正則事前分布|label=非正則|en|improper prior}}な Jeffreys-Haldane[[事前確率|事前密度]]（推定したい正のパラメータについて、k である密度を 1/k で与える）の近似に用いることができる<ref>{{cite book|title=Good thinking: the foundations of probability and its applications|author=Good, I.J.|page=102|year=1983|publisher=University of Minnesota Press|isbn=978-0-8166-1142-3}}</ref><ref>{{cite book|title=Frontiers of Statistical Decision Making and Bayesian Analysis|page=12|author=Chen, M.|year=2010|publisher=Springer|isbn=978-1-4419-6943-9}}</ref>。対数コーシー分布は、有意な[[外れ値]]または極値が発生するようなある種の生存過程のモデル化に用いることができる<ref name=stochastic/><ref name=hiv/><ref>{{cite journal|title=Some statistical issues in modelling pharmacokinetic data|author=Lindsey, J.K.|author2=Jones, B.|author3=Jarvis, P.|last-author-amp=yes|journal=Statistics in Medicine|date=September 2001|volume=20|issue=17–18|pages=2775–278|doi=10.1002/sim.742|pmid=11523082}}</ref>。適切なモデルになり得る例の一つに[[ヒト免疫不全ウイルス]]の感染から発症までの時間が挙げられる。この期間は患者によっては非常に長いものとなる<ref name=hiv/>。対数コーシー分布は生物種の豊富度パターン（species abundance patterns）のモデルとしても提案されている<ref>{{cite journal|title=LogCauchy, log-sech and lognormal distributions of species abundances in forest communities|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304380004005587|journal=Ecological Modelling|volume=184|issue=2–4|doi=10.1016/j.ecolmodel.2004.10.011|date=June 2005|accessdate=2011-10-18|pages=329–340|author=Zuo-Yun, Y.|displayauthors=etal }}</ref>。

==脚注==
{{reflist|colwidth=33em}}

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:たいすうこおしいふんふ}}
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[[Category:数学に関する記事]]
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