対数平均のソースを表示

{{出典の明記|date=2020年6月27日 (土) 03:47 (UTC)}}
[[Image:Logarithmic mean 3D plot from 0 to 100.png|thumb|300px|対数平均の3次元グラフ]]
'''対数平均'''（たいすうへいきん、{{lang-en-short|logarithmic mean}}）とは、下記式で定義される値のこと。
:<math>\begin{align}
  M_\text{lm}(x, y)
    &= \lim_{(\xi, \eta) \to (x, y)} \frac{\eta - \xi}{\ln{\eta} - \ln{\xi}} \\[6pt]
    &= \begin{cases}
         0 & \text{if }x = 0 \text{ or } y = 0, \\
         x & \text{if }x = y ,\\
         \dfrac{y - x}{\ln{y} - \ln{x}} & \text{otherwise}
       \end{cases}
\end{align}</math>
{{math|''x'', ''y''}} は0以上の[[実数]]である。

[[伝熱]]などで使われる。[[対数平均温度差]]も参照。[[幾何平均]]と混同しないように注意。

== 他の平均との関係 ==
[[幾何平均]] &le; 対数平均 &le; [[算術平均]]が成立する。

: <math>\sqrt{x y} \leq M_\text{lm}(x, y) \leq \frac{x + y}{2} \qquad \text{ for all } x \geq 0 \text{ and } y \geq 0.</math><ref>
{{cite journal
 | author=B. C. Carlson
 | title=Some inequalities for hypergeometric functions
 | journal=Proc. Amer. Math. Soc.
 | volume=17 | year=1966 | pages=32–39
 | doi=10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6
}}</ref><ref>
{{cite journal
 | author1=B. Ostle | author2=H. L. Terwilliger | last-author-amp=yes
 | title=A comparison of two means
 | journal=Proc. Montana Acad. Sci.
 | volume=17 | year=1957 | pages=69–70
}}</ref>

また、以下の関係式も成り立つ。
* [[算術平均]]: <math>\frac{M_\text{lm}\left(x^2, y^2\right)}{M_\text{lm}(x, y)} = \frac{x + y}{2}</math>
* [[幾何平均]]: <math>\sqrt{\frac{M_\text{lm}\left(x, y\right)}{M_\text{lm}\left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right)}} = \sqrt{x y}</math>
* [[調和平均]]: <math>\frac{M_\text{lm}\left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right)}{M_\text{lm}\left( \frac{1}{x^2}, \frac{1}{y^2} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}</math>
<!--一般化平均との関係式が書けるのでは？-->

== 由来 ==
=== 平均値の定理によるもの ===
[[平均値の定理]]から、導関数 {{math|''f'''}} が[[割線]]の傾きに等しくなるような実数 {{math|&xi;}} が[[区間 (数学)|区間]] {{math|(''x'', ''y'')}} の中に存在する。すなわち
:<math>\exists \xi \in (x, y): \ f'(\xi) = \frac{f(x) - f(y)}{x - y}.</math>
対数平均は関数 {{math|''f''}} に自然対数 ln を、そしてその導関数 {{math|''f'''}} に {{math|1/&xi;}} を代入し、{{math|&xi;}} について解くことで得られる。
:<math>\begin{align}
& \frac{1}{\xi} = \frac{\ln{x} - \ln{y}}{x - y}\\
\therefore \quad & M_\text{lm}=\xi = \frac{x - y}{\ln{x} - \ln{y}}
\end{align}</math>

=== 積分によるもの===
対数平均は[[指数関数]]を用いた面積として解釈することもできる。
:<math>M_\text{lm}(x, y) 
= \int_0^1 x^{1-t} y^t\ \mathrm{d}t 
= \frac{y - x}{\ln{y} - \ln{x}}.</math><!--英語版にある途中計算は冗長と思うので省略-->

この解釈により対数平均がもついくつかの基本的な特性を簡単に導出できる。指数関数は[[単調写像|単調]]であるため、長さ 1 の区間での積分は {{math|''x'', ''y''}} によって制限<!--bounded.翻訳自信なし-->される。積分演算子の[[斉次関数|斉次性]]も対数平均に反映され、
:<math>M_\text{lm}(cx, cy) = cM_\text{lm}(x, y)</math> 
となる。

以下のように、他にも対数平均を導く有用な積分表現がある。
*<math>{1 \over M_\text{lm}(x,y)} = \int_0^1 {\operatorname{d}\!t \over t x + (1-t)y}</math>
*<math>{1 \over M_\text{lm}(x,y)} = \int_0^\infty {\operatorname{d}\!t \over (t+x)\,(t+y)}</math>

== 一般化==
2種類の由来に応じて対数平均の一般化にも2つの方法があり、それぞれ異なる結果を与える。

=== 平均値の定理によるもの ===
対数の {{math|''n''}} 階導関数についての[[差商に対する平均値の定理]]を考慮することにより、対数平均を {{math|''n''+1}} 変数に一般化できる。結果、
:<math>M_\text{MV}(x_0,\dots,x_n) = \sqrt[-n]{(-1)^{n-1} n \ln\left[x_0,\, \dots,\, x_n\right]}</math>
を得る。ただし {{math|ln[''x''{{sub|0}}, ..., ''x{{sub|n}}'']}} は対数の[[差商]]を表し、差商に対する平均値の定理よりある {{math|&xi;}} に対して
:<math>\ln\left[x_0,\, \dots,\, x_n\right]
= \frac{1}{n!}\left[\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\ln{x}\right]_{x=\xi}
= \frac{(-1)^{n-1}}{n \xi^n}</math>
が成り立つ。この式を {{math|&xi;}} について解くことで上式は導かれる。

たとえば {{math|''n'' {{=}} 2}} のとき、3変数 {{math|''x'', ''y'', ''z''}} の対数平均は以下となる。
:<math>M_\text{MV}(x, y, z) = \sqrt{\frac{(x - y) \left(y - z\right)\left(z - x\right)}{2 \left\{\left(y - z\right) \ln{x} + \left(z - x\right) \ln{y} + \left(x - y\right) \ln{z}\right\}}}</math>

=== 積分によるもの===
次の {{math|''n''+1}} 個の実数の組
:<math>S := \{\alpha_0,\, \dots,\, \alpha_n \mid \alpha_0 + \dots + \alpha_n = 1,\quad \alpha_0 \ge 0,\dots,\alpha_n \ge 0\}</math>
を考える。<!--また単体Sの体積が1になるような適当な測度dαをとる。-->このとき対数平均は
:<math>M_\text{I}\left(x_0,\, \dots,\, x_n\right) = \int_S x_0^{\alpha_0} \cdot \,\cdots\, \cdot  x_n^{\alpha_n}\ \mathrm{d}\alpha</math>
と一般化される。これは指数関数の差商 {{math|exp[ln ''x''{{sub|0}}, ... , ln ''x{{sub|n}}'']}} を用いて簡単に書くことができ、
:<math>M_\text{I}\left(x_0,\, \dots,\, x_n\right) = n! \exp\left[\ln{x_0}, \dots, \ln{x_n}\right]</math>
となる。

たとえば {{math|''n'' {{=}} 2}} のとき、3変数 {{math|''x'', ''y'', ''z''}} の対数平均は以下となる。
:<math>M_\text{I}(x, y, z) = -2 \frac{x \left(\ln{y} - \ln{z}\right) + y\left(\ln{z} - \ln{x}\right) + z\left(\ln{x} - \ln{y}\right)}{\left(\ln{x} - \ln{y}\right)\left(\ln{y} - \ln{z}\right)\left(\ln{z} - \ln{x}\right)}</math>
<!--:<math>M_\text{I}(x, y, z) = 2 \left(\frac{x}{(\ln x - \ln y)\cdot(\ln x - \ln z)} + \frac{y}{(\ln y - \ln x) \cdot (\ln y - \ln z)} + \frac{z}{(\ln z - \ln x) \cdot (\ln z - \ln y)}\right)</math>-->

== 出典 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* [[対数平均温度差]]
* [[幾何平均]] - 対数に関連した平均
* {{仮リンク|ストラースキー平均|en|Stolarsky mean}} - 対数平均はこれの特殊な場合である。<!--読み方不明-->
* {{仮リンク|対数半環|en|Log semiring}}

{{デフォルトソート:たいすうへいきん}}
[[Category:平均]]
[[Category:数学に関する記事]]