対数微分法のソースを表示

{{For|導関数|対数微分}}

[[微分積分学]]において、'''対数微分法''' (logarithmic differentiation) あるいは'''対数をとることによる微分''' (differentiation by taking logarithms) は関数 ''f'' の[[対数導関数]]を用いるすることによって[[関数 (数学)|関数]]を[[導関数|微分する]]ために使われる手法である<ref>{{cite book|title=Calculus demystified|pages=170|first=Steven G.|last=Krantz|publisher=McGraw-Hill Professional|year=2003|isbn=0-07-139308-0}}</ref>

:<math>[\ln(f)]' = \frac{f'}{f} \quad \rightarrow \quad  f' = f \cdot [\ln(f)]'.</math>

このテクニックは関数自身よりもむしろ関数の対数を微分する方が簡単な場合にしばしば実行される。これは通常、対象の関数がたくさんの積からなっており対数によってそれが（微分するのがはるかに簡単な）ばらばらの和になるような場合において起こる。それはまた変数や関数のベキである関数に適用するときにも有用である。対数微分は、[[連鎖律|チェイン・ルール]]だけでなく、積を和に、商を差に変えるために[[対数]]（とくに[[自然対数]]、すなわち底が [[ネイピア数|''e'']]の対数）の性質に依存している<ref>{{cite book|title=Golden Differential Calculus|pages=282|author=N.P. Bali|publisher=Firewall Media|year=2005|isbn=81-7008-152-1}}</ref><ref name="Bird">{{cite book|title=Higher Engineering Mathematics|first=John|last=Bird|pages=324|publisher=Newnes|year=2006|isbn=0-7506-8152-7}}</ref>。ほとんどすべての[[微分可能な関数]]の微分において、これらの関数が 0 でないならば、少なくとも部分的には、原理を実行することができる。

==概要==
関数

:<math>y=f(x)\,\!</math>

に対して、対数微分は典型的には両辺の自然対数、すなわち底が ''[[自然対数の底|e]]'' の対数をとることによって始まる、関数が常に正になるように絶対値をとる。<ref>{{cite book|title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences|first=Edward T.|last=Dowling|publisher=McGraw-Hill Professional|year=1990|isbn=0-07-017673-6|pages=160}}</ref>

:<math>\ln|y| = \ln|f(x)|\,\!</math>

[[陰関数#陰函数微分|陰関数微分]]をすると<ref name="One">{{cite book|title=Calculus of One Variable|first=Keith|last=Hirst|pages=97|publisher=Birkhäuser|year=2006|isbn=1-85233-940-3}}</ref>

:<math>\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)}</math>

そして、{{仮リンク|左辺|en|left-hand side}}の 1/''y'' を除去して ''dy''/''dx'' だけを残すために ''y'' をかける：

:<math>\frac{dy}{dx} = y \times \frac{f'(x)}{f(x)} = f'(x).</math>

この手法は対数の性質によって複雑な関数の微分を素早く、単純にするために使われる<ref>{{cite book|title=Calculus, single variable|first=Brian E.|last=Blank|pages=457|publisher=Springer|year=2006|isbn=1-931914-59-1}}</ref>。以下の性質(対数法則)を、両辺の自然対数をとったのちの微分をする前に利用できる。最もよく使われる対数法則<ref name="Bird" />：

: <math>\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b), \qquad
\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b), \qquad
\ln(a^n) = n\ln(a)</math>

===一般の場合===
{{仮リンク|大文字パイ表記|en|Multiplication#Capital Pi notation}}を使って、
:<math>f(x)=\prod_i(f_i(x))^{\alpha_i(x)}.</math>
自然対数を適用すると（[[総和|大文字シグマ表記]]を使って）
:<math>\ln (f(x))=\sum_i\alpha_i(x)\cdot \ln(f_i(x))</math>
となり、微分すると、
:<math>\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_i\left[\alpha_i'(x)\cdot \ln(f_i(x))+\alpha_i(x)\cdot \frac{f_i'(x)}{f_i(x)}\right].</math>
もとの関数の導関数を得るために整理すると
:<math>f'(x)=\overbrace{\prod_i(f_i(x))^{\alpha_i(x)}}^{f(x)}\times\overbrace{\sum_i\left\{\alpha_i'(x)\cdot \ln(f_i(x))+\alpha_i(x)\cdot \frac{f_i'(x)}{f_i(x)}\right\}}^{[\ln (f(x))]'}</math>

==応用==

===積===
[[自然対数]]は2つの関数の積
:<math>f(x)=g(x)h(x)\,\!</math>
に適用されて積を和に変える
:<math>\ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x))\,\!</math>
[[連鎖律|チェインルール]]と{{仮リンク|微分の和の法則|label=和の法則|en|sum rule in differentiation}}を適用して微分する
:<math>\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}</math>
整理すると<ref>{{cite book|title=An Elementary Treatise on the Differential Calculus|first=Benjamin|last=Williamson|publisher=BiblioBazaar, LLC|year=2008|pages=25–26|isbn=0-559-47577-2}}</ref>
:<math>f'(x) = f(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}=
g(x)h(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}</math>

===商===
[[自然対数]]は2つの関数の商
:<math>f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\,\!</math>
に適用されて割り算を引き算に変える
:<math>\ln(f(x))=\ln\Bigg(\frac{g(x)}{h(x)}\Bigg)=\ln(g(x))-\ln(h(x))\,\!</math>
[[連鎖律|チェインルール]]と{{仮リンク|微分の和の法則|label=和の法則|en|sum rule in differentiation}}を適用して微分する
:<math>\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}</math>
整理すると
:<math>f'(x) = f(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}=
\frac{g(x)}{h(x)}\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}</math>

展開して{{仮リンク|共通分母|en|common denominator}}公式を使った後結果は[[商の法則]]を <math>f(x)</math> に直接適用したのと同じである。

===Composite exponent===
次の形の関数に対して
:<math>f(x)=g(x)^{h(x)}\,\!</math>
[[自然対数]]は冪乗を積に変える
:<math>\ln(f(x))=\ln\left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x) \ln(g(x))\,\!</math>
[[連鎖律|チェインルール]]と{{仮リンク|微分における和の法則|label=積の法則|en|sum rule in differentiation}}を適用して微分する
:<math>\frac{f'(x)}{f(x)} = h'(x) \ln(g(x)) + h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}</math>
整理すると
:<math>f'(x) = f(x)\times \Bigg\{h'(x) \ln(g(x)) + h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\Bigg\}=
g(x)^{h(x)}\times \Bigg\{h'(x) \ln(g(x)) + h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\Bigg\}.</math>
同じ結果は ''f'' を [[指数関数|exp]] の言葉で書き直しチェインルールを適用することによって得ることができる。

==関連項目==
{{Wikibooks-inline|Calculus/More Differentiation Rules#Logarithmic differentiation|extratext=: see for textbook examples of logarithmic differentiation.}}
{{Portal|数学}}
* 任意の[[リー群]]への一般化に対して、[[ダルブー導関数]]、[[モーレー・カルタンの微分形式]]
* [[:en:List of logarithm topics]]
* [[:en:List of logarithmic identities]]

==脚注==
<references/>

==外部リンク==
*{{cite web|url=http://www.mathcentre.ac.uk/students/topics/differentiation/by-logs/|title=Differentiation by taking logarithms – Teach yourself|publisher=mathcentre.ac.uk|accessdate=2012-01-03}}
*{{cite web|url=http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/logdiffdirectory/LogDiff.html|title=Logarithmic differentiation|accessdate=2009-03-10}}
*{{cite web|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LogDiff.aspx|title=Calculus I – Logarithmic differentiation|accessdate=2009-03-10}}

{{DEFAULTSORT:たいすうひふんほう}}
[[Category:微分学]]
[[Category:数学に関する記事]]