対数的微分形式のソースを表示

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[[複素多様体|複素多様体論]]や[[代数多様体|代数多様体論]]では、'''対数的'''(logarithmic)[[微分形式]]は、ある種類の[[極 (複素解析)|極]]をもつ有理型微分形式である。

X を複素多様体とし、D ⊂ X を[[因子 (代数幾何学)|因子]]、ω を X−D 上の正則 p-形式とする。ω と dω が D に沿って大きくとも 1 の位数の極を持つとき、ω を D に沿って対数的極を持つという。ω は対数的 p-形式とも呼ばれる。対数的 p-形式はD に沿った X 上の有理 p-形式の[[層 (数学)|層]]をなし、次のように書く。
:<math>\Omega^p_X(\log D).</math>

[[リーマン面]]の理論では、次の局所表現を持つ対数的 1-形式が存在する。ある[[有理型函数]]（[[有理函数]]） <math> f(z) = z^mg(z) </math> に対し
:<math>\omega = \frac{df}{f} =\left(\frac{m}{z} + \frac{g'(z)}{g(z)}\right)dz</math>
となる。ここに g は 0 で正則で 0 とはならなく、m は f の 0 でのオーダーである。すなわち、ある[[被覆空間|開被覆]]が存在し、この微分形式の[[対数微分]]としての局所表現が存在する（通常の[[微分作用素]] d/dz の中の[[外微分]] d を少し変形する）。ω が整数の留数の単純極を持つだけであることに注意する。高次元の複素多様体では、{{仮リンク|ポアンカレ留数|en|Poincaré residue}}(Poincaré residue)は、極に沿った対数的微分形式の振る舞いを記述することに使われる。
<!--In contexts including [[complex manifold]]s and [[algebraic geometry]], a '''logarithmic''' [[differential form]] is a meromorphic differential form with [[pole (complex analysis)|poles]] of a certain kind.

Let ''X'' be a complex manifold, and ''D'' ⊂ ''X'' a [[divisor]] and ω a holomorphic ''p''-form on ''X''−''D''. If ω and ''d''ω have a pole of order at most one along ''D'', then ω is said to have a logarithmic pole along ''D''. ω is also known as a logarithmic ''p''-form. The logarithmic ''p''-forms make up a [[Sheaf (mathematics)|subsheaf]] of the meromorphic ''p''-forms on ''X'' with a pole along ''D'', denoted

:<math>\Omega^p_X(\log D).</math>

In the theory of [[Riemann surfaces]], one encounters logarithmic one-forms which have the local expression

:<math>\omega = \frac{df}{f} =\left(\frac{m}{z} + \frac{g'(z)}{g(z)}\right)dz</math>

for some [[meromorphic function]] (resp. [[rational function]]) <math> f(z) = z^mg(z) </math>, where ''g'' is holomorphic and non-vanishing at 0,  and ''m'' is the order of ''f'' at ''0''.. That is, for some [[open covering]], there are local representations of this differential form as a [[logarithmic derivative]] (modified slightly with the [[exterior derivative]] ''d'' in place of the usual [[differential operator]] ''d/dz''). Observe that ω has only simple poles with integer residues. On higher-dimensional complex manifolds, the [[Poincaré residue]] is used to describe the distinctive behavior of logarithmic forms along poles.-->

==正則対数複体==
<math>\Omega^p_X(\log D)</math> の定義と外微分形式 d は d<sup>2</sup> = 0 を満たすという事実により、
:<math> d\Omega^p_X(\log D)(U)\subset \Omega^{p+1}_X(\log D)(U) </math>
を得る。このことは、因子 D に対応する'''正則対数複体'''(holomorphic log complex)として知られている層の複体 <math>( \Omega^{\bullet}_X(\log D), d) </math> が存在することを意味する。この複体は、<math> j_*\Omega^{\bullet}_{X-D} </math> の部分複体であり、そこでは <math> j:X-D\rightarrow X </math> は包含写像であり、<math> \Omega^{\bullet}_{X-D} </math> は X − D 上の正則形式の層の複体である。
<!--==Holomorphic log complex==
By definition of <math>\Omega^p_X(\log D)</math> and the fact that exterior differentiation ''d'' satisfies ''d''<sup>2</sup> = 0, one has
:<math> d\Omega^p_X(\log D)(U)\subset \Omega^{p+1}_X(\log D)(U) </math>. 
This implies that there is a complex of sheaves <math>( \Omega^{\bullet}_X(\log D), d) </math>, known as the ''holomorphic log complex'' corresponding to the divisor ''D''. This is a subcomplex  of <math> j_*\Omega^{\bullet}_{X-D} </math>, where <math> j:X-D\rightarrow X </math> is the inclusion and <math> \Omega^{\bullet}_{X-D} </math> is the complex of sheaves of holomorphic forms on ''X''−''D''.-->

特別に興味のわく場合は、D が単純に{{仮リンク|横断的交叉|en|normal crossings}}(normal crossings)を持つ場合である。従って、<math> \{D_{\nu}\} </math> が D の滑らかな既約成分であれば、<math> D = \sum D_{\nu} </math> と <math> D_{\nu} </math> は横断的に交わる。局所的に、D は超平面の合併で、何らかの正則座標系で形式 <math> z_1\cdots z_k = 0 </math> の方程式として局所的定義される。従って、<math> \Omega^1_X(\log D) </math> の p での茎は<ref name="foo">Chris A.M. Peters; Joseph H.M. Steenbrink (2007). Mixed Hodge Structures. Springer. ISBN 978-3-540-77017-6</ref>、
:<math>\Omega_X^1(\log D)_p = \mathcal{O}_{X,p}\frac{dz_1}{z_1}\oplus\cdots\oplus\mathcal{O}_{X,p}\frac{dz_k}{z_k} \oplus \mathcal{O}_{X,p}dz_{k+1} \oplus \cdots \oplus \mathcal{O}_{X,p}dz_n</math>
と
:<math> \Omega_X^k(\log D)_p = \bigwedge^k_{j=1} \Omega_X^1(\log D)_p </math>
を満たす。

たとえば、<ref name = "foo2">Phillip A. Griffiths; Joseph Harris (1979). Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8.</ref> に見られるように、このことは、'''対数複体'''の項を、横断的交叉を持つ因子に対応する正則対数複体として使う著者もいる。
<!--Of special interest is the case where ''D'' has simple [[normal crossings]]. Then if <math> \{D_{\nu}\} </math> are the smooth, irreducible components of ''D'', one has <math> D = \sum D_{\nu} </math> with the <math> D_{\nu} </math> meeting transversely. Locally ''D'' is the union of hyperplanes, with local defining equations of the form <math> z_1\cdots z_k = 0 </math> in some holomorphic coordinates. One can show that the stalk of <math> \Omega^1_X(\log D) </math> at ''p'' satisfies<ref name="foo">Chris A.M. Peters; Joseph H.M. Steenbrink (2007). Mixed Hodge Structures. Springer. ISBN 978-3-540-77017-6</ref>
:<math>\Omega_X^1(\log D)_p = \mathcal{O}_{X,p}\frac{dz_1}{z_1}\oplus\cdots\oplus\mathcal{O}_{X,p}\frac{dz_k}{z_k} \oplus \mathcal{O}_{X,p}dz_{k+1} \oplus \cdots \oplus \mathcal{O}_{X,p}dz_n</math>
and that
:<math> \Omega_X^k(\log D)_p = \bigwedge^k_{j=1} \Omega_X^1(\log D)_p </math>.
Some authors, e.g.,<ref name = "foo2">Phillip A. Griffiths; Joseph Harris (1979). Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8.</ref> use the term ''log complex'' to refer to the holomorphic log complex corresponding to a divisor with normal crossings.-->

===高次元の例===
<math> g(x,y) = y^2 - f(x) = 0 </math> を満たす複素数の点 (x, y) の軌跡として与えられたひとつ穴のあいた楕円曲線を考える。そこでは、<math>f(x) = x(x-1)(x-\lambda) </math> と <math> \lambda\neq 0,1 </math> は複素数である。すると、D は '''C'''<sup>2</sup> の中の滑らかな既約な[[超平面]]であり、特に、因子は単純な横断的交叉を持っている。'''C'''<sup>2</sup> 上に有理型 2-形式
:<math> \omega =\frac{dx\wedge dy}{g(x,y)} </math>
が存在する。これらは極 D に沿っている。D にそった ω のポアンカレ留数<ref name = "foo2"/>は正則 1-形式
:<math> \text{Res}_D(\omega) = \frac{dy}{\partial g/\partial x}|_D =-\frac{dx}{\partial g/\partial y}|_D = -\frac{1}{2}\frac{dx}{y}|_D </math>
により与えられる。{{仮リンク|ギシン完全系列|en|Gysin sequence}}(Gysin sequence)は、対数的微分形式の留数理論にとって不可欠であり、ある意味ではコンパクトリーマン面の[[留数定理]]の一般化である。留数定理は、たとえば、<math>dx/y|_D </math> が '''P'''<sup>2</sup> の中の[[:en:Projective space#Projective space and affine space|射影閉包]]上の正則 1-形式が、滑らかな楕円曲線へ拡張される。
<!--===Higher-dimensional example===
Consider a once-punctured elliptic curve, given as the locus ''D'' of complex points (''x'',''y'') satisfying <math> g(x,y) = y^2 - f(x) = 0 </math>, where <math>f(x) = x(x-1)(x-\lambda) </math> and <math> \lambda\neq 0,1 </math> is a complex number. Then ''D'' is a smooth irreducible [[hypersurface]] in '''C'''<sup>2</sup> and, in particular, a divisor with simple normal crossings. There is a meromorphic two-form on '''C'''<sup>2</sup> 
:<math> \omega =\frac{dx\wedge dy}{g(x,y)} </math>
which has a simple pole along ''D''. The Poincaré residue <ref name = "foo2"/> of ω along ''D'' is given by the holomorphic one-form
:<math> \text{Res}_D(\omega) = \frac{dy}{\partial g/\partial x}|_D =-\frac{dx}{\partial g/\partial y}|_D = -\frac{1}{2}\frac{dx}{y}|_D </math>.
Vital to the residue theory of logarithmic forms is the [[Gysin sequence]], which is in some sense a generalization of the [[Residue Theorem]] for compact Riemann surfaces. This can be used to show, for example, that <math>dx/y|_D </math> extends to a holomorphic one-form on the [[Projective space#Projective space and affine space|projective closure]] of ''D'' in '''P'''<sup>2</sup>, a smooth elliptic curve.-->

=== ホッジ理論 ===
正則対数複体は、複素代数多様体の[[ホッジ理論]]への適用することが可能である。X を複素代数多様体、<math> j: X\hookrightarrow Y </math> を良いコンパクト化とする。このことは Y がコンパクト代数多様体で、D = Y − X が Y 上の単純な横断的交叉をもつ因子であることを意味する。層の複体の自然な包含写像
:<math> \Omega^{\bullet}_Y(\log D)\rightarrow j_*\Omega_{X}^{\bullet} </math>
は、[[擬同型]]であることがわかる。このように、
:<math> H^k(X;\mathbf{C}) = \mathbb{H}^k(Y, \Omega^{\bullet}_Y(\log D))</math>
となる。ここに <math>\mathbb{H}^{\bullet}</math> はアーベル層の複体の{{仮リンク|超コホモロジー|en|hypercohomology}}(hypercohomology) を表わす。<ref name="foo"/> には降下フィルトレーション <math>W_{\bullet} \Omega^p_Y(\log D) </math> が存在し、
:<math>W_{m}\Omega^p_Y(\log D) =  \begin{cases}
0 & m < 0\\
\Omega^p_Y(\log D) & m\geq p \\
\Omega^{p-m}_Y\wedge \Omega^m_Y(\log D) & 0\leq m \leq p
\end{cases} </math>
で与えられることが示されている。このフィルトレーションは、対数的 p-形式の自明な上昇フィルトレーション <math>F^{\bullet}\Omega^p_Y(\log D) </math> に沿って、コホモロジー上のフィルトレーション
:<math> W_mH^k(X; \mathbf{C}) = \text{Im}(\mathbb{H}^k(Y, W_{m-k}\Omega^{\bullet}_Y(\log D))\rightarrow H^k(X; \mathbf{C})) </math>
:<math> F^pH^k(X; \mathbf{C}) = \text{Im}(\mathbb{H}^k(Y, F^p\Omega^{\bullet}_Y(\log D))\rightarrow H^k(X; \mathbf{C})) </math>
を再現する。<ref name="foo"/> では、<math> W_mH^k(X; \mathbf{C}) </math> を実際、'''Q''' 上で定義することができるので、コホモロジー上のフィルトレーション <math> W_{\bullet}, F^{\bullet}</math> は <math> H^k(X; \mathbf{Z}) </math> 上の混合ホッジ構造を発生させる。

古典的には、たとえば、[[楕円函数]]の理論の中では、対数的微分形式は{{仮リンク|第一種微分形式|en|differentials of the first kind}}(differentials of the first kind)の補完物と考えられてきた。対数的微分形式は、'''第二種微分形式'''と呼ばれることもある（不幸にも、'''第三種微分形式'''との間に不整合がある）。古典論は、現在では、ホッジ理論の一面として取り込まれている。たとえば、あるリーマン面 S に対し、第一種微分形式は、H<sup>1</sup>(S) の項 H<sup>1,0</sup> として考えられている。[[ドルボー同型]]により[[層コホモロジー]]群 H<sup>0</sup>(S,Ω) として解釈すると、これらの定義は同義と考えられる定義である。0 が S 上の[[正則函数]] の層であるとき、 H<sup>1</sup>(S,O) と解釈できるように、H<sup>1</sup>(S) の中の H<sup>1,0</sup> 直和を、対数的微分形式のベクトル空間として、より具体的にみなすことができる。
<!--=== Hodge theory ===
The holomorphic log complex can be brought to bear on the [[Hodge theory]] of complex algebraic varieties. Let ''X'' be a complex algebraic manifold and <math> j: X\hookrightarrow Y </math> a good compactification. This means that ''Y'' is a compact algebraic manifold and ''D'' = ''Y''−''X'' is a divisor on ''Y'' with simple normal crossings. The natural inclusion of complexes of sheaves
:<math> \Omega^{\bullet}_Y(\log D)\rightarrow j_*\Omega_{X}^{\bullet} </math>
turns out to be a quasi-isomorphism.  Thus
:<math> H^k(X;\mathbf{C}) = \mathbb{H}^k(Y, \Omega^{\bullet}_Y(\log D))</math>
where <math>\mathbb{H}^{\bullet}</math> denotes [[hypercohomology]] of a complex of abelian sheaves. There is<ref name="foo"/> a decreasing filtration <math>W_{\bullet} \Omega^p_Y(\log D) </math> given by
:<math>W_{m}\Omega^p_Y(\log D) =  \begin{cases}
0 & m < 0\\
\Omega^p_Y(\log D) & m\geq p \\
\Omega^{p-m}_Y\wedge \Omega^m_Y(\log D) & 0\leq m \leq p
\end{cases} </math>
which, along with the trivial  increasing filtration <math>F^{\bullet}\Omega^p_Y(\log D) </math> on logarithmic ''p''-forms, produces filtrations on cohomology
:<math> W_mH^k(X; \mathbf{C}) = \text{Im}(\mathbb{H}^k(Y, W_{m-k}\Omega^{\bullet}_Y(\log D))\rightarrow H^k(X; \mathbf{C})) </math>
:<math> F^pH^k(X; \mathbf{C}) = \text{Im}(\mathbb{H}^k(Y, F^p\Omega^{\bullet}_Y(\log D))\rightarrow H^k(X; \mathbf{C})) </math>.
One shows<ref name="foo"/> that <math> W_mH^k(X; \mathbf{C}) </math> can actually be defined over '''Q'''. Then the filtrations <math> W_{\bullet}, F^{\bullet}</math> on cohomology give rise to a mixed Hodge structure on <math> H^k(X; \mathbf{Z}) </math>.

Classically, for example in [[elliptic function]] theory, the logarithmic differential forms were recognised as complementary to the [[differentials of the first kind]]. They were sometimes called ''differentials of the second kind'' (and, with an unfortunate inconsistency, also sometimes ''of the third kind''). The classical theory has now been subsumed as an aspect of Hodge theory. For a Riemann surface ''S'', for example, the differentials of the first kind account for the term ''H''<sup>1,0</sup> in ''H''<sup>1</sup>(''S''), when by the [[Dolbeault isomorphism]] it is interpreted as the [[sheaf cohomology]] group ''H''<sup>0</sup>(''S'',Ω); this is tautologous considering their definition. The ''H''<sup>1,0</sup> direct summand in ''H''<sup>1</sup>(''S''), as well as being interpreted as ''H''<sup>1</sup>(''S'',O) where O is the sheaf of [[holomorphic function]]s on ''S'', can be identified more concretely with a vector space of logarithmic differentials.-->

==関連項目==
*[[代数幾何学]]
*[[随伴公式 (代数幾何学)|随伴公式]]
*{{仮リンク|第一種微分|en|Differential of the first kind}}(Differential of the first kind)
*[[留数定理]]

==参考文献==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:たいすうひふんけいしき}}
[[Category:複素解析]]
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]