対数螺旋のソースを表示

{{脚注の不足|date=2022-02-10}}
{|align=right
|[[File:Logarithmic spiral (1).svg|thumb|200px|ピッチが10度の対数螺旋]]
|-
|[[File:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|200px|[[オウムガイ]]の殻はきれいな対数螺旋である。]]
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|[[File:Low pressure system over Iceland.jpg|thumb|200px|[[アイスランド]]南西沖の[[寒冷低気圧]]（2003年9月4日）。[[北半球]]と[[南半球]]では巻きの向きが逆になる。]]
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|[[File:Messier51.jpg|thumb|200px|歴史上、初めて[[渦巻銀河]]と確認された銀河 [[子持ち銀河|M51]]]]
|}
'''対数螺旋'''（たいすうらせん、{{lang-en-short|logarithmic spiral}}）とは、自然界によく見られる[[渦巻|螺旋]]の一種である。'''等角螺旋'''（とうかくらせん、{{lang-en-short|equiangular spiral}}）、'''ベルヌーイの螺旋'''ともいい、「螺旋」の部分は螺線、渦巻線（うずまきせん）、匝線（そうせん）などとも書く。[[ヤコブ・ベルヌーイ]]（ジャック・ベルヌーイ）は、[[17世紀]]の[[スイス]]の数学者。

== 定義 ==
[[極座標系|極座標表示]] (''r'', &theta;) で
{{Indent|<math>r=ae^{b\theta}\,</math>}}
と表される平面曲線を対数螺旋という。ここに''e'' は[[ネイピア数]]、''a'', ''b'' は固定された[[実数]]である。''r'' が原点からの距離を表すため、''a'' は[[正の数と負の数|正]]でなければならないが、''b'' は正、負のどちらでも構わない。正の場合は中心から離れる際に左曲がりである螺旋になり、負の場合は右曲がりの螺旋になる。裏返すことによって左曲がりを右曲がりにできるため、''b'' &gt; 0 に限った定義をすることもある。定義式において形式的に ''b'' = 0 とすると、半径 ''a'' の[[円 (数学)|円]]となる。

定義式は
{{Indent|<math>\theta=\frac{1}{b}\log \frac{r}{a}</math>}}
とも書ける。歴史的には[[指数関数]]よりも[[対数]]の方が先に認知されていたので、「対数螺旋」と呼ばれるようになった。''b'' が正の場合、''r'' が 0 に近付くと &theta; はいくらでも小さくなる。同様に、''b'' が負の場合は''r'' が 0 に近付くと &theta; はいくらでも大きくなる。したがって、いずれの場合も原点付近では無限回渦巻いている。
[[直交座標系|直交座標]]における[[媒介変数]]表示として、
{{Indent|<math>x(\theta) = r \cos \theta = ae^{b\theta} \cos \theta\,</math>}}
{{Indent|<math>y(\theta) = r \sin \theta = ae^{b\theta} \sin \theta\,</math>}}
とも表せる。

後述する理由により、対数螺旋とは（ひとつの定数 ''B'' のみを用いて）
{{Indent|<math>r=B^\theta\,</math>}}
で定まる曲線である、と定義されることもある。ただし、''B'' は 1 ではない正の数。
{{clear}}

== 性質 ==
[[Image:Animated log spiral.gif|200px|right|thumb|対数螺旋の回転は、拡大・縮小と同等の変形である。]]
本節では、対数螺旋の式は
{{Indent|<math>\mathbf{r}(\theta) = (ae^{b\theta} \cos \theta,\,ae^{b\theta} \sin \theta)</math>}}
で与えられているとする。

対数螺旋は[[自己相似]]である。すなわち、任意の倍率で拡大または縮小したものは、適当な回転によって元の螺旋と一致する。例えば、''e''<sup>2&pi;''b''</sup> 倍に拡大したものは、回転することなしに元の螺旋と一致する。対数螺旋は、拡大・縮小以外にも様々な変換に対する不変性を持つ。例えば、[[伸開線]]および[[縮閉線]]は自分自身に一致する<ref>岩波数学辞典第4版 100.G</ref>。

中心から伸ばした[[直線|半直線]]と螺旋は無限回交わるが、隣り合う交点について、原点との距離の比は一定で ''e''<sup>2&pi;''b''</sup> である。対して、距離の差が一定であるような螺旋が[[アルキメデスの螺旋]]である。

中心から伸ばした半直線と対数螺旋が成す角は一定である。等角螺旋の名はこの性質に由来する。実際、その角 &alpha; は
{{Indent|<math>\alpha=\arccos \frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \arccos \frac{b}{\sqrt{b^2+1}} = \arccot b</math>}}
と計算される。''b'' が正のとき、&alpha; は0度から90度の間の角であり、&alpha; の余角 90&deg;&minus; &alpha; を対数螺旋の'''ピッチ''' (pitch) という。''b'' が負のときは、&alpha; は90度から180度の間の角であり、&alpha; &minus; 90&deg; がピッチである。ピッチが大きいほど、螺旋に沿って中心から遠ざかる際に、中心からの直線距離がより速く大きくなる。すなわち、開いた形状になる。ピッチが0度に近付いた極限は円で、ピッチが90度に近付いた極限は中心から伸びた半直線と見ることもできる。

対数螺旋の形状は巻きの向きとピッチのみ、すなわち ''b'' のみによって決まるので、回転による違いを考慮しないならば、対数螺旋とは ''r'' = ''e''<sup>''b''&theta;</sup> によって定まる曲線である、と定義してもよい。''B'' = ''e''<sup>''b''</sup> とおけば、さらに簡潔な式 ''r'' = ''B''<sup>&theta;</sup> で定義できる。

螺旋上の一点から螺旋に沿って中心に向かうと、前述のように無限回渦巻き、中心に辿り着くことはできないが、その道のりは有限である。実際、例えば ''b'' が正のとき、中心からの直線距離が ''r'' である点 (''r'' cos &theta;, ''r'' sin &theta;) （ただし、''r'' = ''ae''<sup>''b''&theta;</sup>）から中心までの道のりは
{{Indent|<math>\int_{-\infty}^\theta \|\mathbf{r}'(\theta)\| d\theta = \frac{a\sqrt{b^2+1}}{|b|}e^{b \theta}=r|\sec \alpha|</math>}}
と計算される（結論は ''b'' が負のときも成り立つ）。

[[曲率|曲率関数]]は
{{Indent|<math>\chi(\theta)=\frac{1}{ae^{b\theta}\sqrt{b^2+1}}=\frac{\sin \alpha}{r}</math>}}
である。螺旋の見た目からも明らかなように、中心に近付くほど限りなく大きくなり、中心から遠ざかるほど限りなく 0 に近付く。''b'' が正である場合は曲率関数は[[単調関数|単調減少]]であり、''b'' が負である場合は単調増加である。この性質は進行方向に依らない。

指数関数は、[[複素数平面]]において、実軸にも虚軸にも平行でない直線を対数螺旋に写す。しかも、任意の対数螺旋はそのようにして得られる。実際、指数関数によって
{{Indent|<math>x+iy \mapsto e^x \sin y+i e^x \cos y</math>}}
と対応するから、直線 ''x'' = ''cy'' + ''d'' (''c'' &ne; 0) 上の点 (''x'', ''y'') は
{{Indent|<math>(e^d e^{cy} \cos y, e^d e^{cy} \cos y)\,</math>}}
に写る。

同じく複素数平面において、実部と虚部がともに 0 でない定数 ''k'' に対する関数 ''x''<sup>''k''</sup> は、実軸を対数螺旋に写す。

また、複素数平面において、絶対値が１以外で、非負の実数以外の任意の複素数の実数乗（の主値）の集合は、対数螺旋を成す。

== 自然界における対数螺旋 ==
対数螺旋は、自然界のさまざまなところで観察される。例えば、[[ハヤブサ|隼]]が獲物に近付くとき、対数螺旋を描いて飛行する。その理由は、獲物を一定の角度で視認するためと考えられる<ref name="#1">リヴィオ、p. 149</ref>。同様に、[[ハチ|蜂]]が花に向かって飛ぶ軌跡も対数螺旋に近い<ref>上村、p. 125</ref>。

[[File:Polygon spiral.svg|thumb|250px|相似な多角形を連ねていくと、対数螺旋に近い形を描く。]]
[[軟体動物]]の殻、[[ウシ|牛]]や[[ヒツジ|羊]]の角、[[ゾウ|象]]の牙など、硬化する部位で、本体の成長に伴って次第に大きい部分を追加することで成長するような生物の器官において、対数螺旋が観察される<ref>『[[世界大百科事典]]』[[平凡社]]、1988年、螺旋の項</ref>。その理由は、図のように相似で少しずつ大きくなる多角形が次々に形成されていくと、螺旋に近い形が描かれるからであると説明される。成長が連続的となるように各断片を小さくしていくと、その極限図形の境界線はちょうど対数螺旋を描く。ピッチは生物によって異なり、[[サザエ]]では約10度、[[アワビ]]では約30度、[[ハマグリ]]では約50度である<ref>上村、p. 115</ref>。ピッチが小さい場合は自分自身を巻くことができるので[[巻貝]]に見られ、ピッチが大きいものは大きく口を開けた形の[[二枚貝]]や[[アワビ]]・[[カサガイ]]のようなものに見られる。 

[[渦巻銀河]]の渦上腕は、ピッチがおよそ10度から40度の対数螺旋の形状に近い。[[太陽系]]を含む[[銀河]]である[[銀河系]]は、主要な渦状腕を4本持つとされ、そのピッチは比較的小さく、12度ほどと考えられている<ref>Y. M. Georgelin and Y. P. Georgelin, ''The spiral structure of our Galaxy determined from H II regions'', Astronomy and Astrophysics, vol. 49, no. 1, May 1976, p. 57-79. [https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1976A&A....49...57G abstract]</ref>。

なお、同じ渦巻きでも[[クモの網]]に見られる横糸の渦巻きはアルキメデスの螺旋である。巻き貝、あるいはそれ的なものでも、[[オオヘビガイ]]のようにあまり太さを増さないままに巻数が多いものはこれに近くなる。

== 人工物における対数螺旋 ==
[[File:Erechteion - chapiteau.jpg|200px|thumb|left|[[紀元前5世紀]]に完成した[[イオニア式]]建築の神殿[[エレクテイオン]]の柱頭]]
[[File:VaticanMuseumStaircase.jpg|200px|thumb|right|[[バチカン美術館]]の二重螺旋階段]]
アルキメデスの螺旋ほどではないが、[[ルネ・デカルト|デカルト]]やベルヌーイが数学的に解析するよりも前から、自然界に現れる対数螺旋は人々に認識されており、美術作品や建造物に用いられたといわれる。例えば、[[古代ギリシア]]の建築様式のひとつ、[[イオニア式]]の柱頭の特徴は、組になった渦巻の飾りであり、対数螺旋に近いものもある<ref>アータレイ、p. 83</ref>。また、ジュゼッペ・モーモの設計した[[バチカン美術館]]の二重螺旋階段は、真上から見ると対数螺旋である<ref>アータレイ、p. 110</ref>。
{{clear}}
自由渦が対数螺旋を描くこと、非粘性流体の軌跡は対数螺旋を描くため<ref name="HitachiHyoron1971">{{cite journal|journal=日立評論 |author=桜井照男 |url=https://www.hitachihyoron.com/jp/pdf/1971/12/1971_12_02.pdf |date=1971年12月 |volume=53 |issue=12 |df=ja |language=ja |access-date=2023-11-15 }}</ref>、水力発電における[[フランシス水車]]などの水車原動機や[[渦巻きポンプ]]のディフューザーおよびケーシングの設計には古くから対数螺旋曲線が用いられている<ref name="HitachiHyoron1971" /><ref>{{cite journal |author1=黒川淳一 |author2=伊丹孝之 |author3=永原英明 |url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/kikaib1979/52/480/52_480_2963/_pdf/-char/ja |df=ja |language=ja |date=1986-08-25 |journal=日本機械学会論文集 |work=B編 |publisher=日本機械学会 |access-date=2023-11-15 }}</ref>。比較的低圧の[[シロッコ扇風機|シロッコファン]]の羽根およびケーシングも対数螺旋であるが<ref>{{cite web2 |df=ja |language=ja |url=https://sunriseyokohama.com/fan-motor08/ |title=ファンケースの設計 |date=2022-11-29 |publisher=有限会社サンライズ |access-date=2023-11-15}} ただしこれに限定されない。</ref>コストアップになるため超小型ファンではケーシングを代数螺旋や円筒で代用したものも少なくなかった。しかしながら家庭用ゲーム機の熱容量向上に伴いあえてコスト高となる対数螺旋ケーシングの採用に踏み切る例が出てきた{{Refnest|[[PlayStation 3]]後期型や[[PlayStation 4]]の内部冷却機構に取り入れられ、導入前と比較して熱処理特性を大幅に改善した<ref>{{Cite web2 |df=ja |language=ja |author=米田聡 |url=https://www.4gamer.net/games/990/G999024/20140120059/ |title=国内発売まであと約1か月のPS4，筐体設計の秘密が明らかに |date=2014-01-21 |publisher=[[4Gamer.net]] |access-date=2023-11-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140122010528/https://www.4gamer.net/games/990/G999024/20140120059/ |archive-date=2014-01-22  |url-status=live <!-- リンクが無効になったらこのパラメータを dead に変えてください。 -->}}</ref>。}}。

中心から伸ばした半直線と対数螺旋が成す角は一定であることを「[[はさみ]]」に応用した製品も上市された。文房具メーカーの[[プラス (企業)|PLUS]]から刃の開き角度を常に30°を保つよう片方の刃を対数螺旋曲線刃<ref>{{cite web2 |url=https://bungu.plus.co.jp/special/st/fitcutcurve/about/ |title=ベルヌーイカーブ刃とは!? |publisher=[[プラス (企業)|PLUS]] |access-date=2023-11-15 }}</ref>にしたはさみが発売されたことがある<ref>{{cite web2 |df=ja|language=ja |url=https://bungu.plus.co.jp/product/cut/std/fcc_std/ |title=PLUS フィットカットカーブ |publisher=[[プラス (企業)|PLUS]] |access-date=2023-11-15 }}なお本品は終売している。</ref>。

== 黄金螺旋 ==
[[File:FakeRealLogSpiral.svg|250px|thumb|[[黄金長方形]]と黄金螺旋]]
黄金螺旋(golden spiral) とは、[[黄金比]] &phi; に関連した対数螺旋の一種であり、
{{Indent|<math>|b|=\frac{\log \varphi}{\pi/2} \approx 0.30634896253</math>}}
なる定数 ''b'' に対して ''r'' = ''e''<sup>''b''&theta;</sup> で与えられるものである。さらに、''B'' = ''e''<sup>''b''</sup> とおいて、''r'' = ''B''<sup>&theta;</sup> でも定義される。正の ''b'' に対しては
{{Indent|<math>B=\varphi^{2/\pi} \approx 1.358456274</math>}}
であり、負の ''b'' に対しては
{{Indent|<math>B=\varphi^{-2/\pi} \approx 0.736129693</math>}}
である。黄金螺旋のピッチは約17.03239度である。

[[オウムガイ]]の殻の模様は黄金螺旋を描いている、という説は有名である。しかし、その合理的な理由は知られておらず、実際にはオウムガイの殻のピッチは8度から10度であって17度とはかけ離れているなどの、黄金螺旋ではないとの指摘もある<ref>上村、p.129</ref><ref>Zell-Ravenheart, p. 274</ref>。

== 歴史 ==
[[File:Basel - Grabstein Bernoulli.jpg|200px|thumb|対数螺旋を研究した[[ヤコブ・ベルヌーイ]]の墓石。下部に ''Eadem mutata resurgo'' の語句とともに、誤って[[アルキメデスの螺旋]]が彫られている。]]
[[アルブレヒト・デューラー]]は、[[1525年]]の著書『測定法教則』(Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt) において、アルキメデスの螺旋やその変形の作図法について論じた後、次のように述べている。
{{quote|中心に向かいながら同時に上下にも旋回する、内にも外にも無限に進む線が考えられる。この線は無限の大小の故に人の手では引かれない。その始まりと終わりがなく、見い出されず、ただ頭の中で理解されるだけである。|下村耕史訳『「測定法教則」注解』 p. 36}}
まだ曲線を式で表す方法が知られていなかった時代であり、曖昧な表現ではあるが、これは対数螺旋について述べているものと解釈されている<ref>『「測定法教則」注解』 p. 227, p. 300</ref>。

対数螺旋を初めて数学的に考察したのは、[[解析幾何学]]の祖、[[ルネ・デカルト]]である。螺旋の進行方向が中心に対して常に一定の角であることに注目し、この螺旋を等角螺旋と呼んだ<ref name="#1"/>。[[エヴァンジェリスタ・トリチェリ]]は、対数螺旋上の一点から中心までの道のりが有限であることを示した<ref>マオール、p. 164</ref>。

[[ヤコブ・ベルヌーイ]]は、対数螺旋の伸開線および縮閉線は自分自身に一致することを示した。彼は、この螺旋の「拡大しても変わらない」などの性質に魅了され、[[ラテン語]]で ''Spira mirabilis'' （驚異の螺旋）と呼んだ。ベルヌーイの望みは ''Eadem mutata resurgo'' （変化しても同じように生まれ変わる）の語句とともに、[[墓石]]にこの螺旋を彫ってもらうことであったが、誤って[[アルキメデスの螺旋]]が彫られてしまっている<ref>マオール、p. 170</ref>。
{{clear}}

== 脚注 ==
{{Commonscat|Logarithmic spiral|対数螺旋}}
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* [[日本数学会]]編『岩波数学辞典』第4版、[[岩波書店]]、2007年 ISBN 978-4000803090
* マリオ・リヴィオ著、斉藤隆央訳『黄金比はすべてを美しくするか』[[早川書房]]、2005年 ISBN 978-4152086914
* 上村文隆『生き物たちのエレガントな数学』[[技術評論社]]、2007年 ISBN 978-4774132112
* ビューレント・アータレイ著、高木隆司訳、佐柳信男著『モナ・リザと数学』[[化学同人]]、2006年 ISBN 978-4759810585
* Oberon Zell-Ravenheart, Grimoire for the Apprentice Wizard, New Page Books, 2004、ISBN 978-1564147110、[https://books.google.com/books?id=cMuQADen69UC&printsec=frontcover&hl=ja&source=gbs_navlinks_s#v=onepage&q=&f=false グーグルブックスにおける検索結果]
* アルブレヒト・デューラー著、下村耕史編訳『「測定法教則」注解』[[中央公論美術出版]]、2008年、ISBN 978-4805505786
* エリ・マオール著、伊理由美訳『不思議な数eの物語』[[岩波書店]]、1999年 ISBN 978-4000059435

== 関連項目 ==
* [[渦]]
*[[渦巻]]
* [[右巻き、左巻き]]
* [[螺旋]] - 三次元曲線としての螺旋

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1389|対数螺旋の長さと面積}}
* {{MathWorld|urlname=LogarithmicSpiral|title=Logarithmic Spiral}}
* {{MathWorld|urlname=GoldenSpiral|title=Golden Spiral}}
* 上村文隆、[http://hamaguri.sakura.ne.jp/hamaguri1.html はまぐりの数学]
* {{Wayback|url=http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/2607/SPR/Sprl.htm |title=Spiral |date=20031026065827}} - 対数螺旋のピッチを調べることができる[[フリーウェア]]
* NASA, [https://apod.nasa.gov/apod/ap030925.html ''Astronomy Picture of the Day''] - [[ハリケーン・イザベル]]と[[子持ち銀河]]の写真
* NASA, [https://apod.nasa.gov/apod/ap080517.html ''Astronomy Picture of the Day''] - [[平成20年台風第2号]]と[[M101 (天体)|回転花火銀河]]の写真
* Jim Wilson, [http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/golden%20spiral/logspiral-history.html Spira Mirabilis], University of Georgia 
{{貴金属比}}

{{DEFAULTSORT:たいすうらせん}}
[[Category:曲線]]
[[Category:対数]]
[[Category:うず]]
[[Category:ヤコブ・ベルヌーイ]]
[[Category:数学に関する記事]]