対称微分のソースを表示

[[File:Latex.draw.tex.png|right|300px]]
[[数学]]において、'''対称微分'''（たいしょうびぶん、{{lang-en-short|''symmetric derivative''}}）とは、通常の[[微分]]を一般化した[[作用素 (関数解析学)|演算]]であり、次のように定義される<ref name="Mercer2014">{{Cite book|author = Peter R. Mercer|title = More Calculus of a Single Variable|year = 2014|publisher = Springer|isbn = 978-1-4939-1926-0|page = 173}}</ref><ref name="tp1">Thomson, p. 1</ref>。
: <math>\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}.</math>
極限をとらない形はしばしば'''対称[[差分商]]'''と呼ばれる<ref name="LaxTerrell2013">{{Cite book|author1 = Peter D. Lax|author1-link = ピーター・ラックス|author2 = Maria Shea Terrell|title = Calculus With Applications|year = 2013|publisher = Springer|isbn = 978-1-4614-7946-8|page = 213}}</ref><ref name="HockettBock2005">{{Cite book|author1 = Shirley O. Hockett|author2 = David Bock|title = Barron's how to Prepare for the AP Calculus|year = 2005|publisher = Barron's Educational Series|isbn = 978-0-7641-2382-5|pages = 53}}</ref>。関数が点 ''x'' で'''対称微分可能'''であるとは、その点で対称微分が存在することである。

ある点で通常の意味で[[微分可能]]ならば対称微分可能であるが、その逆は必ずしも真ではない。よく知られた例として、[[絶対値|絶対値関数]] ''f''(''x'') = |''x''| は点 ''x'' = 0で微分可能でないが、対称微分可能で 0 になる。微分可能関数において、対称差分商は通常の差分商よりも精度の高い{{仮リンク|数値微分|en|Numerical differentiation}}の近似となる<ref name="LaxTerrell2013" />。

与えられた点での対称微分係数は、その点における左微分係数と右微分係数が存在すればそれらの[[相加平均]]に等しくなる<ref name="Mercer2014">{{Cite book|author = Peter R. Mercer|title = More Calculus of a Single Variable|year = 2014|publisher = Springer|isbn = 978-1-4939-1926-0|page = 173}}</ref><ref>Thomson, p. 6</ref>。

[[ロルの定理]]と[[平均値の定理]]はどちらも対称微分では成り立たないが、同様な弱い命題が成立することが証明されている。

== 例 ==

=== 絶対値関数 ===
[[ファイル:Modulusfunction.png|right|thumb|[[絶対値|絶対値関数]]のグラフ。''x'' = 0 において曲線が微分不可能となる尖った点に注意。 従って関数は ''x'' = 0 において通常の意味での微分は存在しない。 しかし、対称微分は、''x'' = 0 において存在する。]]
[[絶対値|絶対値関数]] <math>f(x)= \left\vert x \right\vert</math> は <math>x=0</math> において、
:<math>\begin{align}
f_s(0)&= \lim_{h \to 0}\frac{f(0+h) - f(0-h)}{2h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{f(h) - f(-h)}{2h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{\left\vert h \right\vert - \left\vert -h \right\vert}{2h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{\left\vert h \right\vert - \left\vert h \right\vert}{2h} \\
&= 0 
\end{align}</math>

<math> h\to0</math> であることに注意し、 <math>\left\vert -h \right\vert</math> が <math>\left\vert h \right\vert</math> と等しいということのみを用いた。よって、絶対値関の対称微分は <math>x=0</math> で通常の意味での微分は存在しないが(<math>x=0</math>の"尖った"点による)、対称微分は存在して0に等しいことがわかる。 

この例では左微分係数、右微分係数ともに存在するが、それらが異なっていたことに注意 (片方は &minus;1 でもう一方は 1 である)。期待された通り、それらの相加平均は0である。

=== ''x''<sup>&minus;2</sup> ===
[[ファイル:Graphinversesqrt.png|right|thumb|''y'' = 1/''x''<sup>2</sup> のグラフ。''x'' = 0 の不連続点に注意。従って関数は ''x'' = 0 で通常の意味での微分を持たない。しかし、対称微分においては、x = 0で微分が定義できる。]]
関数 <math> f(x)=1/x^2</math> は <math>x=0</math>において、
:<math>\begin{align}
f_s(0)&= \lim_{h \to 0}\frac{f(0+h) - f(0-h)}{2h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{f(h) - f(-h)}{2h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{1/h^2 - 1/(-h)^2}{2h} \\
&= \lim_{h \to 0}\frac{1/h^2-1/h^2}{2h} \\
&= 0 
\end{align}</math>
<math> h\to0</math>であることに注意。この関数は <math>x=0</math> において、不連続点に起因して通常の微分が定義できないが、対称微分は存在する。さらに、0においては左微分係数、右微分係数ともに有限値でない、すなわち[[不連続性の分類|真性不連続点]]である。

=== ディリクレ関数 ===
[[ディリクレ関数]]は次のように定義される。
:<math>f(x) =
\begin{cases}
 1, & \text{if } x \in \mathbb{Q},\\
 0, & \text{if } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
\end{cases}</math>

この関数において、対称微分は任意の有理数 ''x'' に対して存在し、任意の無理数 ''x'' に対して存在しない。

==準平均値の定理==
対称微分は通常の[[平均値の定理]]に従わない。反例として、関数 ''f''(''x'') = |''x''| の対称微分は[[像 (数学)|像]] {-1, 0, 1}であるが、関数 ''f'' に対する割線の傾きはより広い範囲で存在する。例えば、区間[-1, 2]において平均値の定理に従うと、（対称）微分の値が<math>\frac{|2|-|-1|}{2-(-1)}=\frac{1}{3}</math>となる点が存在することになってしまう<ref name="SahooRiedel1998"/>。

[[ロルの定理]]に類似した準ロルの定理と呼ばれる定理が1967年にC.E. Aullによって確立された。関数 ''f'' が[[閉区間]][''a'', ''b'']において連続で、[[開区間]](''a'', ''b'')において対称微分可能であり、さらに ''f''(''b'') = ''f''(''a'') = 0 が成り立つならば、開区間(''a'', ''b'')において ''f''<sub>s</sub>(''x'') ≥ 0 かつ ''f''<sub>s</sub>(''y'') を満たすような2点 ''x'', ''y'' が存在する。同じくAullによって確立された、この定理の踏み台となる補題は次のように述べている。関数 ''f'' が[[閉区間]][''a'', ''b'']において連続で、[[開区間]](''a'', ''b'')において対称微分可能であり、さらに ''f''(''b'') > ''f''(''a'') ならば、開区間(''a'', ''b'')において対称微分が非負である点、つまり上記の記法に従えば ''f''<sub>s</sub>(''z'') ≥ 0 となる点 ''z'' が存在する。同様に、''f''(''b'') < ''f''(''a'') ならば、開区間(''a'', ''b'')において''f''<sub>s</sub>(''z'') ≤ 0 となる点 ''z'' が存在する。<ref name="SahooRiedel1998">{{cite book|author1=Prasanna Sahoo|author2=Thomas Riedel|title=Mean Value Theorems and Functional Equations|year=1998|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-3544-4|pages=188-192}}</ref>

対称微分可能な関数に対する'''準平均値の定理'''は、関数 ''f'' が[[閉区間]][''a'', ''b'']において連続で、[[開区間]](''a'', ''b'')において対称微分可能ならば、開区間(''a'', ''b'')において次を満たすような2点 ''x'', ''y'' が存在する。

:<math>f_s(x) \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq f_s(y)</math>.<ref name="SahooRiedel1998"/><ref>Thomson, p. 7</ref>

応用として、関数 ''f''(''x'') = |''x''| の 0 を含む区間では、準平均値の定理により ''f'' の任意の[[割線]]の傾きは -1 と 1 の間である。

関数 ''f'' の対称微分が{{enlink|Darboux property|p=off}}を持つならば、通常の意味での平均値の定理が成立する。即ち、(''a'', ''b'')において点 ''z'' が存在して、

:<math>f_s(z) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>.<ref name="SahooRiedel1998"/>

結果として、関数が[[連続関数|連続]]でその対称微分も連続ならば、その関数は通常の意味で微分可能である。<ref name="SahooRiedel1998"/>

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|中央差分スキーム|en|Central differencing scheme}}
* [[ルベーグの密度定理|密度点]]
* [[シュワルツ超函数|超函数微分]]
* [[微分の一般化]]
* [[対称連続関数]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* <span class="citation book">Thomson, Brian S. (1994). ''Symmetric Properties of Real Functions''. Marcel Dekker. {{ISBN2| 0-8247-9230-0}}.</span>
* <span class="citation book">A.B. Kharazishvili (2005). ''Strange Functions in Real Analysis, Second Edition''. CRC Press. p.&nbsp;34. {{ISBN2| 978-1-4200-3484-4}}.</span>
* Aull, C.E.: "The first symmetric derivative". ''Am. Math. Mon.'' 74, 708–711 (1967)

== 外部リンク ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/ApproximatingTheDerivativeByTheSymmetricDifferenceQuotient/ Approximating the Derivative by the Symmetric Difference Quotient (Wolfram Demonstrations Project)]

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