対称性のソースを表示

{{Otheruses|対称性一般や空間における対称性|[[物理学]]における対称性|対称性 (物理学)}}{{Redirect|対称|[[文法]]における「対称」|二人称}}
{{出典の明記|date=2016-09-17}}
{{Expand English|Symmetry|date=2024年5月}}
[[File:Asymmetric (PSF).svg|thumb|right|400px|図形が、鏡像対称性を持つ例（左）と、鏡像対称性を持たない例（右）。対称性を持たないものは{{仮リンク|非対称|en|Asymmetry|redirect=1}}と言う。]]
'''対称性'''（たいしょうせい、{{Lang-la-short|symmetria}}, {{Lang-el-short|συμμετρία}}, {{Lang-de-short|Symmetrie}}, {{Lang-en-short|symmetry}}）とは、ある[[変換 (数学)|変換]]（たとえば、左右反転や45°回転）に関して、変換を適用しても変わらない性質のことをいう。

== 概説 ==
一般に、「ある対象Mが、対称性S（S対称性）をもつ」とは、<u>「S」で指定された操作を</u>Mに<u>施しても</u>  <u>Mが変わらないこと</u>をいう<ref name="nipponica">小学館『日本大百科全書』(ニッポニカ)、「対称性」。[[江沢洋]] 執筆記事。</ref>（なお、このような操作を「対称操作」とも呼び、また「変換」とも呼ぶ<ref name="nipponica" />）。たとえば、「球は（が） 回転対称性をもつ」と言えば、球は、その中心を通る[[任意#数学などにおける「任意」|任意]]の[[直線]]を軸にしてどんな[[角度|角]]だけ[[回転]]させても、もとの球とぴったり重なることを意味する<ref name="nipponica" />。

芸術分野の用語として'''シンメトリー'''、あるいは'''シンメトリ'''として用いられ、人や物の配置や向き、振り付けやポーズについて基準線（主にその場の中心）に対して左右鏡面対称とすることを意味する。これは平面的な対称性に対して用いられ、立体的な対称性については使われにくい。口語では省略され、'''シンメ'''と呼称されることもある。芸術におけるシンメトリーは整列性を想起させて「美しい」と評されることもあれば、動物的でなくなるため無機質とされることもある{{要出典|date=2021年10月}}。

== 空間の対称性 ==
=== 並進対称性 ===
[[並進対称性]]は、[[並進操作]]（平行移動<ref>{{Cite web|和書|title=並進対称(へいしんたいしょう)とは|url=https://kotobank.jp/word/%E4%B8%A6%E9%80%B2%E5%AF%BE%E7%A7%B0-1410745|website=コトバンク|accessdate=2020-04-27|language=ja|last=世界大百科事典内言及}}</ref>）に対して対称であること。及びその性質。普通には方向を含めた空間軸、時間軸、あるいは[[大局性]]（[[局在性]]）に置いて変わらないこと、即ち斉一=[[均一]]であること。

[[連続的対称]]とは　並進操作においていかなる距離を取っても対称であること。離散的対称とは　並進操作において最小距離（の整数倍）において対称であること。

=== 回転対称性 ===
ある図形をある回転角で[[回転]]したときに、もとの図形に重なる場合、その図形は[[回転対称性]]を持っている。

あらゆる図形は1回転（360°）すると元の図形に重なるが、これは恒等変換にすぎない。

1/2回転（180°）回転して元の図形に重なるものは2回対称であるという。平面では[[点対称]]と同義である。1/3回転（120°）回転して元の図形に重なるものは3回対称であるという。以下同様に、1/''n'' 回転して元の図形に重なるものは ''n'' 回対称であるという。

一般に[[回転対称]]は離散的対称である。任意の回転について対称、あるいは微小回転について対称であるものは[[等方的]]である。

=== 鏡像対称性 ===
ある図形のある鏡映面に関する[[鏡像]]が元の図形と一致するならば、その図形は[[鏡像対称]]であるという。例えば、平面上の図形が鏡像対称であるとは、[[線対称]]であることを意味する。

== 対称式 ==
[[式]]の[[文字]]を入れ替えても元の式と変わらない式を[[対称式]]という。
例えば <math>x^2+xy+y^2\,</math> は <math>x\,</math> と <math>y\,</math> の入れ替えについて不変な対称式である。

== 応用 ==
=== 物理 ===
{{see|対称性 (物理学)}}


==== 結晶 ====
[[結晶構造]]は並進対称性、回転対称性および鏡像対称性の[[組み合わせ]]で表現することができる。それらは[[点群]]、[[空間群]]にまとめられる。

=== 美術 ===
[[美術]]におけるシンメトリーとは、対象に中心線を引いて、その[[左右]]対称な[[様式美]]を指す。実際の人間においては完全に左右が対称になる事は無い。従ってシンメトリーにみられる様式美は憧れの想像美であると言える。

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右の写真は[[古代エジプト]]における胸像であるが、シンメトリーによる様式美を保っている事が良く分かる。このような形式は古代エジプトのほかにも、[[古代ギリシア]]、[[古代ローマ]]にも見られる。また古代ギリシア、ローマ文明の復活をかけた[[ルネサンス]]においてもシンメトリーの様式美が復活する。ルネサンスにおいては次第にシンメトリーが捨てられ、[[解剖学]]に基づいた活動的な様式へと変化する。これが[[マニエリスム]]である。
-->

== 脚注 == 
{{脚注ヘルプ}}
<references />

== 関連項目 ==
{{Commons category|Symmetry}}
* [[対称操作]]
* [[反対称性]]
* [[同一性]]
* [[図形の相似]] - [[自己相似]]
* [[相関]] - [[相関関係]] - [[相関概念]]
* [[美学]] / [[美]]

=== 数学 ===
* [[群論]]
* [[線対称]]
* [[点対称]]

=== 物理学 ===
{{columns-list|column-width=25em|
* [[ネーターの定理]]
* [[物性物理学]] - [[結晶]]
* [[第一原理バンド計算]] - [[周期的境界条件]]
* [[CPT定理]]
* [[対称性の破れ]]
* [[超対称性]]
* [[等方的と異方的]]（連続的な[[回転対称性]]）
* [[対称性 (物理学)#連続的対称性|均質]]（連続的な[[並進対称性]]）
* [[点群]]
* [[空間]] - [[時間]] - [[時空]]
* [[変形]] - [[変化]]
}}

=== 生物学 ===
* {{仮リンク|対称性 (生物学)|en|Symmetry in biology|redirect=1}}

=== 経済学 ===
* [[互酬]]

=== 音楽 ===
* [[非可逆リズム]]

== 外部リンク ==
* [http://mathsoc.jp/publication/tushin/1504/1504ito.pdf 鏡の国へ行ってみよう！ ～対称性のはなし～]（[https://mathsoc.jp/publication/tushin/index15-4.html 数学通信第15巻第4号]）
*{{Kotobank}}

{{C、PおよびT対称性}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:たいしようせい}}
[[Category:対称性|*]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:美学]]