対称減少再配分のソースを表示

[[数学]]においてある函数の'''対称減少再配分'''（たいしょうげんしょうさいはいぶん、{{Lang-en-short|symmetric decreasing rearrangement}}）とは、[[等位集合]]の大きさがその函数のものと等しいような、対称かつ減少な函数のことをいう<ref name=liebloss>{{cite book|last1=Lieb|first1=Elliott|authorlink1=:en:Elliott H. Lieb|last2=Loss|first2=Michael|author2-link=:en:Michael Loss|title=Analysis|year=2001|edition=2nd|publisher=[[American Mathematical Society]]|series=Graduate Studies in Mathematics|volume=14|isbn=978-0821827833}}</ref>。

== 集合の定義 ==
'''R'''<sup>''n''</sup> 内のある[[測度論|可測集合]] <math>A</math> が与えられたとき、その対称再配分 <math>A^*</math> は次で与えられる。

:<math> A^* = \{x \in \mathbf{R}^n :\,\omega_n\cdot|x|^n < |A| \}.</math>

ここで <math>\omega_n</math> は[[単位球]]の体積で、<math>|A|</math> は <math>A</math> の体積である。これは、体積が集合 <math> A </math> と等しい原点中心の球を表すことに注意されたい。

== 函数の定義 ==
等位集合が有限測度を持つような非負の可測函数 <math>f</math> の再配分は、次で与えられる。

:<math> f^*(x) = \int_0^\infty \mathbb{I}_{\{y: f(y)>t\}^*}(x) \, dt.</math>

すなわち <math>f^*(x)</math> の値は、<math>\{y: f(y)>t\}</math> の対称再配分の半径が ''x'' と等しいような高さ ''t'' を与える。この定義には、次のような動機がある。任意の非負の函数 <math>g</math> に対して、等式

:<math> g(x) = \int_0^\infty \mathbb{I}_{\{y: g(y)>t\}}(x) \, dt</math>

が成り立つため、上述の定義は等式 <math> \mathbb{I}_{A}^* = \mathbb{I}_{A^*}</math> が成り立つための唯一つの定義となる。

== 性質 ==
函数 <math>f^*</math> は、等位集合が <math> f</math> の等位集合と同じ測度を持つ、すなわち

:<math> |\{ x: f^*(x)>t\}| = |\{x: f(x)>t\}|</math>

が成り立つような対称かつ減少な函数である。<math>f</math> が <math> L^p</math> 内の函数であるなら、次が成り立つ。

:<math> \|f\|_{L^p} = \|f^*\|_{L^p}.</math>

[[ハーディ＝リトルウッドの不等式]]が成り立つ。すなわち

:<math> \int fg \leq \int f^* g^* </math>

となる。さらに{{仮リンク|セゲーの不等式|en|Szegő inequality}}が成り立つ。すなわち <math>1 \leq p < \infty </math> かつ <math> f\in W^{1,p} </math> なら、次が成り立つ。

:<math> \|\nabla f^*\|_p \leq \|\nabla f\|_p.</math>

対称減少再配分は、順序保存であり、<math> L^p</math> 距離を減少させる。すなわち

:<math> f \leq g \Rightarrow  f^* \leq g^* </math>

および

:<math> \|f - g\|_{L^p} \geq \|f^* - g^*\|_{L^p}</math>

が成り立つ。

== 応用 ==
ポーヤ＝セゲーの不等式より、極限においては <math> p = 1</math> として[[等周定理|等周不等式]]が成り立つ。また、[[レイリー＝フェイバー＝クラーンの不等式]]を証明するために調和函数との関係を利用することが出来る。

== 関連項目 ==
* [[等周定理|等周不等式]]
* [[レイヤーケーキ表現]]
* [[レイリー＝フェイバー＝クラーンの不等式]]
* {{仮リンク|リースの再配分不等式|en|Riesz rearrangement inequality}}
* [[ソボレフ空間]]
* {{仮リンク|セゲーの不等式|en|Szegő inequality}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:たいしようけんしようさいはいふん}}
[[Category:多変数微分積分学]]
[[Category:実解析]]
[[Category:数学に関する記事]]