対角線のソースを表示

{{Expand English|Diagonal|date=2024年5月}}
[[画像:Isoscelestriangle2.jpg|class=skin-invert-image|350px|thumb|四角形ABCDの対角線は線分AC, BDである。]]
'''対角線'''（たいかくせん、{{lang-en-short|diagonal}}）とは、[[単純多角形]]や[[多面体]]において、異なる2つの[[頂点]]を結ぶ[[線分]]のうち[[辺]]を除く線分のこと<ref>[https://kotobank.jp/word/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A-90888 対角線(たいかくせん)とは？ 意味や使い方 - コトバンク]</ref>。

2[[次元 (ベクトル空間)|次元]]内における単純多角形が[[凸多角形]]ならば、その対角線の両端以外は、その多角形[[内部 (位相空間論)|内部]]に含まれる。

3次元以上における[[凸多面体]]の対角線は、[[面 (幾何学)|面]]上にあるものと内部を通るものがあり、それぞれ'''面対角線'''、'''体対角線'''と呼ばれる。

== 多角形の対角線 ==
「隣り合わない頂点を結んだ線分」<ref name="kasanken">{{Cite web |title=第5学年の実践例 I 単元 対角線の数はいくつ? |url=http://www.kasanken.com/03shidouan/5nen/5-20070326-taikakusennokazuwaikutu.pdf
|publisher=香川県算数教育研究会 |date= |accessdate=2023-09-27}}</ref>あるいは「頂点と頂点を結ぶ直線の中で辺ではない線分」<ref name="kasanken" />などと定義される。

多角形が[[凸多角形|凸]]であることは、多角形の全ての対角線の両端以外がその多角形の[[内部 (位相空間論)|内部]]に含まれることの必要十分条件である<ref>[https://www.jaist.ac.jp/~uehara/course/2014/i481f/pdf/ppt-2.pdf テーマ２：凸多角形に関する問題] p.6.</ref>。

3以上の自然数{{mvar|n}} に対して、{{mvar|n}}角形の対角線の本数 {{mvar|d{{sub|n}}}} は、
*1つの頂点あたり {{math2|''n'' &minus; 3}}本あり、頂点の数を掛けると2回ずつカウントとなる：
*頂点を結ぶ線分が、異なる {{mvar|n}}個から2個を選ぶ[[組合せ (数学)|組み合わせ]]だけあり、それらのうち辺（{{mvar|n}}本だけある）でないものが対角線全体である<ref>http://yosshy.sansu.org/taikakusen.htm</ref>：
などと考えることができ、 次のようになる：
:<math>d_n = \frac{n(n-3)}{2} \Bigl({=} \; {}_n{\rm C}_2 - n = \frac{n(n-1)}{2} - n \Bigr)</math>
[[正多角形|正{{mvar|n}}角形]]（{{mvar|n}} は3以上の自然数）の対角線の長さの種類は <math>\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor -1 = \frac{2n-5+(-1)^n}{4}</math> だけある（{{math2|&lfloor;''x''&rfloor;}} は[[床関数と天井関数|床関数]]）。

正[[五角形]]の5本全ての対角線をつなげると[[五芒星]]になる。

正[[六角形]]の9本の対角線のうち短い6本を組み合わせた図形は[[ダビデの星]]の形として有名な[[六芒星]]になる<ref>https://ouchimath.com/seiroku-taikakusen/</ref>。

== 初等教育における教材 ==
[[初等教育]]では多角形の理解のため五角形や六角形の対角線を取り上げることがある<ref name="tejima">{{Cite journal|和書 |url=https://doi.org/10.32296/jjsme.77.4_21 |author=手島 勝朗 |title=対角線の存在性をめぐる認知的葛藤の生成 |journal=日本数学教育学会誌 |volume=77 |issue=4 |publisher=公益社団法人 日本数学教育学会 |year=1995 |pages=21-28}}</ref>。初等教育の教科書では対角線を「向かい合った頂点を結んだ直線」と定義しており<ref name="kasanken" /><ref name="tejima" />、五角形などの多角形の場合には「向かい合う頂点」を捉えにくいために様々な反応が見られ、その観点の違いを授業で取り上げる例もある<ref name="tejima" />。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[単純多角形]]
* [[多面体]]
* [[辺]]
* [[主対角線]]
* [[カントールの対角線論法]]

{{DEFAULTSORT:たいかくせん}}
[[Category:幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]