射影極限のソースを表示

[[数学]]における'''逆極限'''（ぎゃくきょくげん、{{lang-en-short|''inverse limit''}}）あるいは'''射影極限'''（しゃえいきょくげん、{{lang-en-short|''projective limit''}}）は、正確な言い方ではないが、いくつかの関連する対象を「貼合せる」ような構成法であり、貼合せの具体的な方法は対象の間の射によって決められている。逆極限は任意の[[圏 (数学)|圏]]において考えることができる。

== 厳密な定義  ==
=== 代数系の射影極限 ===
まず[[群 (数学)|群]]と[[群準同型|準同型]]からなる'''逆系''' {{lang|en|(''inverse system'')}} あるいは'''射影系''' {{lang|en|(''projective system'')}} と呼ばれるものの定義から始める。(''I'', &le;) を[[有向集合|有向]][[半順序集合]]とする（''I'' が有向集合であることを課さない文献もある）。群の[[族 (数学)|族]] (''A''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''&isin;''I''</sub> と準同型の族 ''f''<sub>''ij''</sub>: ''A''<sub>''j''</sub> &rarr; ''A''<sub>''i''</sub> (''i'' &le; ''j'') で以下の性質、
# ''f''<sub>''ii''</sub> は ''A''<sub>''i''</sub> における恒等写像、
# ''f''<sub>''ik''</sub> = ''f''<sub>''ij''</sub> ∘ ''f''<sub>''jk''</sub> (''i'' &le; ''j'' &le; ''k'')
を満たすものが与えられたとき、対 ((''A''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''&isin;''I''</sub>, (''f''<sub>''ij''</sub>)<sub>''i''&le; ''j''&isin;''I''</sub>) を群と準同型の成す ''I'' 上の逆系と呼び、各射 ''f''<sub>''ij''</sub> はこの系の遷移射 {{lang|en|(transition morphisms)}} と呼ぶ。

逆系 ((''A''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''&isin;''I''</sub>, (''f''<sub>''ij''</sub>)<sub>''i''&le; ''j''&isin;''I''</sub>) の'''逆極限'''（'''射影極限'''）は ''A''<sub>''i''</sub> たちの[[直積群|直積]]の特定の[[部分群]]
:<math>A =\varprojlim_{i\in I} A_i = \left\{\mathbf{a}=(a_i)_{i\in I} \in \prod_{i\in I}A_i \mid a_i = f_{ij}(a_j) \text{ for all } i \leq j \text{ in } I\right\}</math>
として定義される。この射影極限 ''A'' は（''I'' の各 ''i'' に対して直積の ''i''-成分を取り出すという）'''自然な射影''' &pi;<sub>''i''</sub>: ''A'' &rarr; ''A''<sub>''i''</sub> を備えている。射影極限と自然な射影は、次節に述べる[[普遍性]]を満足する。

これと同じ構成法は、''A''<sub>''i''</sub> たちが[[集合]]や[[環 (数学)|環]]あるいは（適当に固定した環上の）[[環上の加群|加群]]、[[環上の多元環|多元環]]などの場合にも、それぞれの意味での[[準同型]]を[[射 (圏論)|射]]として行うことができて、得られる逆極限はそれぞれの圏に属する対象となる。

=== 一般の定義 ===
逆極限は、任意の[[圏 (数学)|圏]]において[[普遍性]]を用いて抽象的に定義することができる。
(''X''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''ij''</sub>) を圏 ''C'' の対象と射からなる逆系（逆系の意味は前節と同じ）とすると、この逆系の'''逆極限'''（'''射影極限'''）とは、''C'' の適当な対象 ''X'' と'''射影'''と総称される射の族 &pi;<sub>''i''</sub>: ''X'' &rarr; ''X''<sub>''i''</sub> で &pi;<sub>''i''</sub> = ''f''<sub>''ij''</sub> ∘ &pi;<sub>''j''</sub> を任意の ''i'' &le; ''j'' に対して満たすものとの対 (''X'', &pi;<sub>''i''</sub>) であって、次のような意味で普遍性を満足するものをいう。すなわち、同様の対 (''Y'', &psi;<sub>''i''</sub>) があれば、射 ''u'': ''Y'' &rarr; ''X'' が一意的に存在して図式

[[Image:InverseLimit-01.png|center|逆極限の普遍性]]

は全ての ''i'' &le; ''j'' に対して[[可換図式|可換]]になる。逆系 (''X''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''ij''</sub>) が既知であるとき、その逆極限 ''X'' をしばしば
:<math>X = \varprojlim X_i</math>
で表す。

前節の場合と異なり、任意の圏においては逆極限が存在しないことが起こりうるが、しかし存在する場合は強い意味で一意である。すなわち、逆極限 ''X'' とは別の逆極限 ''X''&prime; が任意に与えられたとき、全ての射影に対して可換となる射 ''X''&prime; &rarr; ''X'' が一意的に存在する。

圏 ''C'' における逆系は、[[函手]]の言葉で記述することもできる。任意の半順序集合 ''I'' は「''i'' &rarr; ''j'' [[必要十分条件|&hArr;]] ''i'' &le; ''j''」によって射の集合を定めた[[小さい圏]]と見なすことができるから、逆系とは[[函手#反変関手|反変函手]] ''I'' &rarr; ''C'' に他ならない。そして、逆極限函手
: <math>\varprojlim\colon C^{I^{op}}\to C</math>
は[[函手#共変関手|共変函手]]となる。

== 例 ==
* ''A''<sub>''i''</sub> を長さ''i''の有限数列全体からなる集合、''f''<sub>''ij''</sub> (''i''&le;''j'') を数列を''i''項に切り詰める写像とすると、その射影極限は、数列全体の集合となる。
* [[p進数|''p''-進整数]]全体の成す環 '''Z'''<sub>''p''</sub> は、[[自然数全体]]に通常の順序を入れたものを添字集合とする整数環の[[剰余類環]]の族 '''Z'''/''p''<sup>''n''</sup>'''Z''' でそれらの間の射として、「剰余の取替え」で得られる準同型をとったものの成す射影系から射影極限として得られる。''p''-進整数環における自然な位相は、射影極限としての位相に一致する。
* 可換環 ''R'' 上の[[形式冪級数環]] ''R''&#x5b;&#x5b;''t''&#x5d;&#x5d; は、自然数の全体に通常の順序を入れたもので添字付けられる、環の族 ''R''&#x5b;''t''&#x5d;/''t''<sup>''n''</sup>''R''&#x5b;''t''&#x5d; が自然な射影 <div style="margin:1ex auto 1ex 2em;"><math>R[t]/t^{n+j}R[t] \to R[t]/t^nR[t]</math></div>を射として成す射影系の射影極限と見なすことができる。
* [[副有限群]]は（離散）有限群の射影極限として定義される。
* 逆系 (''X''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''ij''</sub>) の添字集合 ''I'' が[[最大元]] ''m'' を持つならば、射影極限 ''X'' からの自然な射影 &pi;<sub>''m''</sub>: ''X'' &rarr; ''X''<sub>''m''</sub> は同型である。
* [[位相空間の圏]]における逆極限は、逆系の各台集合に対して単に集合としての逆極限をとったものを台集合とし、それに[[始位相]]を入れて得られる位相空間である。これは'''極限位相'''としても知られる。
** 無限[[文字列]]全体の成す集合は有限文字列の集合の逆極限であり、したがって極限位相を持ちうる。もともとの空間が[[離散位相|離散的]]ならば、得られる極限位相は[[完全不連結]]になる。これは、''p''-進数全体の成す集合や[[カントール集合]]を（無限文字列として）実現する一つのやり方である（つまり、有限展開を持つものの成す逆系から、その射影極限としての無限展開を許す）。
* 添字集合が自明な順序を持つ（つまり有向でない集合）とすると、そのような任意の逆系に対応する逆極限は単なる[[積 (圏論)|直積]]である。
* 三つの元からなる添字集合 ''I'' = {''i'', ''j'', ''k''} で ''i'' &le; ''j'' かつ ''i'' &le; ''k'' とする（これも有向集合ではない）と、そのような任意の逆系の逆極限は[[引戻し (圏論)|引戻し]]である。

== 射影極限の導来函手 ==
[[アーベル圏]] ''C'' に対して、逆極限函手
:<math>\varprojlim\colon C^I\to C</math>
は[[完全函手|左完全]]である。''I'' が[[可算]][[順序集合]]（単に半順序が入っているというのではない）で、''C'' がアーベル群の圏 '''Ab''' のとき、ミッタークレフラー条件とは <math>\varprojlim</math> の完全性を保証するような遷移射 ''f''<sub>''ij''</sub> に関する条件である。

以下具体的に述べる。[[サミュエル・アイレンベルグ|アイレンベルグ]]は函手
:<math>\varprojlim\nolimits^1\colon \mathbf{Ab}^I\to\mathbf{Ab}</math>
で、三つのアーベル群の逆系(''A''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''ij''</sub>), (''B''<sub>''i''</sub>, ''g''<sub>''ij''</sub>), (''C''<sub>''i''</sub>, ''h''<sub>''ij''</sub>) が[[短完全列]]
:<math>0\to A_i\to B_i\to C_i\to 0</math>
を成すならば、
:<math>0\to\varprojlim A_i\to\varprojlim B_i\to\varprojlim C_i\to\varprojlim\nolimits^1 A_i</math>
が '''Ab''' における完全列となるというものを構成した。 

; ミッターク＝レフラー条件
: アーベル群の逆系 (''A''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''ij''</sub>) の射の値域が'''安定'''（すなわち、各 ''k'' に対して、適当な ''j'' ≥ ''k'' が存在して「''i'' ≥ ''j'' なる全ての ''i'' について <math> f_{kj}(A_j)=f_{ki}(A_i)</math> が成り立つ」）ならば、この逆系は'''ミッターク＝レフラー条件'''を満足するという。この条件は <math>\varprojlim\nolimits^1 A_i = 0</math> なることを含意する。

次のような状況は、ミッターク＝レフラー条件を満たす例となっている。 
* 全ての射 ''f''<sub>''ij''</sub> が全射であるような逆系 
* 有限次元ベクトル空間の成す逆系

また、lim1 が 0 とならない（したがってミッターク＝レフラー条件を満足しない）例として、''I'' は[[非負整数]]の全体、''A''<sub>''i''</sub> = ''p''<sup>''i''</sup>'''Z''', ''B''<sub>''i''</sub> = '''Z''', ''C''<sub>''i''</sub> = ''B''<sub>''i''</sub>/''A''<sub>''i''</sub> = '''Z'''/''p''<sup>''i''</sup>'''Z''' とすれば、
:<math>\varprojlim\nolimits^1 A_i = \mathbf{Z}_p/\mathbf{Z}</math>
が得られる。ここで '''Z'''<sub>''p''</sub> は[[p進整数| ''p''-進整数環]]を表す。

=== 更なる結果 ===
もっと一般に、''C'' が[[入射対象|十分多くの入射対象を持つ]]アーベル圏ならば、''C''<sup>''I''</sup> もそうで、従って射影極限函手の[[導来函手|右導来函手]]が定まる。 ''n''-次の右導来函手を
:<math>R^n\varprojlim\colon C^I\to C</math>
で表す。''C'' が[[アーベル圏|グロタンディークの公理 (AB4*)]] を満足する場合には、[[ジャン＝エリック・ルース]]が '''Ab'''<sup>''I''</sup> 上の函手 lim<sup>1</sup>を
:<math>\varprojlim\nolimits^n\cong R^n\varprojlim</math>
なる函手の系列 lim<sup>n</sup> へ一般化した。ルースは{{harvtxt|Roos|1961}}「lim の導来函手における応用」において、''I'' が非負整数で遷移射が全射となるような逆系（ミッターク＝レフラー列） (''A''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''ij''</sub>) に対して、lim<sup>1</sup> ''A''<sub>''i''</sub> = 0 となることを示したと主張し、40年近くもの間その結果は信じられていた。しかし、2002年に[[アムノン・ニーマン]]と[[ピエール・ドリーニュ]]は (AB4*) に加えて (AB4) を満足する圏における同様の逆系でlim<sup>1</sup> ''A''<sub>''i''</sub> ≠ 0 なる例を構成した。その後ルースは、{{harvtxt|Roos|2006}}「逆極限の導来函手再考」において、彼の結果は（(AB3) と (AB4*) に加えて）''C'' が生成系を持つならば正しくなるという風に修正した。

[[バリー･ミッチェル (数学者)|バリー･ミッチェル]]は、"The cohomological dimension of a directed set"（「有向集合のコホモロジー次元」）において、''I'' が [[濃度 (数学)|濃度]] &alefsym;<sub>''d''</sub>（''d'' 番目の[[アレフ数]]）を持つならば、''R''<sup>''n''</sup>lim は ''n'' ≥ ''d'' + 2 なる全ての ''n'' について 0 になることを示した。これは可換環 ''R'' 上の ''R''-加群の圏 ''R''-'''Mod''' において ''I'' で添字付けられた図式に適用することができる。ここで ''R''-加群の圏でなく任意のアーベル圏とすると必ずしも成立しない（可算集合で添字付けられる図式上で lim<sup>''n''</sup> が 0 とならないようなアーベル圏の例については {{harv|Roos|2006}} を参照）。

== 関連概念と一般化 ==
射影極限（逆極限）の[[圏論的双対]]は[[帰納極限]]（順極限、直極限）であり、圏論においてはより一般の[[極限 (圏論)|極限と余極限]]として捉えることができる。用語法が少し紛らわしいが、逆極限は（圏論的）極限であって、余極限ではないことに注意。

== 参考文献 ==
*{{citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=ニコラ・ブルバキ|title=Algebra I|publisher=Springer|year=1989|isbn=978-3540642435|oclc=40551484}}
*{{citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|title=General topology: Chapters 1-4|publisher=Springer|year=1989|isbn=978-3540642411|oclc=40551485}}
*{{citation|first=Saunders |last=Mac Lane |authorlink=Saunders Mac Lane|title=[[圏論の基礎|Categories for the Working Mathematician]] | edition=2nd |year=1998 |month=September |publisher=Springer|isbn=0-387-98403-8}}, 日本語訳: {{cite book|和書|title=圏論の基礎|translator=三好博之・高木理|publisher=シュプリンガーフェアラーク東京|year=2005}}
*{{Citation | last=Mitchell | first=Barry | title=Rings with several objects | journal=[[Advances in Mathematics]] | id={{MathSciNet | id = 0294454}} | year=1972 | volume=8 | pages=1–161 | doi=10.1016/0001-8708(72)90002-3}}
*{{Citation | last=Neeman | first=Amnon | title=A counterexample to a 1962 "theorem" in homological algebra (with appendix by Pierre Deligne) | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | id={{MathSciNet | id = 1906154}} | year=2002 | volume=148 | issue=2 | pages=397–420 | doi=10.1007/s002220100197}}
*{{Citation | last=Roos | first=Jan-Erik | title=Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications | journal=C. R. Acad. Sci. Paris | id={{MathSciNet | id = 0132091}} | year=1961 | volume=252 | pages=3702–3704}}
*{{Citation | last=Roos | first=Jan-Erik | title=Derived functors of inverse limits revisited | journal=[[London Mathematical Society|J. London Math. Soc. (2)]] | id={{MathSciNet | id = 2197371}} | year=2006 | volume=73 | issue=1 | pages=65–83 | doi=10.1112/S0024610705022416}}
* Section 3.5 of {{Weibel IHA}}

{{圏論}}

{{DEFAULTSORT:しやえいきよくけん}}
[[Category:極限 (圏論)]]
[[Category:抽象代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[de:Limes (Kategorientheorie)]]