射影線型群のソースを表示

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{{No footnotes|date=2024年1月}}
[[数学]]における'''射影線型群'''（しゃえいせんけいぐん、{{lang-en-short|projective linear group}}）あるいは'''射影一般線型群'''（しゃえいいっぱんせんけいぐん、{{lang-en-short|projective general linear group}}）とは[[一般線型群]]の[[群の中心|中心]]による[[群 (数学)#剰余類・剰余群|剰余群]]のことである。

同様に、'''射影特殊線型群'''(しゃえいとくしゅせんけいぐん、{{lang-en-short|projective special linear group}})とは[[特殊線型群]]の中心による剰余群のことである。
[[有限体]]上の射影特殊線型群はほとんどの場合に非可換有限[[単純群]]となる。

これらの群は[[射影空間]]に[[群作用#作用の種類|忠実]]に[[群作用|作用]]する。

== 定義 ==
[[可換体|体]] ''F'' 上の[[線型空間]] ''V'' の'''射影一般線型群'''とは、''V'' 上の[[一般線型群]] GL(''V'') の[[群の中心|中心]] Z(''V'') による[[群 (数学)#剰余類・剰余群|剰余群]]
PGL(''V'') = GL(''V'') / Z(''V'')
のことである。この中心 Z(''V'') は非零[[スカラー (数学)|スカラー]]変換全体のなす群と一致する。

同様に'''射影特殊線型群'''とは、''V'' 上の[[特殊線型群]] SL(''V'') の中心 SZ(''V'') による剰余群
PSL(''V'') = SL(''V'') / SZ(''V'')
のことである。この中心 SZ(''V'') は[[行列式]]が 1 であるスカラー変換全体のなす群と一致する。

特に ''V'' = ''F<sup>n</sup>'' のとき PGL(''V'')や PSL(''V'') の代わりに PGL(''n'', ''F'') や PSL(''n'', ''F'') と表記されることもある。

== 名前の由来 ==
射影線型群という名前は[[射影幾何学]]から発生した。ここに、[[同次座標系]] (''x''<sub>0</sub>: ''x''<sub>1</sub>: &hellip;: ''x<sub>n</sub>'') に作用する射影群は、射影幾何学の基礎をなす群である。
（注意：従って、PGL(''n''&nbsp;+&nbsp;1, ''F'') は、''n'' 次元[[射影空間]]に対する群である。）
言い換えれば、群 GL(''V'') の ''V'' への自然な作用は、PGL(''V'') の射影空間  ''P''(''V'') への作用を引起こす。
従って、射影線型群は、[[メビウス変換|一次分数変換]]全体の群 PGL(2, '''C''') （時として[[メビウス群]]ともいう）を一般化したものである。ここで、PGL(2, '''C''') は、複素射影直線に作用する。

== 有限体上の射影線型群 ==
この節では特に[[位数]] ''q'' の[[有限体]] ''F<sub>q</sub>'' 上の射影線型群について述べる。このとき PGL(''n'', ''F''<sub>''q''</sub>) = PGL(''n'', ''q'') や PSL(''n'', ''F''<sub>''q''</sub>) = PSL(''n'', ''q'') = LF(''n'', ''q'') = L<sub>''n''</sub>(''q'') などと表すこともある。

=== 位数 ===
<math display="block">\begin{align}
\vert \operatorname{PGL}(n, q) \vert &= q^{n(n - 1)/2} \prod_{i = 2}^n (q^i - 1)/(q - 1), \\
\vert \operatorname{PSL}(n, q) \vert &= q^{n(n - 1)/2} \prod_{i = 2}^n (q^i - 1)/d, \qquad d = (n, q - 1).
\end{align}</math>

=== ''L''<sub>''n''</sub>(''q'') の単純性 ===

''n'' &ge; 2 のとき ''L''<sub>2</sub>(2)（3 次の[[対称群]]と同型である）および ''L''<sub>2</sub>(3)（4 次の[[交代群]]と同型である）を除けば ''L''<sub>''n''</sub>(''q'') は非可換有限単純群である。
非可換有限単純群である射影特殊線型群 ''L''<sub>''n''</sub>(''q'') にも例外的に ''m'' 次の交代群 ''A''<sub>''m''</sub> と同型であることがある。
* ''L''<sub>2</sub>(4) &cong; ''L''<sub>2</sub>(5) &cong; ''A''<sub>5</sub>
* ''L''<sub>2</sub>(9) &cong; ''A''<sub>6</sub>
* ''L''<sub>4</sub>(2) &cong; ''A''<sub>8</sub>

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2024年1月|section=1}}
* {{Cite book |和書 |editor=[[日本数学会]] |title=岩波数学辞典 |edition=第4版 |publisher=[[岩波書店]] |date=2007-03 |isbn=978-4000803090 |ref=harv}}
* {{ cite book | last=Aschbacher | first=Michael | title=Finite Group Theory | publisher=Cambridge University Press | year=2000 | isbn=0-521-78675-4 | zbl=0997.20001 }}

== 関連項目 ==
* [[モジュラー群]] PSL(2, '''Z''') 
* [[PSL(2, 7)]]
* [[ポアンカレの上半平面モデル]] Isom{{sup|+}}('''H''') ≅ PSL(2, '''R''')

{{DEFAULTSORT:しやえいせんけいくん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:射影幾何学]]
[[Category:位相空間論]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:群論]]

[[de:Allgemeine lineare Gruppe#Projektive lineare Gruppe]]